Свертывание цифровой информации

Математическое ожидание

Оценками математического ожидания м обычно служит среднее арифметическое x, а иногда медиана (срединное значение). Если провели n измерений случайной величины х: х₁, x₂ , х₃,…, x_i,…, x_n, то их среднее арифметическое или выборочное среднее можно найти по формуле:

(1).

Чтобы найти медиану, результаты измерений располагают в ранжированный ряд в порядке возрастания их значений: х₁?х₂?х₃???х_n. Если n — нечетное число, то медиана равна среднему члену ряда. Если n — четное число, то значение равно полусумме двух средних членов ряда.

Медиана в отличие от среднего арифметического нечувствительна к резко выделяющимся измерениям, поэтому при низком качестве измерений и малом числе n она является лучшей оценкой математического ожидания.

Задача 1. При определении коэффициента жесткости пружины статическим методом получили следующие значения (Н/м): 11,21; 11,47; 11,59; 12,26; 11,32. Оценить среднее арифметическое и медиану .

Решение. Среднее арифметическое находим по формуле (1):

.

Для нахождения медианы располагаем результаты в ряд: 11,21; 11,32; 11,47; 11,59; 12,26. Поскольку n=5, то = 11,47 Н/м.

Оценкой генеральной дисперсии у² служит выборочная дисперсия, которую рассчитывают по формуле:

(2).

где — среднее значение, найденное из х₁, x₂ , х₃,…, x_i,…, x_n измерений, n — число членов в выборке.

Величину f=n-1 называют числом степеней свободы выборочной характеристики и определяют как число измерений, используемое для расчета данной характеристики, за вычетом числа связей, которые наложили на выборку при вычислении этой характеристики. Значение f указывает на надежность определения генерального параметра по данной выборке. При вычислении дисперсии S² по формуле (2) наложили одну связь на используемую выборку, когда рассчитывали по формуле (1). Если известно математическое ожидание данной совокупности измерений, то дисперсию S² вычисляют по формуле:

(3).

При использовании формулы (3) на выборку не наложили ни одной связи, поэтому f = n.

Положительное значение корня квадратного из дисперсии называют стандартным отклонением: .

Относительное стандартное отклонение (коэффициент вариации V) равно:

в частях (4).

или в процентах. (4а).

Задача 2. Для данных задачи 1 рассчитать дисперсию, стандартное отклонение и коэффициент вариации.

Решение. Рассчитаем дисперсию результатов по формуле (2):

=0,17.

Стандартное отклонение .

Относительное стандартное отклонение или коэффициент вариации в частях составляет V=0,41/11,57=0,035 или в процентах V=(0,41/11,57)100%=3,5%.

Нормальное распределение случайной величины

Наиболее распространенным в практике измерений является нормальный закон распределения или закон распределения Гаусса. Этот закон является основой классической теории погрешностей измерений и современной статистической обработки результатов эксперимента. Кроме того, это предельный закон для многих других законов распределения.

Функция плотности вероятностей нормального закона распределения определяется формулой:

где х изменяется от -? до +?, м — математическое ожидание, у² — генеральная дисперсия.

Функция ц (х) представляет симметричную куполообразную кривую, центр которой соответствует значению м (рис. 1). Мерой рассеяния результатов вокруг м является величина у. Чем больше у, тем более пологий вид имеет кривая ц (х).

Табулировать выражение (5) относительно х не представляется возможным, т. к. параметры у и м зависят от абсолютных значений измеренной случайной величины, поэтому в практической работе обычно пользуются нормированным нормальным законом распределения случайных величин, где вместо переменной х используется переменная u:

(6).

В этом случае независимо от конкретного значения случайной величины математическое ожидание u=0, а у (u)=1. Функция плотности вероятностей имеет вид:

(7).

Для кривой ц (u) центр симметрии совпадает с началом координат, а на ось абсцисс наносится величина u — отклонение от среднего, выраженное в долях у (рис.2). Функция ц (u) табулируется. Если выражение (7) проинтегрировать в пределах от -? до +?, то получим площадь, заключенную между кривой ц (u) и осью абсцисс, равную 1, т. е. определим вероятность события, когда случайная величина х может принимать значения от -? до +?. Если проинтегрировать в пределах от -u до +u, то получим часть площади, заключенную между участком кривой от -? до +? и осью абсцисс, которая определяет вероятность Р события, когда случайная величина х принимает значения в пределах —uу? x ? uу. Вероятность б=1-Р (незаштрихованные области на рис. 2) определяет событие, когда случайная величина х может принимать значения x<-uу и x>uу.

