Анализ электрического состояния линейных и нелинейных электрических цепей постоянного тока

Расчет линейных электрических цепей постоянного тока

Задание Для электрической цени (рис. 1.1) выполнить следующее:

• 1) составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для определения токов во всех ветвях схемы;
• 2) определить токи во всех ветвях схемы, используя метод контурных токов;
• 3) определить токи во всех ветвях схемы на основании метода наложения;
• 4) составить баланс мощностей для заданной схемы;
• 5) результаты расчетов токов по пунктам 2 и 3 представить в виде таблицы и сравнить;
• 6) определить ток во второй ветви методом эквивалентного генератора;
• 7) построить потенциальную диаграмму, для любого замкнутого контура, включающего обе ЭДС.

Рис. 1.1.

Решение Для составления уравнений по первому и второму закону Кирхгофа обозначим предварительные направления токов в ветвях (рис. 1.1).

Составим для узлов № 1, 2, 4 уравнения по первому закону Кирхгофа, считая приходящие токи положительными, а выходящие отрицательными:

I₁— I₃?I₂ = 0.

I₃ -I₄ — I₅ = 0.

I₅+ I₆— I₁ = 0.

Недостающие уравнения составим по второму закону Кирхгофа для контуров 1321, 1241, 2342, приняв за положительное направление обход по часовой стрелке.

• (R₁+ r₀₁)I₁+ R₃I₃+ R₅I₅= Е₁
• (R₂+ r₀₂)I₂-R₃I₃— R₄I₄= Е₂

R₄I₄-R₅I₅+ R₆I₆= 0.

Уравнения (1)?(6) представляют собой систему из 6 уравнений с 6 неизвестными.

I₁ — I₃? I₂ = 0,.

I₃ — I₄ — I₅ = 0,.

I₅ + I₆— I₁ = 0,.

• 65I₁+32I₃+51I₅ = 20,
• 50I₂-32I₃-25I₄ = 40,
• 25I₄— 51I₅+ 15I₆= 0
• 2) Для определения токов по методу контурных токов, обозначим на схеме (рис. 1.2) контурные токи для тех же контуров и запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для контурных токов.

Рис. 1.2.

По второму закону Кирхгофа составим систему уравнений:

• (R₃+ R₁ + r₀₁+ R₅)I_I — R₃I_II— R₅I_III= Е₁,
• (R₂ + r₀₂ + R₄+ R₃) I_II — R₃I_I — R₄I_III = Е₂,
• (R₆ + R₅+ R₄) I_III— R₅I_I— R₄I_II= 0

Подставим численные значения:

• 148I_I — 32I_II — 51I_III = 20,
• 107I_II — 32I_I — 25I_III = 40,
• 91I_III— 51I_I — 25I_II = 0

Сгруппируем систему уравнений:

• 148I_I — 32I_II — 51I_III = 20
• — 32I_I +107I_II — 25I_III = 40
• — 51I_I— 25I_II +91I_III = 0

Решим систему уравнений:

• 148I_I — 32I_II — 51I_III = 20
• — 32I_I +107I_II — 25I_III = 40
• — 51I_I— 25I_II +91I_III = 0

Решим систему с помощью определителей. Вычислим определитель системы? и частные определители ?₁, ?₂, ?₃.

148 -32 -51.

Д = -32 107 -25 = 895 485.

• -51 -25 91
• 20 -32 -51

Д₁= 40 107 -25 = 349 720.

• 0 -25 91
• 148 20 -51

Д₂= -32 40 -25 = 518 420.

• -51 0 91
• 148 20 -51

Д₃= -32 40 -25 = 338 420.

— 51 -25 0.

Вычисляем контурные токи:

I_I = Д_I /Д =349 720/895485=0.391 А;

I_II= Д₂ /Д =518 420/895485=0.579 А;

I_III= Д₃ /Д= 338 420/895485=0.978 А.

Определим истинные токи в ветвях и их направление:

I₁= I_I=0.391 А,.

I₂= I_II=0.579 А,.

I₃= I_I— I_II=0.391−0.579= -0.188 A,.

I₄= I_III— I_II=0.978−0.579=-0.201 A,.

I₅= I_I— I_III=0.391−0.978=0.013 A,.

3) Определим токи во всех ветвях схемы на основании метода наложения.

Выключим из цепи источник Е₁ (рис. 1.3).

Рис. 1.3.

