Элементы алгебры и геометрии

Задача 1. Найти матрицу.

.,, .

Решение.

Задача 2. Найти обратную матрицу и пользуясь правилом умножения матриц, показать, что, где — единичная матрица.

Решение.

матрица уравнение площадь треугольник.

Задача 3. Решить системы линейных уравнений с тремя неизвестными.

Решение Решение ищем методом Крамера.

Задача 4. Построить треугольник, вершины которого находятся в точках, ,. Найти:

• 1. уравнения сторон треугольника ;
• 2. координаты точки пересечения медиан;
• 3. длину и уравнение высоты, опущенной из вершины ;
• 4. площадь треугольника.

,.

Решение.

1. уравнения сторон треугольника ;

Уравнение АВ:

Уравнение ВС:

Уравнение АС:

2. координаты точки пересечения медиан;

Точка D (х, у) — середина стороны АВ

Точка — середина стороны ВС

Точка середина стороны АС

Уравнение медианы AF

Уравнение медианы CD

Уравнение медианы BE

Координаты точки пересечения медиан.

Точка — пересечение медиан.

3. Длина и уравнение высоты, опущенной из вершины ;

— уравнение высоты AN

Длина высоты:

ед.

4. площадь треугольника.

кв.ед. — площадь треугольника.

Задача 5. Даны координаты точек, ,,. Найти:

• 1. найти длину ребра ;
• 2. уравнение плоскости, проходящей через точки, и ;
• 3. уравнение высоты опущенной из точки на плоскость ;
• 4. площадь грани ;
• 5. объем пирамиды .

, ,.

Решение.

1. длина ребра ;

2. уравнение плоскости, проходящей через точки, и ;

3. уравнение высоты опущенной из точки на плоскость ;

Направляющим вектором высоты будет вектор нормали плоскости АВС:

Уравнение высоты:

• 4. площадь грани ;
• 5. объем пирамиды .