Теория бесконечных десятичных дробей

Действительное число также определяется как бесконечная десятичная дробь, и тогда выражение вида, где есть один из символов или, называемый знаком числа, — целое неотрицательное число, — последовательность десятичных знаков, то есть элементов числового множества .

Бесконечная десятичная дробь интерпретируется как такое число, которое на числовой прямой лежит между рациональными точками вида.

и для всех.

Сравнение вещественных чисел в форме бесконечных десятичных дробей производится поразрядно. Например, пусть даны два неотрицательных числа.

Если, то; если то. В случае равенства переходят к сравнению следующего разряда. И так далее. Если, то после конечного числа шагов встретится первый разряд, такой что. Если, то; если то .

Однако, при сравнении бесконечных десятичных дробей необходимо учитывать, что число. В таком случае, если запись одного из чисел, которые мы сравниваем, начиная с некоторого разряда, представляет собой периодическую десятичную дробь, у которой в периоде стоит 9, то её следует заменить на эквивалентную запись, с нулём в периоде.

Арифметические операции над бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение^[14] соответствующих операций над рациональными числами. Например, суммой вещественных чисел и называется вещественное число, удовлетворяющее следующему условию:

Аналогичным способом определяется операция умножения на множестве бесконечных десятичных дробей.

В большинстве случаев точное частное в виде десятичной дроби не может быть получено, как бы далеко ни продолжалось деление.

Пример 1:

и т.д.

Пример 2.

Дробь превращается в чистую периодическую десятичную, так как 27 не делится ни на 2, ни на 5. Дробь превращается в смешанную периодическую, так как 12 делится на 2.

Действительно.

Пример 3.

Докажите, что бесконечная десятичная дробь 0,1 234 567 891 011 121 408… (после запятой подряд выписаны все натуральные числа по порядку) представляет собой иррациональное число.

Решение Как известно, рациональные числа выражаются десятичными дробями, которые имеют период начиная с некоторого знака. Исходя из этого, достаточно доказать, что данная дробь не является периодической ни с какого знака. Положим, что это не так, и некоторая последовательность T, состоящая из n цифр, является периодом дроби, начиная с m-го знака после запятой. В таком случае, что среди цифр после m-го знака встречаются ненулевые, поэтому в последовательности цифр T есть ненулевая цифра. Это значит, что начиная с m-ой цифры после запятой, среди любых n цифр подряд есть ненулевая цифра. Но в десятичной записи данной дроби должна присутствовать десятичная запись числа 100…0 = 10^k, где k > m и k > n. Понятно, что эта запись встретится правее m-ой цифры и содержит более n нулей подряд. Таким образом, мы имеем противоречие, завершающее доказательство.

Пример 4.

Дана бесконечная десятичная дробь 0, a₁a₂…. Докажите, что цифры в ее десятичной записи можно переставить так, чтобы полученная дробь выражала рациональное число.

Решение Дробь выражает рациональное число в том и только том случае, когда она периодическая, начиная с некоторого знака. Цифры от 0 до 9 разделим на два класса: в первый класс включим те цифры, которые встречаются в исходной дроби конечное число раз, во второй класс — те, которые встречаются в исходной дроби бесконечное число раз. Начнем выписывать периодическую дробь, которая может быть получена из исходной перестановкой цифр. Вначале после нуля и запятой напишем в произвольном порядке все цифры из первого класса — каждую столько раз, сколько она встречается в записи исходной дроби. Записанные цифры первого класса будут предшествовать периоду в дробной части десятичной дроби. Далее, запишем в некотором порядке по одному разу цифры из второго класса. Полученную комбинацию назовем периодом и будем повторять ее бесконечное число раз. Таким способом, мы выписали искомую периодическую дробь, выражающую некоторое рациональное число.

Пример 5.

Доказать, что в каждой бесконечной десятичной дроби существует последовательность десятичных знаков произвольной длины, которая в разложении дроби встречается бесконечно много раз.

Решение Пусть m — произвольно заданное натуральное число. Разобьем данную бесконечную десятичную дробь на отрезки, по m цифр в каждом. Таких отрезков будет бесконечно много. С другой стороны, различных систем, состоящих из m цифр, существует только 10^m, т. е. конечное число. Следовательно, хотя бы одна из этих систем должна повторяться здесь бесконечно много раз.

Замечание. Для иррациональных чисел v2, р или е мы даже не знаем, какая цифра повторяется бесконечно много раз в представляющих их бесконечных десятичных дробях, хотя каждое из этих чисел, как легко можно доказать, содержит по крайней мере две различные такие цифры.

Пример 6.

Проверьте делением столбиком, что.

Таким образом, все рациональные числа содержатся среди бесконечных десятичных дробей как периодические десятичные дроби.

Действительными числами называют бесконечные десятичные дроби со знаком плюс или минус, и в случае периодичности дроби такое действительное число называют рациональными, в противном случае — иррациональным.

Пример 7.

Число, а = 0.1 010 010 001… как непериодическая бесконечная десятичная дробь есть число иррациональное.

Сравнительно просто определять в отношение равенства и порядка («больше») Пусть a = ₀, ₁, ₂ …b = ₀, ₁, ₂

действительные числа. Будем считать их равными, если они одного знака и k = 0, 1, 2, …: _k = _k .

Пусть a, b одного знака «+ «. Число a больше числа b (a b), если существует k = 0, 1, 2, …, что _i = _i для i = 1, 2, …, k — 1 и _{k k}

Пример 8.

a = 3,2001(0) 3,1999(0) = b здесь k = 1.