Схема решения тригонометрических уравнений

Основная схема, которой мы будем руководствоваться при решении тригонометрических уравнений следующая:

решение заданного уравнения сводится к решению элементарных уравнений. Средства решения —- преобразования, разложения на множители, замена неизвестных. Ведущий принцип —- не терять корней. Это означает, что при переходе к следующему уравнению (уравнениям) мы не опасаемся появления лишних (посторонних) корней, а заботимся лишь о том, чтобы каждое последующее уравнение нашей «цепочки» (или совокупность уравнений в случае ветвления) являлось следствием предыдущего. Одним из возможных методов отбора корней является проверка. Сразу заметим, что в случае тригонометрических уравнений трудности, связанные с отбором корней, с проверкой, как правило, резко возрастают по сравнению с алгебраическими уравнениями. Ведь проверять приходится серии, состоящие из бесконечного числа членов.

Особо следует сказать о замене неизвестных при решении тригонометрических уравнений. В большинстве случаев после нужной замены получается алгебраическое уравнение. Более того, не так уж и редки уравнения, которые, хотя и являются тригонометрическими по внешнему виду, по существу таковыми не являются, поскольку уже после первого шага —- замены переменных —- превращаются в алгебраические, а возращение к тригонометрии происходит лишь на этапе решения элементарных тригонометрических уравнений.

Еще раз напомним: замену неизвестного следует делать при первой возможности, получившееся после замены уравнение необходимо решить до конца, включая этап отбора корней, а уж затем возвратится к первоначальному неизвестному.

Одна из особенностей тригонометрических уравнений заключается в том, что ответ во многих случаях может быть записан различными способами. Даже для решения уравнения ответ может быть записан следующим образом:

1) в виде двух серий:, , ;

2) в стандартной форме представляющей собой объединение указанных выше серий:, ;

3) поскольку, то ответ можно записать в виде,. (В дальнейшем наличие параметра, , или в записи ответа автоматически означает, что этот параметр принимает всевозможные целочисленные значения. Исключения будут оговариваться.).

Очевидно, что тремя перечисленными случаями не исчерпываются все возможности для записи ответа рассматриваемого уравнения (их бесконечно много).

Например, при справедливо равенство. Следовательно, в двух первых случаях, если, мы можем заменить на .

Обычно ответ записывается на основании пункта 2. Полезно запомнить следующую рекомендацию: если на решении уравнения работа не заканчивается, необходимо еще провести исследование, отбор корней, то наиболее удобна форма записи, указанная в пункте 1. (Аналогичную рекомендацию следует дать и для уравнения .).

Рассмотрим пример иллюстрирующий сказанное.

Пример Решить уравнение .

Решение. Наиболее очевидным является следующий путь. Данное уравнение распадается на два: и. Решая каждое из них и объединяя полученные ответы, найдем .

Другой путь. Поскольку, то, заменяя и по формулам понижения степени. После небольших преобразований получим, откуда .

На первый взгляд никаких особых преимуществ у второй формулы по сравнению с первой нет. Однако, если возьмем, например,, то окажется, что, т. е. уравнение имеет решение, в то время как первый способ нас приводит к ответу. «Увидеть» и доказать равенство не так просто.

Ответ. .

Преобразование и объединение групп общих решений тригонометрических уравнений Будем рассматривать арифметическую прогрессию, бесконечно простирающуюся в обе стороны. Члены этой прогресссии можно разбить на две группы членов, располагающиеся вправо и влево от некоторого члена, называемого центральным или нулевым членом прогрессии.

Фиксируя один из членов бесконечной прогрессиии нулевым номером, мы должны будем вести двойную нумерацию для всех оставшихся членов: положительную для членов, расположенных вправо, и отрицательную для членов, расположенных влево от нулевого.

В общем случае, если разность прогрессии, нулевой член, формула для любого (-го) члена бесконечной арифметической прогрессии представляет вид:

Преобразования формулы для любого члена бесконечной арифметической прогрессии.

