Моменты инерции сечения

В дополнение к статическим моментам в системе координат x0y (рис. 3.1)рассмотрим три интегральных выражения:

(3.7).

Первые два интегральных выражения называются осевыми моментами инерции относительно осей x и y, а третье центробежным моментом инерции сечения относительно осей x, y.

Для сечений, состоящих из n-числа областей (рис. 3.3), формулы (3.7) по аналогии с (3.6) будут иметь вид:

Рассмотрим, как изменяются моменты инерции сечения при параллельном переносе координатных осей x и y (см. рис. 3.2). Преобразуя формулы (3.7) с учетом выражения (3.2), получим :

(3.8).

Если предположить, что оси x1 и y1 (см. рис. 3.2) являются центральными, тогда и выражения (3.8) упрощаются и принимают вид:

(3.9).

Рис. 3.4.

Определим осевые моменты инерции прямоугольника относительно осей x и y, проходящих через его центр тяжести (рис. 3.4). В качестве элементарной площадки dF возьмем полоску шириной b и высотой dy (рис. 3.4). Тогда будем иметь:

Аналогичным образом можно установить, что .

Для систем, рассматриваемых в полярной системе координат (рис. 3.5, а), вводится также полярный момент инерции:

.

где радиусвектор точки тела в заданной полярной системе координат.

Рис. 3.5.

Вычислим полярный момент инерции круга радиуса R. На рис. 3.5, a показана элементарная площадка, очерченная двумя радиусами и двумя концентрическими поверхностями, площадью.

dF = d d .

Интегрирование по площади заменим двойным интегрированием:

.

Hайдем зависимость между полярным и осевыми моментами инерции для круга. Из геометрии видно (рис. 3.5, б), что.

2 = x2 + y2,.

следовательно, .

Так как оси x и y для круга равнозначны, то Ix = Iy = .

Полярный момент инерции кольца может быть найден как разность моментов инерции двух кругов: наружного (радиусом R) и внутреннего (радиусом r):

.