Сила и энергия гармонических колебаний

Ускорение при гармонических колебаниях пропорционально смещению с противоположным знаком. Умножим правую и левую части уравнения на массу колеблющей материальной точки т, получим соотношения:

Согласно второму закону Ньютона, физический смысл правой части выражения есть проекция силы F_x, которая обеспечивает гармоническое механическое движение:

Величина F_x пропорциональна смещению х и направлена противоположно ему. Примером такой силы является сила упругости, величина которой пропорциональна деформации и противоположно ей направлена (закон Гука).

Закономерность зависимости ускорения от смещения, рассмотренную нами для механических гармонических колебаний, можно обобщить и применить при рассмотрении колебаний другой физической природы (например, изменение тока в колебательном контуре, изменение заряда, напряжения, индукции магнитного поля и т. д.). Поэтому уравнение называют основным уравнением динамики гармонических колебаний.

Энергия гармонических колебаний Квазиупругая сила является консервативной и поэтому энергия гармонического колебания должна оставаться постоянной. В моменты наибольшего отклонения от положения равновесия кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная максимальна.

И наоборот в моменты прохождения положения равновесия потенциальная энергия минимальна (равна нулю), а кинетическая энергия максимальна:

Здесь косинус равен единице, так как скорость максимальна и равна амплитуде. Так как k=mщ₀², то эти два выражения равны друг другу.

Однако, интересно установить как меняется энергия от времени. Подставим в выражения для энергий соответствующие формулы для смещения и скорости.

Если сложить эти два выражения, то получим полную энергию колебаний в данный момент времени:

То есть мы ещё раз убедились, что ПОЛНАЯ энергия колебаний величина постоянная и не меняется от времени, если отсутствуют диссипативные силы.

Воспользовавшись формулами тригонометрии можно перейти от квадратов синуса и косинуса к двойным углам:

Отсюда хорошо видно, что энергия изменяется с частотой 2щ₀ около значения.

.

что и отражено на графике.