Электромагнитная масса кулоновского поля

Свободное перемещение статического электрического поля в вакууме хорошо изучено. Однако свойства электромагнитной массы (ЭМ-массы), связанной с кулоновским полем, до сих пор подвергаются обсуждению. Вследствие эквивалентности массы (M) и энергии (W = Mc2) можно рассматривать на равных, как массу, так и энергию. Представим некоторую конфигурацию электрических зарядов и, совершив работу, получим другую конфигурацию. Затраченная работа перейдёт в дополнительную потенциальную энергию взаимодействия зарядов. Где локализуется приобретённая энергия? Простой расчёт показывает [1], что она локализуется не в зарядах, а в поле взаимодействия зарядов. Кроме того, движущееся кулоновское поле реализует себя тем, что в каждой пространственной точке оно порождает магнитное поле. И ещё: при излучении ЭМ-волн фрагменты энергии поля проявляются самостоятельно вдали от зарядов. Таким образом, кулоновское поле будет рассматриваться ниже, как материальный объект. Однако не следует полностью отождествлять ЭМ-массу с механической массой — слишком большие различия между ними (разные формы материи, магнитное поле).

Другая дискуссионная тема: вектор Пойнтинга, правильно описывающий плотность потока энергии электромагнитной волны, терпит неудачу в применении к переносу энергии кулоновским полем.

Рассмотрение близких к данной теме вопросов можно найти в работах [2, 3].

Объектом исследования выбрана модель электрического заряда (q), распределённого по сфере радиусом (r0), в которой внутреннее поле отсутствует. Такое ограничение требуется для того, чтобы устранить «особую точку», и иметь конкретное электрическое поле в «чистом» виде. В то же время сохраняется возможность использовать формулы для точечного заряда. Все изменения поля происходят на этапе ускорения (торможения) заряда. Приобретённые свойства полей сохраняются во время движения с постоянной скоростью (v). Именно этот этап перемещения заряда рассматривается в данной статье. В качестве «стартовой позиции» выбрана релятивистская формула напряжённости (E) электрического поля точечного заряда (сферические координаты), представленная в «Берклеевском курсе физики» Э. Парселла [4], а также в «Общем курсе физики» И. В. Савельева [5]:

E (r, и, ц, г) = (q/4ре0r2) г-2 [1 — (1 — г-2) sin2и]-3/2. (1).

Здесь г = (1 — в2)-½; в = v/c, c — скорость света; е0 — электрическая постоянная; и — угол между векторами v и E. Относительно координатной оси (0х) — линии движения — поле Е симметрично, и не зависит от азимутального угла (ц).

Напряжённости Е по формуле (1) выражают в рамках специальной теории относительности (СТО) поле заряда в движущейся (собственной) системе отсчёта, измеренное неподвижным (сторонним) наблюдателем. Таким же способом интерпретируются координаты, последующие формулы и расчёты по ним. электромагнитный вакуум кулоновский Преобразования координат в формуле (1) написаны для одновременных событий в неподвижной и движущейся системах отсчёта в момент времени (t = 0). Исходя из этого, «стартовая» формула (1) не зависит от времени. Очевидно, что при v = const, формулы не изменятся и для других моментов (t). Одно из ранних доказательств в рамках (СТО) перемещения заряда с сохранением формы его электрического поля представлено в сборнике [6]. Вариант сохранения поля заряда при его движении с постоянной скоростью без использования «запаздывающего взаимодействия» предложен в работе [2].

При v = 0, г = 1, формула (1) описывает кулоновское поле заряда в состоянии покоя. Величины, относящиеся к неподвижной системе отсчёта, будут отмечены подстрочным индексом «0». Изменения, происходящие при увеличении (г), обусловлены релятивистским сокращением масштабов длины (x) по линиям движения,.

x = x0/г, (1a).

и увеличением напряжённости Еn(r, и, ц, г), поперечной по отношению к скорости (v) компоненты поля Е.

Еn = г (Еn)0. (1b).

Продольная составляющая Еl поля Е, параллельная скорости, остаётся без изменения.

Еl = (Еl)0. (1c).

Явная зависимость величин без индекса «0» от (г) для сокращения записи здесь и далее не всегда указывается, но она всегда присутствует. Именно формулы (1a, 1b, 1c) служат основанием для деформации поля Е и сохранения его формы во время движения. Названные преобразования в реальном мире требуют энергетических затрат, и происходят под действием внешних (ускоряющих) сил.

Энергия W электрического поля представляет собой интеграл от объёмной плотности энергии (е0/2)E2(r, и, ц, г) по всему объёму поля.

W (г) = (е0/2)? E2(r, и, ц, г) dV =.

= (q2 / 16ре0r0)? г-4 [1 — (1 — г-2) sin2и]-3 sin и dи. (2).

Здесь (г) является параметром, характеризующим скорость движения заряда. Коэффициент,.

q2 /16ре0r0? k, (3).

получен интегрированием в сферических (преобразованных) координатах по радиусу (r) и по углу (ц). Возможность такого интегрирования при одинаковых значениях (r0) для всех (и, ц) обусловлена направленностью векторов E по преобразованным радиусам r.