• 1. Если к нулевому члену прибавить или отнять разность прогрессии, то от этого прогрессия не изменится, а только переместится нулевой член, т. е. изменится нумерация членов.
• 2. Если коэффициент при переменной величине умножить на, то от этого произойдет лишь перестановка правой и левой групп членов.
• 3. Если последовательных членов бесконечной прогрессии

например, ,, …,, сделать центральными членами прогрессий с одинаковой разностью, равной :

то прогрессия и ряд прогрессий выражают собой одни и те же числа.

Пример Ряд может быть заменен следующими тремя рядами:, , .

4. Если бесконечных прогрессий с одинаковой разностью имеют центральными членами числа, образующие арифметическую прогрессию с разностью, то эти рядов могут быть заменены одной прогрессией с разностью, и с центральным членом, равным любому из центральных членов данных прогрессий, т. е. если.

то эти прогрессий объединяются в одну:

Пример, ,, обе объединяются в одну группу, так как .

Для преобразования групп, имеющих общие решения, в группы, общих решений не имеющие данные группы разлагают на группы с общим периодом, а затем стремятся объединить получившиеся группы, исключив повторяющиеся.

Разложение на множители Метод разложения на множители заключается в следующем: если.

то всякое решение уравнения.

является решение совокупности уравнений.

Обратное утверждение, вообще говоря неверно: не всякое решение совокупности является решением уравнения. Это объясняется тем, что решения отдельных уравнений могут не входить в область определения функции .

Пример Решить уравнение .

Решение. Используя основное тригонометрическое тождество, уравнение представим в виде.

Ответ.; .

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение.

Пример Решить уравнение .

Решение. Применим формулу, получим равносильное уравнение.

Ответ. .

Пример Решить уравнение .

Решение. В данном случае, прежде чем применять формулы суммы тригонометрических функций, следует использовать формулу приведения. В итоге получим равносильное уравнение.

Ответ., .

Решение уравнений приобразованием произведения тригонометрических функций в сумму При решении ряда уравнений применяются формулы.

Пример Решить уравнение.

Решение. Применив формулу, получим равносильное уравнение:

Ответ., .

Пример Решить уравнение .

Решение. Применив формулу, получим равносильное уравнение:

Ответ. .

Решение уравнений с применением формул понижения степени При решении широкого круга тригонометрических уравнений ключевую роль играют формулы.

Пример Решить уравнение .

Решение. Применяя формулу, получим равносильное уравнение.

.

Ответ.; .

Решение уравнений с применением формул тройного аргумента Пример Решить уравнение .

Решение. Применим формулу, получим уравнение.

Ответ.; .

Пример Решить уравнение .

Решение. Применим формулы понижения степени получим:. Применяя получаем:

.

Ответ.; .

Равенство одноименных тригонометрических функций.

Пример Решить уравнение .

Решение.

Ответ., .

Пример Решить уравнение .

Решение. Преобразуем уравнение.

Ответ. .

Пример Известно, что и удовлетворяют уравнению.

Найти сумму .

Решение. Из уравнения следует, что.

Ответ. .

Домножение на некоторую тригонометрическую функцию Рассмотрим суммы вида.

Данные суммы можно преобразовать в произведение, домножив и разделив их на, тогда получим.

Указанный прием может быть использован при решении некоторых тригонометрических уравнений, однако следует иметь в виду, что в результате возможно появление посторонних корней. Приведем обобщение данных формул:

Пример Решить уравнение .

Решение. Видно, что множество является решением исходного уравнения. Поэтому умножение левой и правой части уравнения на не приведет к появлению лишних корней.

Имеем .

Ответ.; .

Пример Решить уравнение .

Решение. Домножим левую и правую части уравнения на и применив формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму, пролучим.

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений и, откуда и .

Так как корни уравнения не являются корнями уравнения, то из полученных множеств решений следует исключить. Значит во множестве нужно исключить .

Ответ. и, .

Пример Решить уравнение .

Решение. Преобразуем выражение :

Уравнение запишется в виде:

Принимая, получаем. ,. Следовательно.

