Введение. 
Квазилинейные уравнения первого порядка в частных производных

Математическое моделирование экономических и природных процессов приводит к необходимости решения уравнений, которые кроме независимых переменных и зависимых от них искомых функций, содержат также производные или дифференциалы от неизвестных функций. Такие уравнения называются дифференциальными.

Дифференциальные уравнения широко используются в моделях экономической динамики, в которых исследуются не только зависимость переменных от времени, а и от их взаимосвязи во времени. Такими моделями являются: модель Эванса — установления уравновешенной цены на рынке одного товара; а также динамическая модель экономического роста, известная под названием «базовая модель Солоу».

В настоящее время теория дифференциальных уравнений с частными производными представляет собой богатую, сильно разветвленную теорию. Построена теория краевых задач для эллиптических операторов на основе недавно созданного нового аппарата — теории псевдодифференциальных операторов, решена проблема индекса, изучены смешанные задачи для гиперболических уравнений.

В последние десятилетия возник и интенсивно развивается новый раздел теории уравнений с частными производными — теория усреднения дифференциальных операторов. Эта теория возникла под влиянием задач физики, механики сплошной среды и техники, в частности, связанных с изучением композитов (сильно неоднородных материалов, широко используемых в настоящее время в инженерной технике), пористых сред, перфорированных материалов.

Таким образом, дифференциальные уравнения в настоящее время представляют собой труднообозримую совокупность фактов, идей и методов, очень полезных для приложений и стимулирующих теоретические исследования во всех других разделах математики. Многие разделы теории дифференциальных уравнений так разрослись, что стали самостоятельными науками. Можно сказать, что большая часть путей, связывающих абстрактные математические теории и естественнонаучные приложения, проходит через дифференциальные уравнения.