Разработка аналитического метода расчетной области с различными свойствами среды для электротехнических устройств

Математическое моделирование электрического и магнитного поля в плоскопараллельной прямоугольной области или полосе является актуальным, поскольку к такому моделированию сводится большое разнообразие задач расчета различных электротехнических и электрофизических устройств [3; 6]. В настоящее время для решения подобного типа задач получили распространение численные методы, реализуемые в соответствующих программных продуктах [7; 8]. Однако использование численных методов не снимает необходимость в аналитическом решении указанной задачи для различных случаев (например, различие свойств среды в расчетной области), поскольку аналитические решения позволяют, в свою очередь, решать задачи анализа и синтеза различных электротехнических и электрофизических устройств или их элементов (например, оптимизационная задача). Последнее можно рассматривать как формулировку общей проблемы, которая рассматривается в данной работе. А именно, в работе рассматриваем магнитное поле плоскопараллельной прямоугольной области, границы которой представляю собой биполярную систему магнитных полюсов, в котором межполюсное пространство высотой H и магнитной проницаемостью заполнено на высоту h материалом («наполнитель») с магнитной проницаемостью (рис. 1).

Рисунок 1. Расчетная система магнитных полюсов Магнитное поле в такой области может быть описано скалярным магнитным потенциалом определение распределения, которого и было общей задачей данной работы. Для рассматриваемой расчетной области магнитное поле описывается уравнением Лапласа для скалярного магнитного потенциала.

Анализ результатов предыдущих исследований. В настоящее время, для решения этого уравнения в прямоугольной области, широкое применение получил метод разделения переменных [1; 5]. Причем, считается, что расчетная область имеет однородные свойства, и все усилия исследователей направлены на определение скалярного потенциала в прямоугольной расчетной области для различных граничных условий.

Кроме того, известно применение и других аналитических методов для решения такого типа зада, авторы которых, однако, также рассматривают лишь однородную по свойствам расчетную область (см., например, [2]).

Что же касается решения уравнения Лапласа в расчетной прямоугольной области с разными зонами по магнитным свойствам материала зоны, то таких решений для рассматриваемой расчетной зоны мы не нашли.

Постановка задачи. Рассматриваем плоскопараллельную прямоугольную область, имеющую зоны с различными магнитными свойствами, и ограниченную эквипотенциальными линиями так, как это показано на рис. 2 (эти эквипотенциальные линии соответствуют поверхностям полюсов на рис. 1).

Рисунок 2. Модель расчетной области Магнитное поле в рассматриваемой области может быть описано скалярным магнитным потенциалом (рис. 2).

для зоны I (,);

для зоны II (,).

Потенциал и удовлетворяют уравнения Лапласа.

1).

2).

Требуется решение уравнения (1) и (2) с учетом граничных условий, которые в рассматриваемом случае (рис. 2) можно записать как:

, ;

, ;

,; 3).

, ;

, ;

,.

При том для однозначного определения потенциалов и необходимо еще учесть условия для этих потенциалов на границе раздела зон с различной магнитной проницаемостью (,, рис.2):

4).

Таким образом, задачей дальнейшего является решение уравнений (1) и (2) с учетом условий (3) и (4).

Общее решение уравнений (1) и (2). Для решения указанной задачи применим метод разделения переменных, что для потенциалов и позволяет записать в общем виде следующие выражения:

(5).

(6).

где:, ,, ,, ,, ,, ,, ,, , , — константы, определение которых должно давать потенциалы, соответствующим граничным условиям задачи.

В связи с выражениями (5) и (6) заметим, что обычно общее решение уравнения Лапласа методом разделения переменных записывают без квадратичных и линейных слагаемых перед суммами [1; 5]. Но такая запись не является общей, а для общности следует, все-таки, учитывать квадратичные и линейные слагаемые, которые также являются решением уравнения Лапласа. Именно это и учет осуществлен при записи выражений (5) и (6) в виде общих решений уравнений (1) и (2).

Уточнение общих выражений (5) и (6) путем определения на основе условий (3) и (4) входящих в них констант, является целью дальнейшего.

Использование граничных условий (3). Если учесть первое и четвертое граничное условие из (3), то несложно увидеть, что для удовлетворения этих условий необходимо положить: и. Это позволяет переписать (5) и (6) к виду: магнитный лаплас двумерный.

(7).

. (8).

Далее, используя второе и пятое граничное условие из (3), с учетом (7) и (8), можно записать следующие соотношения:

(9).

. (10).

Как видно, эти соотношения можно удовлетворить, если принять.

.

() 11).

Таким образом, согласно (11), вместо (7) и (8) можно записать выражения:

(12).

(13).

где: обозначено, ,, .