Ответ. .

Сведение тригонометрических уравнений к алгебраическим Сводящиеся к квадратным Если уравнение имеет вид.

то замена приводит его к квадратному, поскольку () и .

Если вместо слагаемого будет, то нужная замена будет .

Уравнение.

сводится к квадратному уравнению.

представлением как. Легко проверить, что при которых, не являются корнями уравнения, и, сделав замену, уравнение сводится к квадратному.

Пример Решить уравнение .

Решение. Перенесем в левую часть, заменим ее на, и выразим через и .

После упрощений получим:. Разделим почленно на, сделаем замену :

Возвращаясь к, найдем .

Уравнения, однородные относительно ,.

Рассмотрим уравнение вида.

где, ,, …,, —- действительные числа. В каждом слагаемом левой части уравнения степени одночленов равны, т. е. сумма степеней синуса и косинуса одна и та же и равна. Такое уравнение называется однородным относительно и, а число называется показателем однородности .

Ясно, что если, то уравнение примет вид:

решениями которого являются значения, при которых, т. е. числа,. Второе уравнение, записанное в скобках также является однородным, но степени на 1 ниже.

Если же, то эти числа не являются корнями уравнения .

При получим:, и левая часть уравнения (1) принимает значение .

Итак, при, и, поэтому можно разделить обе части уравнения на. В результате получаем уравнение:

которое, подстановкой легко сводится к алгебраическому:

Однородные уравнения с показателем однородности 1. При имеем уравнение .

Если, то это уравнение равносильно уравнению, , откуда, .

Пример Решите уравнение .

Решение. Это уравнение однородное первой степени. Разделим обе его части на получим:, ,, .

Ответ. .

Пример При получим однородное уравнение вида.

Решение.

Если, тогда разделим обе части уравнения на, получим уравнение, которое подстановкой легко приводится к квадратному:. Если, то уравнение имеет действительные корни,. Исходное уравнение будет иметь две группы решений:, , .

Если, то уравнение не имеет решений.

Пример Решите уравнение .

Решение. Это уравнение однородное второй степени. Разделим обе чести уравнения на, получим:. Пусть, тогда, ,. ,, ;, , .

Ответ. .

К уравнению вида сводится уравнение.

Для этого достаточно воспользоваться тождеством.

В частности, уравнение сводится к однородному, если заменить на, тогда получим равносильное уравнение:

Пример Решите уравнение .

Решение. Преобразуем уравнение к однородному:

Разделим обе части уравнения на, получим уравнение:

Пусть, тогда приходим к квадратному уравнению:, ,, , .

Ответ. .

Пример Решите уравнение .

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что они имеют положительные значения:, ,.

Пусть, тогда получим, , .

Ответ. .

Уравнения, решаемые с помощью тождеств.

Полезно знать следующие формулы:

Пример Решить уравнение .

Решение. Используя, получаем.

Ответ.

Предлагаем не сами формулы, а способ их вывода:

следовательно,.

Аналогично, .

Пример Решить уравнение .

Решение. Преобразуем выражение :

Уравнение запишется в виде:

Принимая, получаем. ,. Следовательно.

Ответ. .

Универсальная тригонометрическая подстановка Тригонометрическое уравнение вида.

где —- рациональная функция с помощью фомул —, а так же с помощью формул — можно свести к рациональному уравнению относительно аргументов, ,, , после чего уравнение может быть сведено к алгебраическому рациональному уравнению относительно с помощью формул универсальной тригонометрической подстановки.

Следует отметить, что применение формул может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку не определен в точках, поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы, корнями исходного уравнения.

Пример Решить уравнение .

Решение. По условию задачи. Применив формулы и сделав замену, получим.

откуда и, следовательно, .

Уравнения вида.

Уравнения вида, где —- многочлен, решаются с помощью замен неизвестных.

Пример Решить уравнение .

Решение. Сделав замену и учитывая, что, получим.

откуда,. —- посторонний корень, т.к.. Корнями уравнения являются .