Теорема Лемма. 
Показатели степени некоторых числовых равенств

Если существует верное числовое равенство (1), где:

 — целые основания степеней положительных слагаемых и суммы, n > 1 — натуральный показатель степени, то в соответствующем ему алгебраическом уравнении (4) для любого значения переменной У можно найти такие значения переменных Хк, при которых будут равны между собой все соответствующие слагаемые обеих частей этого равенства.

Доказательство леммы:

Пусть существует удовлетворяющее условиям леммы верное числовое равенство (1), а, следовательно, и соответствующее ему алгебраическое уравнение (4).

Пусть утверждение леммы верно и в алгебраическом уравнении (4) можно найти такие переменные Хк, У, для которых выполняется система уравнений, состоящая из (n + 1) уравнения:

(5).

Следует отметить, что система уравнений (5) существует только в том случае, если основания, не являются иррациональными числами или рациональными дробями. Пусть, например, число иррациональное (при этом число является целым числом, так как основания по условию являются целыми числами), то при показателе степени n > 1 (при этом количество уравнений системы не менее 3), выбрав переменные Хк, У целыми (они могут принимать любые значения, при этом числовое равенство (1) не нарушится), получим, что все левые части системы уравнений (5) будут целыми, в то время как в правой части часть уравнений будет иметь иррациональные значения, что является противоречием.

Система уравнений (5) может быть нарушена и для числовых равенств типа (1) если основаниями степеней являются рациональные дроби. Например, если при целых основаниях основание является рациональной дробью, то при выбранных целыми переменных Хк, У все уравнения левой части системы будут иметь целые значения, в то время как правые части кроме последнего уравнения все будут представлять собой рациональные дроби, что также является противоречием. Это же следует и непосредственно из исходного числового равенства.

Пусть основания, целые. Для таких числовых равенств приведенные выше нарушения системы уравнений (5) не существуют. Система уравнений при помощи тождественных преобразований приводится к виду (преобразование системы уравнений приведено в приложении 1):

(6).

Следовательно, если существуют удовлетворяющие условиям леммы основания степеней, для которых числовое равенство (1) верное, то существуют соответствующая ему система уравнений (5) и преобразованная система уравнений (6).

По условию показатель степени n входящих в равенство слагаемых и суммы больше 1. Тогда количество уравнений в системе уравнений (6) не меньше 3.

Умножая первое уравнение полученной системы на множитель (У/В)², а второе на (-2У/В), и складывая первые три равенства, получим:

(7).

Следовательно, если существуют такие целые основания степеней и, для которых числовое равенство (1) верно при n 1, то существует соответствующее этому числовому равенству алгебраическое уравнение (7).

По условию леммы слагаемыеявляются положительными числами. Тогда для выполнения равенства (7), (поскольку квадрат множителя в скобках при любых значениях входящих в него переменных не отрицателен), необходимо выполнение условий:

где индекс к пробегает значения от 1 до R (R — количество слагаемых в числовом равенстве (1)).

Или в виде системы уравнений:

(9).

Полученные условия преобразования (9) содержат R уравнений (где R — количество слагаемых равенства (1)) и устанавливают при заданных целых основаниях, соотношения между переменными уравнения (4), при которых любому значению одной из переменных У или Хк можно найти такие значения остальных переменных, при которых будут равны между собой все соответствующие слагаемые обеих частей уравнения (4) (в этом можно убедиться, подставив полученные соотношения (9) в равенство (4)).

Таким образом, если числовое равенство (1) верное, основания степеней и положительных слагаемых и суммы являются целыми числами, а натуральный показатель степени n 1, то существует соответствующее ему тождественно преобразованное алгебраическое уравнение (4) и условия его преобразования (9), позволяющие преобразовать одну часть уравнения (4) к виду его другой части. Условия преобразования (9) из всей совокупности верных и неверных числовых равенств типа (1) при показателе степени n 1 выделяют верные числовые равенства и, если эти условия не выполняются, то не существует и верного числового равенства (1).

Очевидно, что уравнения, входящие в систему уравнений (9), имеют нетривиальные (отличные от ноля) решения (все уравнения системы являются линейными, а одной из переменных можно задавать любое значение).

Следовательно, верное числовое равенство типа (1) при выполнении условий леммы можно преобразовать к виду (4), где каждое из слагаемых правой части будет равно сумме соответствующих слагаемых левой части.

Лемма доказана.

Числовые равенства типа (1), удовлетворяющие условиям теоремы, удовлетворяют и условиям леммы. Для таких равенств существует тождественно преобразованное алгебраическое уравнение (4) и соответствующие ему условия преобразования (9) определяющие его верность. Следовательно, для удовлетворяющих условиям теоремы верных числовых равенств типа (1), существует система уравнений:

Или, что тоже самое:

(10).

По условию теоремы все основания степеней, являются взаимно простыми числами, а следовательно в системе уравнений (10) нет сократимых и одинаковых уравнений при любой их перестановке.

Полученная система уравнений приводится к виду системы уравнений (6):

(11).

Она отличается от системы уравнений (6) только количеством уравнений в системе. В системе уравнений (6) количество уравнений равно (n + 1), а в системе уравнений (11) оно равно (R + 1), где R — количество слагаемых числового равенства (1).

Система уравнений (11) очевидно является равносильной системе уравнений (6) (системы уравнений имеют одни и те же решения и относятся к одному и тому же числовому равенству).

Система уравнений (11) при помощи тождественных преобразований аналогичных преобразованиям приложения № 1, но в обратном порядке (свертка системы уравнений (11)), приводится к равенству типа (1) только в том случае, если показатель степени n = R (где R — количество слагаемых в равенстве (1)).

Следовательно, если существует удовлетворяющее условиям теоремы верное числовое равенство типа (1) с показателем степени n 1, то его показатель степени n = R, что и требовалось доказать.

Теорема нарушается, если среди оснований, имеются сократимые числа.

Чтобы показать это, предположим, что существует числовое равенство:

в котором основания степени и являются сократимыми. Запишем их в виде:

где: P и T — целые, несократимые числа, N — общий множитель.

Тогда числовое равенство примет вид:

(12).

После проведения операций 3 — 8 получим для условий преобразования систему уравнений аналогичную системе уравнений (9):

(13).

А соответствующая числовому равенству система уравнений (аналогичная системе уравнений (10)) примет вид:

(14).

Свертка системы уравнений (14) соответствует числовому равенству (12), а свертка этой же системы уравнений после сокращения последнего уравнения невозможна без умножения на множитель (последнее уравнение относится к иному числовому равенству). Для исключения этой неоднозначности необходимо рассматривать подобные исходные числовые равенства (12) первоначально разделив их на множитель N:

(15).

Полученное числовое равенство (15) содержит в своем составе как целые основания степеней, так и рациональные дроби, что выходит за рамки теоремы (нарушается требование целостности оснований числового равенства (1)), может привести к нарушению леммы (невозможности представления в виде системы уравнений (5)) и соответственно нарушению теоремы.