При г = 1, W(1) = 2k. Энергия заряженной проводящей сферы Wсф = q2/2ce, где ce = 4ре0r0, электроёмкость сферы радиусом (r0), и потенциальная энергия взаимодействия двух одинаковых точечных зарядов, находящихся на расстоянии (2r0), Wвз = q2/4ре0(2r0), также равны 2k. Энергия покоя кулоновского поля, определённая по формуле (2), совпадает с величиной, вычисленной разными способами. Рассмотрим подробнее напряжённости поперечного (En) и продольного (El) полей.

E = En + El; E2 = (En)2 + (El)2; En = E sin и; El = E cos и. (4).

Из формулы (4) видно, что компоненты En и El «делят» между собой одно и то же поле E. Поле En в (г) раз сильнее, чем соответствующая составляющие классического кулоновского поля, а поле El остаётся без изменения. Это следует из формул (1a, 1b, 1c), и в дальнейшем отразится на вычислениях энергий.

Поместим заряд (q) в воображаемую замкнутую цилиндрическую поверхность (у), соосную (0х). В результате ускорения до уровня (г) поле (En) увеличивается в (г) раз, а площадка (dуn), нормальная (En), уменьшается в (г) раз. В тех же условиях поле (El) и площадка (dуl), нормальная (El), остаются неизменными. Следовательно, теорема Гаусса, связывающая полный поток напряжённости с величиной заряда, остаётся неизменной во всех случаях. Только сокращение (уn) позволяет увеличить (En) с сохранением заряда (q).

Вычисление энергий Wn(г) и Wl(г) для каждого из полей En и El производится по формуле (2) путем замены E на En или El по формуле (4).

Wn (г) = (е0/2)? (En)2(r, и, ц, г) dV = k? г-4[1 — (1 — г-2) sin2и]-3 sin3и dи.(5).

Wl (г) = (е0/2)? (El)2(r, и, ц, г) dV = k? г-4[1 — (1 — г-2) sin2и]-3 sin и cos2и dи.(6).

Значения энергии покоя для этих полей:

Wn(1) = (4/3)k; Wl(1) = (2/3)k.

Введём также функцию Wr(г), которая показывает, как должна измениться энергия W(1) поля с релятивистской (механической) массой, после приобретения относительной скорости (в (г) = (1 — г-2)½).

Wr (г) = г W (1).(7).

Здесь прирост энергии W(1) до величины Wr(г) происходит по линейному закону за счёт кинетической энергии. Структура объекта с энергией покоя W(1) при любой скорости движения остаётся вне поля зрения. Формула (7) вошла в учебники по физике, используется в расчётах ускорителей заряженных частиц и др. Её достоверность подтверждается и теорией (СТО), и практикой. Менее известно «уплотнение» поперечного поля (формула (1b)), которая проистекает из того же источника (СТО), выражает те же свойства (7), и подтверждается расчётами электрических токов и их полей в разных (инерциальных) системах отсчёта [3, 4].

Аналогично выглядят формулы вычисления релятивистской механической энергии для компонент поля Еn и Еl.

Wrn (г) = г Wn (1), Wrl (г) = г Wl (1). (7a).

Полная энергия W(г) электрического поля заряда и её составляющие, Wn(г) иWl(г), вместе с их релятивистскими механическими аналогами, Wr(г), Wrn(г),Wrl(г), показаны на рис. 1 при различных значениях параметра г.

Рис. 1. Зависимости полной энергии электрического поля заряда (формула (2)) и её составляющих (формулы (5) и (6)), а также их расчётных значений на основе механического представления ЭМ-массы (формулы (7) и (7a)), от параметра г (без коэффициента k). Релятивистские механические аналоги показаны пунктиром.

Все представленные на рис. 1 функции от (г), кроме Wl(г), «растут» при увеличении (г), однако энергия W(г) не следует закону Wr(г), а скорее подчиняется изменениям Wn(г). Это связано с уменьшением Wl(г) вследствие сокращения размеров поля El(г) по линиям движения. Разница в закономерностях изменения поперечной (Wn) и продольной составляющих (Wl) энергии (и массы) кулоновского поля вытекает из формулы (1). При больших (г) полная кулоновская энергия с увеличением скорости движения поля превращается в энергию Wn(г) поперечного поля.

W (г) > Wn (г). (8)Структурные и инерциальные свойства ЭМ-массы электрического поля при изменении скорости движения во многом не совпадают со свойствами массы механических объектов.

Обратимся к расчёту энергии магнитного поля Wm(г), образование которого формула (2) в явном виде не учитывает. При перемещении статического поля Е(г) со скоростью (v) наблюдается магнитное поле с индукцией В(г) [7].

B (г) = v Ч E (г)/c2 = v Ч (En (г) + El (г))/c2 = v Ч En (г)/c2; B (г) = v En (г)/c2. (9).

Векторное произведение,.

v Ч El (г) = 0, (10).

равно нулю, так как v и El имеют одинаковое направление. Формула (9) совпадает с законом Био — Савара для единичного носителя тока и, в данном случае показывает, что магнитное поле создаётся исключительно поперечной составляющей кулоновского поля.

