Граничные условия на поверхности идеально проводящего тела

Если тело объема V — металл, то его проводимость велика. При построении математической модели предполагают, что, т. е. телу присваивают свойства идеального проводника, в котором ЭМ поле не может существовать — оно вытесняется в бесконечно тонкий слой у поверхности S. Надо установить граничные условия на S. Тело находится в изотропной непроводящей среде.

Пусть. Тогда при и. В плотности объемных электрического и стороннего магнитного зарядов у поверхности S выражаются произведениями соответствующих плотностей поверхностных зарядов и — функции, т. е. и (фиктивный сторонний магнитный заряд) имеют особенности при. Так как по определению (— физически бесконечно малый объем), то где — плотность поверхностного электрического заряда.

Тогда. Аналогично,. Таким образом, получаем граничные условия на поверхности идеального проводника.

(12).

Если, то и, следовательно,.

т. е. (13).

Устанавливаем поведение касательных к поверхности составляющих векторов Е и Н. Электрический и магнитный токи смещения через поверхность, опирающуюся на контур, при стремятся к нулю, так как на S они не имеют особенностей. Но контур охватывает полный ток проводимости или сторонний магнитный ток. Итак, при при.

a, где v — средняя скорость носителей заряда, (рис. 3,б). Поскольку заряд сосредоточен на поверхности, то и, где J — плотность поверхностного тока.

Аналогичным образом получаем:, где — плотность поверхностного стороннего магнитного тока.

Таким образом, из находим.

Эти условия показывают, что на идеально проводящем теле, расположенном в изотропной непроводящей среде, касательная составляющая вектора эквивалентна перпендикулярной ей составляющей плотности поверхностного электрического тока, а касательная составляющая вектора эквивалентна плотности стороннего поверхностного магнитного тока. Из последнего следует вывод: в математической модели оказывается возможным в качестве плотности поверхностного фиктивного стороннего магнитного тока задавать касательную составляющую вектора Е.

Отметим, что на идеально проводящем теле можно создать с помощью, например, щелей или отверстий в теле, в которых возбуждается ЭМ поле. Между кромками щелей возникает напряженность электрического поля, которую в (14) можно заменить плотностью поверхностного магнитного тока.

Если сторонние токи на теле отсутствуют, то получаем граничные условия.

(15).

где JB — плотность вторичного (индуцированного) поверхностного электрического тока С помощью (15), можно получить для линейных изотропных непроводящих сред важные условия, определяющие поведение векторов Н и Е у поверхности идеально проводящего тела. Расположим начало декартовой системы координат в некоторой точке локально у плоской поверхности раздела сред и направим ось z перпендикулярно этой поверхности (рис. 3, б). Тогда и касаются поверхности в этой точке. Вне сторонних источников.

.

Но на поверхности, т. е. при z = 0, касательные к поверхности составляющие Е должны обращаться в нуль, значит,,. Поскольку производные по х и у — это производные в поперечном относительно нормали направлении, то при z = 0. Таким образом, учитывая, что есть производная по нормали к S, а и — это касательные к S составляющие вектора, имеем.

т. е. при (16).

Для комплексных амплитуд получаем.

(17).

При отсутствии сторонних токов на S имеем.

Итак, на поверхности идеального проводника нормальная составляющая вектора и касательная составляющая вектора обращаются в нуль, а касательная составляющая вектора имеет экстремум. Эти граничные условия позволяют утверждать, что силовые линии магнитного поля (замкнутые) подходят к идеально проводящему телу так, что только касаются его поверхности, сгущаясь у этой поверхности. Силовые линии электрического поля к идеальному проводнику подходят так, что всегда перпендикулярны его поверхности.

В линейной изотропной однородной непроводящей () среде при отсутствии сторонних зарядов на S имеем: т. е.. Если точка р находится на поверхности S (при z = 0), то поскольку при z = 0 ,.

необходимо, чтобы выполнялось граничное условие при z = 0. Таким образом, на идеально проводящей поверхности тела. Это позволяет утверждать, что на поверхности идеально проводящего тела нормальная составляющая вектора имеет зкстремум.

Нормальная составляющая вектора претерпевает скачкообразное изменение.