Преобразуем соединение звезда в треугольник:

Определим сопротивление всей цепи:

R₅₄= R₅+R₄+R₅· R₄ /R₃

R₅₄ = 51+25+51· 25 /32= 115,848Ом.

R₄₃= R₃+R₄+R₃· R₄ /R₅

R₄₃ = 32+25+32· 25 /51= 72,686Ом.

R₅₃= R₃+R₅+R₃· R₅ /R₄

R₅₃ = 51+32+32· 51/25= 148,280Ом.

R₅₄ и R₆ соединены параллельно, их общее сопротивление:

R₅₄₆= R₅₄· R₆/(R₅₄ + R₆).

R₅₄₆= 115,848 · 15/ (115,848+5) = 13,280Ом.

R₅₃ и R₁ соединены параллельно, их общее сопротивление:

R₅₃₁= R₅₃· R₁/(R₅₃ + R₁).

R₅₃₁= 148,28 · 65/ (148,28+65) = 45,190Ом.

R₅₃₁ и R₅₄₆ соединены последовательно, их общее сопротивление:

R= R₅₃₁ + R₅₄₆ = 13,280+45,190=58,471 Ом.

Rэ = R₂ + r₀₂ +R₄₃· R/(R₄₃ + R) = 50 + 72,686· 58,471/(72,686 + 58,471)=.

= 82,404 Ом Сила тока в цепи:

I = Е₂ / Rэ = 40/82,404 = 0,485 А Далее находим напряжение и силу тока на каждом элементе цепи:

I₂¹ = 0,485А.

U =I· R₄₃· R/(R₄₃ + R) =15,729 В.

I₅₃₁ =I₅₄₆ =U/ R = 0,269 А.

U₁ =U₅₃₁ =I₅₃₁· R₅₃₁=12,157 В.

I₁¹ = U₁ / (R₁+r₀₁)=0,187А.

U₆ = U₅₄₆ = I₅₄₆· R₅₄₆= 3,573 В.

I₆¹ = U₆ / R₆= 0,238А По первому закону Кирхгофа для каждого узла составим уравнение и найдём недостающие значения силы тока (рис. 1.3):

узел1:

I₁¹ — I₃¹ — I₂¹ = 0,.

I₃¹ =I₁¹— I₂¹= -0,298 А Узел3: I₂¹ + I₄¹ — I₆¹ = 0,.

I₄¹ =I₆¹— I₂¹= -0,247 А узел4: I₅¹ + I₆¹ — I₁¹ = 0,.

I₅¹= I₁¹ — I₆¹= -0,051 А Выключим из цепи источник Е₂ (рис. 1.4).

Рис. 1.4.

Преобразуем соединение звезда в треугольник:

Определим сопротивление всей цепи:

R₅₄= R₅+R₄+R₅· R₄ /R₃

R₅₄ = 51+25+51· 25 /32= 115,848Ом.

R₄₃= R₃+R₄+R₃· R₄ /R₅

R₄₃ = 32+25+32· 25 /51= 72,686Ом.

R₅₃= R₃+R₅+R₃· R₅ /R₄

R₅₃ = 51+32+32· 51/25= 148,280Ом.

R₅₄ и R₆ соединены параллельно, их общее сопротивление:

R₅₄₆= R₅₄· R₆/(R₅₄ + R₆).

R₅₄₆= 115,848 · 15/ (115,848+5) = 13,280Ом.

R₄₃ и R₂соединены параллельно, их общее сопротивление:

R₄₃₂= R₄₃· R₂/(R₄₃ + R₂).

R₄₃₂= 72,686 · 50/ (72,686+50) = 29,623Ом.

R₄₃₂ и R₅₄₆ соединены последовательно, их общее сопротивление:

R= R₄₃₂ + R₅₄₆ = 13,280+29,623=42,903 Ом.

Rэ = R₁ + r₀₁ +R₅₃· R/(R₅₃ + R) = 65 +148,28· 42,903/(148,28 + 42,903)=.

= 98,275 Ом Сила тока в цепи:

I = Е₁ / Rэ = 20/98,275 = 0,204А Далее находим напряжение и силу тока на каждом элементе цепи:

I₁² = 0,204А.

U =I· R₅₃· R/(R₅₃ + R) =6,772 В.

I₄₃₂ =I₅₄₆ =U/ R = 0,158А.

U₂ =U₄₃₂ =I₄₃₂· R₄₃₂=4,676 В.