Пользуясь формулой (9), можно представить действие магнитного поля на пробный заряд в виде силы Лоренца F.

F (г) = v Ч B (г); F (г) = - в2En (г). (11).

Сила F(г) направлена противоположно En(г). При этом происходит ослабление электрического поля En(г). Суммарное поле En(г)У равно.

En (г)У = En (г) — F (г) = (1 — в2) En (г) = En (г)/г2. (12).

Поля En(г)У и F(г) всегда направлены перпендикулярно вектору v, что является следствием «сжатия» линейных размеров (формула (1а)) при сохранении заряда q. Таким образом, (СТО) обладает пока монопольным правом объяснять действие магнитного поля на электрические заряды. На практике магнитное поле «свободного» заряда (q) воздействует на пробный заряд или другой заряд q др (надо в этом случае умножить En(г) на q др) именно в формате (12), то есть в виде ослабленного электрического поля. В пределе, в > 1, сила |F(г)| > |En(г)|, и кулоновское взаимодействие зарядов стремится к нулю, но в любом случае при отсутствии экранирующих зарядов с противоположным знаком силы притяжения между параллельными токами не возникнут. Например, пучок электронов в вакуумной камере не будет сжиматься в поперечном сечении, а два параллельных пучка не будут притягиваться друг к другу. Если же статическое кулоновское поле носителей тока экранировано действием зарядов с другими знаками, то останется лишь магнитное поле, и носители токов будут притягиваться, или отталкиваться, в соответствии с законом Ампера. Ещё одно следствие из формул (9) и (11): в каждой точке пространства при v = const напряжённость E и индукция B всегда находятся в одинаковой фазе, и три вектора v, E и B ориентированы между собой так же, как в электромагнитной волне.

Энергия магнитного поля определяется интегралом от объёмной плотности энергии.

Wm (г) =? (B2/2м0)dV =? (е0c2v2(En (г))2/2c4)dV = в2Wn (г). (13).

Суммарная энергия электрического W(г) и магнитного Wm(г) полей.

Wem (г) = W (г) + Wm (г) = (1 + в2) Wn (г) + Wl (г) > (1 + в2) Wn (г). (14).

Использование вектора Пойнтинга для вычисления количества движения P, переносимого кулоновским полем заряда [7].

P = е0? (E Ч B) dV; E Ч B = E Ч (v Ч E)/c2 = (E2v — (vE cos и) E)/c2. (15).

Преобразуем выражение в формуле (15) справа:

E2v — (v E cos и) E = E2v — v (El) (En + El) =.

= E2v — v (El) (En) — (El)2v = (En)2v — v (El) (En). (16).

Интеграл (? v(El)(En) dV = 0) не даёт вклада в P, поэтому.

P = (е0 v/c2)? (En)2dV = 2c-2 Wn (г) v = 2Mn (г) v. (17).

Масса 2Mn(г) в формуле (17), во-первых, относится только к поперечному полю (En) и, во-вторых, в два раза больше массы Mn(г). Несовпадение массы из формулы (17) с массой М(г) = W(г)/c2 для всего поля (формула (2)) порождает противоречия. Как видно из рис. 1, и формулы (14), роль этих противоречий преувеличена.

Анализ получения (вывода) формулы для вектора Пойнтинга показывает, что удвоение Mn(г) связано с расчётом импульса P волны, у которой объёмные плотности энергии электрического и магнитного полей равны, а колебания E и B находятся в одинаковой фазе. В этом случае сумму плотностей энергии для E и B можно заменить удвоенной плотностью одного из полей. Так и сделано в формуле (15). При движении кулоновского поля энергии электрического и магнитного полей различны при малых скоростях. В таких условиях коэффициент «2» надо заменить коэффициентом (1 + в2) в соответствии с формулой (14). После названной замены все «недоразумения» с электромагнитной массой снимаются. При высоких скоростях, v > c, плотности энергии двух полей выравниваются, и вектор Пойнтинга применительно к кулоновскому полю будет давать результаты, аналогичные волновым.

• 1. Соколов Л. С. Электростатическое взаимодействие точечных зарядов. НиТ, 2003.
• 2. Корнева М. В., Кулигин В. А., Кулигина Г. А. Анализ классической электродинамики и теории относительности, гл. 3, стр. 27…40. НиТ, 2008.
• 3. Andrew E. Chubykalo and Roman Smirnov-Rueda. Phys. Rev. E, vol. 53, num. 5, p. 5373…5381, 1996.
• 4. Парселл Э. Электричество и магнетизм. Берклеевский курс физики. Т. 2., стр. 165…187 / Пер. с англ. — М.: Наука, 1975.
• 5. Савельев И. В. Курс общей физики. Т. 2. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. — М.: Наука, стр. 111…125, 1978.
• 6. Основные формулы физики, под ред. Д. Мензела. Перевод с англ., стр. 169…174. ИИЛ, Москва, 1957.
• 7. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т. 6. Электродинамика. Гл. 28, стр. 305…309 / Пер. с англ. — М.: Мир, 1966.