Кардинальные числа. 
Теория множеств

Кардинальным числом или коротко кардиналом в теории множеств называется объект, который характеризует мощность множества. Кардинальное число какого-либо множества A обозначается как |A|, либо Card A.

Для конечного множества A кардинальное число |A| есть натуральное число, которое означает количество элементов этого множества. Для бесконечных множеств кардинальное число является обобщением понятия числа элементов.

Хотя кардинальные числа бесконечных множеств не имеют отражения в натуральных числах, но их можно сравнивать. Пусть A и B — бесконечные множества, тогда логически возможны следующие четыре случая:

существует взаимно-однозначное соответствие между A и B, т. е. A ~ B и |A|=|B|.

существует взаимно-однозначное соответствие между множеством A и некоторым собственным подмножеством B' множества B. Тогда говорят, что мощность множества A не больше мощности множества B и записывают: |A|?|B|.

множество A равномощно некоторому подмножеству множества B, и наоборот, множество B равномощно некоторому подмножеству множества A, то есть A~B'? B и B~A'? A. По теореме Кантора-Бернштейна в этом случае выполняется A ~ B, то есть |A|=|B|.

не существует взаимно-однозначного соответствия между множеством A и любым подмножеством множества B и, также не существует взаимно-однозначного соответствия между множеством B и любым подмножеством множества A. Из этого следует, что мощности множеств A и B несопоставимы между собой.

Однако более глубокие исследования в теории множеств показали, что, опираясь на аксиому выбора, можно доказать невозможность существования четвёртого случая.

Таким образом, мощности любых двух множеств A и B всегда сопоставимы между собой. То есть для кардинальных чисел |A| и |B| произвольных множеств A и B выполняется одно из трёх соотношений:

|A|=|B|;

|A|?|B|:

|B|?|A|.

Если |A|?|B|, но множество A неравномощно множеству B, то тогда |A|<|B|.