I₂² = U₂/ (R₂+r₀₂)=0,094А.

U₆ = U₅₄₆ = I₅₄₆· R₅₄₆=2,096 В.

I₆² = U₆ / R₆= 0,140А По первому закону Кирхгофа для каждого узла составим уравнение и найдём недостающие значения силы тока (рис. 1.4):

узел1:

I₁² — I₃² — I₂² = 0,.

I₃² =I₁²— I₂²= 0,110А Узел3: I₂² + I₄² — I₆² = 0,.

I₄² =I₆²— I₂²= 0,046А узел4: I₅²+ I₆² — I₁² = 0,.

I₅²= I₁²— I₆²= 0,064А Таким образом, истинные токи имеют следующие значения:

I₁ = I₁¹ + I₁² = 0,187+0,204 = 0,391А.

I₂ = I₂¹ + I₂² = 0,485+0,094 = 0,579А.

I₃ = I₃¹ + I₃² = ?0,298+0,110 = -0,188А.

I₄ = I₄¹ + I₄² = -0,247+0,046= -0,201А.

I₅ = I₅¹+I₅² = -0,051+0,064 = 0,013А.

I₆ = I₆¹ + I₆² = 0,238+0,140= 0,378 А.

4) Источники Е₁ и Е₂ вырабатывают электрическую энергию, т.к. направление ЭДС и тока в ветвях с источниками совпадают. Баланс мощностей для заданной цепи запишется так:

Е₁I₁ + Е₂I₂=(R₁ + r₀₁)I₁² + (R₂ + r₀₂)I₂² + R₃I₃² + R₄I₄² + R₅I₅² + R₆I₆²

Подставляем числовые значения и вычисляем:

• 7,811+ 23,157=9,914+16,758+1,136+1,010+0,008+2,142
• 30,968 Вт =30,968 Вт

С учётом погрешности расчётов баланс мощностей получился.

5) Результаты расчетов токов по пунктам 2 и 3 представим в виде таблицы и сравним:

Расчёт токов ветвей обоими методами одинаков.

6) Определим ток во второй ветви методом эквивалентного генератора.

Для определения токов по методу эквивалентного генератора разорвем цепь, в которой необходимо определить ток у сопротивления R₂.

Рис. 1.5.

Составим систему уравнений по первому закону Кирхгофа:

• (R₃ + R₁ + r₀₁+ R₅)I_xx1— R₅I_xx3 = Е₁,
• (R₆ + R₅+ R₄) I_xx3— R₅I_xx1 = 0

Подставив численные значения, получим систему из 2 уравнений с 2 неизвестными:

• 148I_xx1-51I_xx3=20
• 91I_xx3-51I_xx1=0
• 148I_xx1-28.56I_xx1=20
• 119I_xx1=20
• 91I_xx3=51I_xx1

I_xx3=0.56I_xx1

I_xx1=0.167 A.

I_xx3=0.094 A.

Решив систему уравнений получим значение токов:

I₃ = I _xx1 = 0,167 А.

I₄ = I _xx3 = 0,094 А Напряжение эквивалентного генератора:

Е_экв = - I₃R₃— I₄R₄= -7,706 В Сопротивление эквивалентного генератора найдено в пункте 3:

Rэ = R₂ + r₀₂ +R₄₃· R/(R₄₃ + R) = 50 + 72,686· 58,471/(72,686 + 58,471)=.

= 82,404 Ом Находим ток:

I₂ = (E₂? Е_экв) /R_экв = (7,706+ 40) / 82,404 = 0,579А электрический цепь кирхгоф мощность Построим потенциальную диаграмму, для замкнутого контура 1431:

рис. 1.6.

Пусть потенциал точки 1 равен 0 и координата равна 0.

• 1=0
• 4A=₁+I₁R_{1=64*0.391=25.024 B, а координата 65 Ом}
• ₄=_4A-E₁+I₁r_{01=25.024−20+0.391*1=5.415 B, а координата 65 Ом}
• ₃=₄+I₆R_{6=5.415+15*0.378=11.085 B, а координата 80 Ом}
• _1A=₃+I₂R_{2=11.085+48*0.579=38.877 B, а координата 130 Ом}
• ₁=_1A-E₂+I₂r_{02=38.877−40+0.579*2=0.035 B, а координата 130 Ом}

_{Потенциальная диаграмма приведена на рисунке 1.7.}

_Рис. 1.7