Пользуясь табулированными значениями функции (7) можно подсчитать, что в области ±у (u=1) лежит 68,2% всех результатов измерения, т. е. около 16% результатов измерений отклоняются от среднего менее чем —у, и около 16% - более чем у. Вероятность появления значений х_i за пределами ±2у и ±3у равна соответственно 5% и 0,3%.

Распределение Стьюдента

Нормальный закон распределения случайных величин показывает, что вероятность появления малых отклонений от среднего значительно больше вероятности появления больших отклонений. Например, вероятность появлений погрешностей, превышающих по величине 2у, равна примерно 0,05, т. е. в среднем из 20 результатов эксперимента только один будет иметь большее отклонение. Поэтому естественно ожидать, что если исследователь выполнил небольшое число измерений одной величины, то среди них результатов с большими отклонениями от среднего не будет. Если по этой выборке оценить дисперсию S², то ее значение будет меньше соответствующей ей генеральной дисперсии. В силу этих обстоятельств классическая теория ошибок, основанная на нормальном законе распределения, не применима для обработки малого числа измерений. Статистика малых выборок стала возможна с появлением распределения Стьюдента (t-распределение).

Если обработке подвергается небольшое число измерений, то вместо генеральной дисперсии у² вынуждены пользоваться выборочной дисперсией S², близость значения которой к генеральной у² зависит от числа степеней свободы f по которой рассчитывали S². В этом случае переменную u заменяют на новую переменную t, не содержащую неизвестной величины у.

Функция ц (t) плотности вероятностей t-распределения симметрична относительно м, т. е. максимумы t-распределения и нормального распределения соответствуют одному значению абсциссы. Однако в отличие от нормального распределения высота и ширина кривой ц(t) зависит не только от S, но и от f, по которым рассчитывали S: при одном и том же значении S с уменьшением f кривая ц(t) выполаживается. При f>? t-распределение совпадает с нормальным распределением. Практически уже при f > 20 можно считать, что распределение Стьюдента хорошо аппроксимируется распределением Гаусса.

В табл. 1 Приложения табулированы значения t в зависимости от числа степеней свободы f (левая вертикальная колонка), по которым рассчитывали S, и различных уровней значимости (верхний горизонтальный ряд).

Закон сложения случайных ошибок

Пусть наша измеряемая величина z является суммой (или разностью) двух величин x и y, результаты измерений которых независимы. Тогда можно доказать, если, , -дисперсии величин x, y и z, а z=x ± y, то или.

(8).

Если z является суммой не двух, а большого числа слагаемых, то закон сложения ошибок будет таким же, т. е.: средняя квадратичная ошибка суммы (или разности) двух (или нескольких) независимых величин равна корню квадратному из суммы дисперсий отдельных слагаемых.

Это чрезвычайно важное обстоятельство, и необходимо твердо помнить, что для нахождения суммарной ошибки нужно складывать не сами ошибки, а их квадраты.

Из закона сложения ошибок следует два чрезвычайно важных вывода. Первый из них относится к роли каждой из ошибок в общей ошибке результата. Он выражается в том, что значение отдельных ошибок очень быстро падает по мере их уменьшения. Поясним сказанное примером: пусть x и y два слагаемых, определенных со средними квадратичными ошибками S_x и S_у, причем известно, что S_y в два раза меньше, чем S_x. Тогда ошибка суммы (z = x + y) будет.

=+(= (9).

Откуда S_z?1.1S_x.

Иначе говоря, если одна из ошибок в два раза меньше другой, то общая ошибка возросла за счет этой меньшей ошибки всего на 10%, что обычно играет очень малую роль. Это означает, что если мы хотим повысить точность измерений величины z, то нам нужно в первую очередь стремиться уменьшить ту ошибку измерения, которая больше, т. е. ошибку измерения величины x. Если мы оставим точность измерения x неизменной, то как бы мы ни повышали точность измерения слагаемого y, нам не удастся уменьшить ошибку конечного результата измерений величины z более чем на 10%.

Этот вывод всегда нужно иметь в виду, и при повышении точности измерений в первую очередь уменьшать ошибку, имеющую наибольшую величину. Конечно, если слагаемых много, а не два, как в нашем примере, то и малые ошибки могут внести заметный вклад в суммарную ошибку.

Следующий вывод, вытекающий из закона сложения ошибок, относится к определению погрешности среднего арифметического. Мы уже говорили, что среднее арифметическое из ряда измерений отягчено меньшей ошибкой, чем результат каждого отдельного измерения. Сейчас этот вывод может быть записан в количественной форме. Пусть x₁, x₂, x_3,…, x_n — результаты отдельных измерений, причем каждое из них характеризуется одной и той же дисперсией S². Образуем величину y равную.