По поводу выражений (12) и (13) заметим, что они не содержат уже квадратичных и линейных слагаемых перед суммами. Это является следствием принятых граничных условий. При других граничных условиях эти слагаемые могли быть и ненулевыми.

Кроме того, заметим, что выражения (12) и (13) содержат только четыре неизвестных константы, и,. Из граничных же условий (3) осталось неиспользованными два условия (третье и шестое); также не использованы еще два условия (4) на границе зон I и II.

Таким образом, имеем четыре неизвестных константы, ,, и четыре уравнения для их определения.

А именно, используя третье граничное условие (3), получим соотношение.

(14).

в котором справа потенциал разложим в ряд Фурье по синусам, что дает .

Тогда, приравнивая коэффициенты перед соответствующими слагаемыми, получим следующее соотношение между неизвестными константами и.

. (15).

Наконец, если учесть шестое граничное условие из (3), то получим соотношение.

.

из которого следует равенство.

(16).

позволяющее переписать (13) к виду.

. (17).

Использование условия для скалярных потенциалов на смежной границе зон I и II. Согласно изложенному выше для искомых потенциалов и получили, соответственно, выражения (12) и (17), которые содержат три неизвестных, и, причем константы и связаны между собой соотношением (15). Таким образом, для определения констант, и необходимо записать еще два соотношения между ними, чтобы затем решить их и (15) как систему уравнений относительно неизвестных, и .

С этой целью, очевидно, следует воспользоваться условиями для потенциалов и на границе зон I и II, которые выше записаны как условия (4).

А именно, согласно первого равенства в (4), после подстановки в него (12) и (17), осуществив несложные преобразования, можно записать соотношение.

(18).

которое позволяет выразить константу через константы и.

.(19).

Согласно же второго условия в (4), также подставив в него (12) и (17), с учетом (19), после несложных преобразований, можно записать соотношение.

.(20).

Рассматривая (15) и (20), как два уравнения для констант и, после соответствующих алгебраических преобразований, получим:

.

21).

что, в свою очередь позволяет переписать (19) и (16) к виду:

.(22).

Таким образом, подставляя (21) и (22), соответственно, в (12) и (17) получим окончательно для искомых функций распределения скалярного магнитного потенциала в рассматриваемой области следующие выражения:

(23).

(24).

где: обозначено .

Обсуждение полученного решения. Прежде всего, заметим, что для и выражения (23), и выражения (24) дают одинаковое распределение потенциала на границе раздела зон I и II, а именно.

.

что свидетельствует о непрерывном распределении потенциала в расчетной области.

Кроме того, заметим, что при из (24) для потенциала при получим значение. Это позволяет утверждать, что выражение (24) при, описывает распределение потенциала в рассматриваемой прямоугольной области с однородными магнитными свойствами среды во всей этой области.

(25).

что соответствует известному разложению в этом случае [8].

Отметим также, что полученные решения в виде выражений (23) и (24) можно применить и для случая электростатического поля, положив в них вместо и соответственно и — диэлектрическая проницаемость зон I и II, понимая под и потенциал электрического поля в рассматриваемой области с граничными условиями (3). Кроме того, выражения (23) и (24) можно рассматривать и как описание распределения электрического потенциала для поля растекания токов для прямоугольной области с зонами различной электропроводимости.

Выводы

• 1. Методом разделения переменных получены аналитические выражения, описывающие непрерывное распределение скалярного потенциала магнитостатического поля двухполюсной системы заданного вида в прямоугольной области с двумя зонами с различной магнитной проницаемостью.
• 2. Полученное решение может быть использовано и для описания распределения потенциалов электрического поля и поля растекания токов в двумерной прямоугольной области с зонами, имеющими различные свойства.

• 1. Боголюбов А. Н., Кравцов В. В. Задачи по математической физике. — М.: Изд-во МГУ, 1998. — 350 с.
• 2. Волков Е. А. О решении задачи Мотца блочным методом / Е. А. Волков, А. К. Корноухов // - Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2003, № 43:9. — С. 1385−1391
• 3. Иоссель Ю. Я. Электрические поля постоянных токов. — Л.: Энергоатомиздат, 1986. — 160 с.
• 4. Несис Е. И. Методы математической физики. — М.: Просвещение, 1977. — 199 с.
• 5. Пикулин В. П. Практический курс по уравнениям математической физики. — М.: МЦНМО, 2004. — 208 с.
• 6. Цырлин Л. Э. Избранные задачи расчета электрических и магнитных полей. — М.: «Сов. радио», 1977. — 320 с.
• 7. Вычисление потенциала электрического поля на компьютере — [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://maier-rv.glazov.net/statiya22/el-pole.htm (Дата обращения: 27.11.15).
• 8. Finite element method magnetics: User’s manual — [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://femm.berlios.de (Дата обращения: 25.11.15).