Расчет ломаного пространственного бруса

Пространственный брус подвергается нагрузкам.

Требуется: подобрать размеры поперечных сечений заданной формы участков стального ломаного бруса. Исходные данные: F=1кН; а=1,5 м; [у]=140МПа; .

Прежде всего, нумеруем участки и показываем координатные оси для каждого из участков.

При решении задачи прочности будем учитывать только моменты: изгибающие и крутящие. Другими внутренними усилиями пренебрегаем. Кроме того, для простоты восприятия рассмотрим отдельно действие сил F₁иF₂.

Так эпюры от силы F₁=F и F2=2Fбудут:

Эпюры изгибающих моментов здесь показаны на растянутых волокнах.

Анализируя эпюры, устанавливаем вид сопротивления в опасных сечениях каждого участка бруса:

I: M_z=Fa — прямой изгиб,.

II: M_у=Fa, M_z=2Fa — косой изгиб,.

III: M_z=5Fa, M_к=2Fa — прямой изгиб с кручением,.

IV: M_у=Fa, M_z=4Fa, M_к=5Fa— косой изгиб с кручением.

Подбор сечений производим из соответствующих условий прочности:

I. Изгиб:

Для круглого сечения, поэтому.

Принимаем d=6cм.

II: Косой изгиб: M_{у=Fa, Mz=2Fa.}

В угловой точке 1 напряжение имеет наибольшее значение. Условие прочности косого изгиба в этой точке:

Для прямоугольника с размерами h и b:

Для рассматриваемого случая.

.

Подставляя в условие прочности, будем иметь:

Принимаем: b=5,2 см, h=2b=10,4 см.

III: Изгиб с кручением M_{z=5Fa, Mк=2Fa}

Наиболее напряженными точками в опасном сечении участка III являются точки 1 и 2, в которых:

в т. 1: , — чистый сдвиг;

в т. 2: , — изгиб с кручением.

В обеих точках возникает плоское напряженное состояние, значит, для оценки прочности необходимы теории прочности. Более опасной точкой является та, где эквивалентное (расчетное) напряжение по той или иной теории прочности окажется больше.

Применим третью теорию прочности (наибольших касательных напряжений). С позиций этой теории эквивалентное напряжение в точке 1 будет: эпюра сопротивление напряжение.

Для прямоугольного сечения с: г=0,795; б=0,246, поэтому.

Эквивалентное напряжение в точке 2, где.

Учитывая, что,, будем иметь:

Таким образом, более опасной является точка 2, где.

Тогда из условия прочности находим:

Принимаем: b=4,8 см, h=9,6 см.

Наконец, на IV участке, в опасном сечении которого возникает косой изгиб с кручением M_{у=Fa, Mz=4Fa, Mк=5Fa:}

Итак:

в точке 1: ,.

в точке 2: ;

в точке 3: .

Какая из них опаснее? Очевидно, та, где больше величина у_экв.

В точке 1 отсутствует касательное напряжение, и напряженное состояние является линейным с расчетным напряжением:

В точке 2:

В точке 3:

Из сравнения следует, что наиболее опасной точкой в опасном сечении IV участка является точка 3. Тогда из условия прочности в этой точке находим:

Принимаем: b=6см, h=12см.

Таким образом, размеры поперечных сечений всех участков бруса определены.