(10).

Дисперсии этой величины в соответствии с (8) определяются как.

(11).

Но у по определению — это среднее арифметическое из всех величин х_i, и мы можем написать.

(12).

Средняя квадратичная погрешность среднего арифметического равна средней квадратичной погрешности отдельного результата, деленной на корень квадратный из числа измерений.

Это фундаментальный закон возрастания точности при росте числа наблюдении. Из него следует, что, желая повысить точность измерений в 2 раза, мы должны сделать вместо одного четыре измерения, чтобы повысить точность в 3 раза, нужно увеличить число измерений в 9 раз, и, наконец, увеличение числа наблюдений в 100 раз приведет к десятикратному увеличению точности измерений. Разумеется, это рассуждение относится лишь к измерениям, при которых точность результата полностью определяется случайной ошибкой. В этих условиях, выбрав n достаточно большим, мы можем существенно уменьшить ошибку результата. Такой метод повышения точности сейчас широко используется, в особенности при измерении слабых электрических сигналов.

Ошибки косвенных измерений

В большинстве случаев измеряется не непосредственно интересующая нас величина, а другая, зависящая от нее тем или иным образом. Например, для измерения площади прямоугольника мы измеряем длину двух его сторон а и b, а площадь вычисляем, пользуясь соотношением S=аb.

При измерении температуры с помощью ртутного термометра мы измеряем удлинение столбика ртути, которое связанно с изменением температуры и законом объемного расширения тел соотношением.

(13).

Здесь t₁ и t₂ — начальная и конечная температура; u₀ - объем шарика ртути; г₂ — объемный коэффициент теплового расширении ртути; г_1 — коэффициент теплового расширенна стекла; h₁ и h₂ — начальная и конечная высота столбика ртути; r — диаметр капилляра термометра.

При таких измерениях, которые называются косвенным (в отличие от прямых, при которых нужная величина измеряется непосредственно), необходимо также уметь вычислять ошибку измерений.

Здесь могут быть два основных случая:

• 1) интересующая нас величина зависит от одной измеряемой величины;
• 2) интересующая нас величина зависит от нескольких измеряемых величин.

Общие правила вычисления ошибок для обоих случаев могут быть выведены только с помощью дифференциального исчисления.

Если у = f (x), то в тех случаях, когда ошибки малы по сравнению с измеряемой величиной, мы можем с достаточной точностью написать.

(14).

Если мы хотим найти величину относительной ошибки, то из (14) легко получаем.

(15).

Этот способ вычисления относится и к случайным и к систематическим ошибкам.

Пользуясь обозначениями дифференциального исчисления, можно ошибку функции y от переменных x_1,x_2,…, x_n представить и виде.

= (16).

Формула (16) сохраняет свой вид, если вместо ошибки у, мы возьмем среднеквадратичные ошибки. В общем виде:

(17).

Может возникнуть вопрос, как правильнее вычислять среднеарифметическое значение и погрешность результата в случае косвенных измерений? Если у = f (х) и измерения дают нам ряд значений х_i, то можно поступить двояким образом:

1) вычислить и, подставив это значение в уравнение y=f (х), получить .

2) для каждого из значений х_i вычислить y_i=f (x_i), а затем определить у по соотношению .

Соответственно двумя способами можно определять и ошибку величины у, либо, определив, ошибку величины воспользоваться соотношением.

либо, вычислив ряд значений y_i определить ошибку величины y обычным путем, например

.

Можно показать, что если ошибки измерений малы по сравнению с измеряемой величиной (именно это предположение положено в основу всех наших формул), то оба способа дают практически тождественные результаты, и поэтому безразлично, какими из них пользоваться. Здесь следует руководствоваться практическими удобствами расчета.

Распределение Фишера

Отношение двух выборочных дисперсий F=, принадлежащих различным совокупностям, подчиняется распределению Фишера или F-распределению. Функция ц (F) плотности вероятностей определяется сложным выражением, зависящим от значений F и числа степеней свободы f₁ и f_2, по которым подсчитывали выборочные дисперсии. Величина F изменяется в пределах 0? F? ?. Кривая плотности вероятностей асимметрична, поэтому F (, но асимметрия уменьшается с увеличением значений f₁ и f₂.

В табл. 2 Приложения даны значения F() для различных уровней значимости =1-Р. Таблица составлена так, что в верхнем горизонтальном ряду отложены значения f₁ для большей выборочной дисперсии, стоящей в числителе отношения, а в левой вертикальной колонке — значения f₂ для меньшей выборочной дисперсии, стоящей в знаменателе отношения.