Электростатическое поле в вакууме

Закон Кулона: сила электростатического взаимодействия между двумя заряженными сферами (шарами) прямо пропорциональна величинам их зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между их центрами. В общем случае кулоновская сила — это двойной векторный интеграл, который можно взять только в некоторых простейших случаях.

Кулоновская (электростатическая) сила. В таком виде закон Кулона применим только для двух точечных зарядов, сфер (шаров),.

().

r — расстояние между центрами сфер (шаров).

векторная форма, знак силы () зависит от выбора направления радиус-вектора.

называется «коэффициент в СИ в законе Кулона»,.

_о 8,8510¹² (Кл²/Н.м²) — электрическая постоянная В качестве примера вычисления кулоновского взаимодействия заряженных тел рассмотрим силу, с которой действует тонкий стержень длиной L, заряженный с линейной плотностью заряда (Кл/м), на точечный заряд q_о, находящийся на расстоянии, а от конца стержня. (см. рис.). (Полем на концах стержня пренебрегаем) Таблица 1.

выделим в стержне элементарный заряд dq,.

сила взаимодействия между зарядом qо и элементарным зарядом dq стержня.

сила взаимодействия между стержнем и точечным зарядом.

Заряды, сообщаемые телам, распределяются неравномерно. В металлах заряды распределяются всегда по поверхности; в тех местах, где кривизна поверхности большая, там больше скапливается зарядов (см. дальше). Для характеристики распределения зарядов используются:

Линейная плотность заряда — эта заряд, приходящийся на единицу длины заряженного тела.

(Кл/м) Поверхностная плотность заряда — это заряд, приходящийся на единицу площади поверхности заряженного тела.

(Кл/м²).

Объемная плотность заряда — это заряд, приходящийся на единицу объема заряженного тела.

(Кл/м³).

Электростатика изучает электрические поля, создаваемые заряженными телами, в которых распределение зарядов не меняется с течением времени. В электростатике используется модель — точечный заряд — это заряженное тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с другими размерами в данной задаче. Кроме того, вводится понятие — пробный заряд — это заряд, вносимый в поле другого заряженного тела, и при этом не влияющий на это поле. Это можно перефразировать (не очень научно) так: один заряд создает поле, а другой в этом поле находится и не влияет на поле. Именно такой подход используется при решении большинства задач. В действительности, существует явление электрической индукции, т. е. взаимное влияние заряженных тел друг на друга (см. ниже).

Вокруг заряженных тел существует электрическое поле, которое характеризуют напряженностью Е и потенциалом (см. ниже).

(Н/Кл=В/м) Напряженность (вектор) — силовая характеристика электрического поля, по смыслу — это сила, действующая на единичный положительный пробный заряд в данной точке поля.

Используя закон Кулона, можно найти напряженность поля точечного заряда;

q заряд, создающий поле, q_o пробный заряд, вносимый в это поле.

Работа по переносу заряда в электростатическом поле.

Сила, действующая на заряд в электрическом поле. Это выражение может быть использовано всегда, тогда как формула () применима только для точечных зарядов, сфер и шаров.

Пусть точечный заряд q переносится в поле, создаваемом другим точечным зарядом q_о. Найдем работу, необходимую для переноса q из положения с радиус-вектором r₁ в положение с радиус-вектором r₂. (см. рис.).

Таблица 2.

полная работа по переносу заряда q в электрическом поле, — угол между вектором Е и вектором перемещения dl.

Сведем подынтегральное выражение к одной переменной r, используя выражение для напряженности поля заряда qо и связь между перемещением dl и приращением радиус-вектора dr. Интегрируя, найдем выражение для работы.

Из этой формулы следует очень важный вывод: работа в электростатическом поле не зависит от формы пути, а определяется только начальным и конечным положением переносимого заряда.

Работа в электростатическом поле по замкнутому пути равна нулю.

Из механики известно, что силовое поле, работа в котором определяется только начальным и конечным положениями тела, называется консервативным. Следовательно, электростатическое поле является консервативным или чаще говорят, потенциальным Линейный интеграл по замкнутому контуру L называется циркуляцией. Отсюда следует:

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля равна нулю. Циркуляция вектора напряженности электрического поля 0 (см. дальше в тексте) Это является условием потенциальности поля.

Работа консервативных (потенциальных) сил равна убыли потенциальной энергии тела. Следовательно, можно ввести еще одну характеристику электростатического поля — потенциал .

Потенциал (скаляр) — энергетическая характеристика электростатического Различают электростатическое (потенциальное) и электрическое (вихревое) поля, оба поля характеризуют напряженностью Е, потенциал - характеристика электростатического поля. поля по смыслу это: 1) потенциальная энергия, которой обладает единичный положительный заряд, помещенный в данную точку поля или 2) работа, которую надо совершить, чтобы перенести единичный положительный заряд из данной точки 1 в бесконечность ().

(В = Дж/Кл) Разность потенциалов — это работа, которую надо совершить, чтобы переместить единичный положительный заряд из точки 1 в точку 2.

Найдем связь между напряженностью и потенциалом.

Таблица 3.

работа в потенциальном (консервативном) поле равна убыли потенциальной энергии.
dx, перемещение.	выразим элементарную работу через напряженность и разность потенциалов; сократим на q, обозначим проекцию вектора Е на направление х как Ех, получим:
().	связь между Е и в дифференциальной форме для одномерного случая, когда потенциал зависит только от координаты х (х).
В трехмерном случае, когда потенциал является функцией (х, y, z), запишем формулы для каждой проекции и, объединяя их в одно выражение, найдем (учитывая, что Е вектор):
(«набла») другое обозначение градиента (модуль вектора Е).	Напряженность электростатического поля равна градиенту потенциала, взятому с обратным знаком.

Градиент — это вектор, показывающий направление наибольшего роста скалярной функции (в нашем случае — потенциала). grad или — это краткое обозначение математической операции: В одномерном случае градиент напряженности d / dx приобретает простой физический смысл: он показывает, на сколько изменяется потенциал на единице длины.

«» в правой части формул означает, что вектор напряженности Е всегда направлен в сторону убывания потенциала.

Из приведенных выражений, зная (х, y, z), можно, дифференцируя, найти напряженность поля. Производя обратную операцию — интегрирование, можно при известной напряженности найти потенциал. Рассмотрим случай зависимости.

Е и только от одной переменной х. Из формулы () находим:

().

Связь разности потенциалов с напряженностью в интегральной форме для одномерного случая, когда Е (х).