Непараметрическая вероятностная модель

Пусть значения независимой переменной t детерминированы, а погрешности ek или k = 1.2 — независимые одинаково распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и дисперсией неизвестной исследователю.

В дальнейшем неоднократно будем использовать Центральную Предельную Теорему (ЦПТ) теории вероятностей для величин ek или k = 1.2 (с весами).

Поэтому для выполнения ее условий необходимо предположить, например, что погрешности ek или k = 1.2, финитны или имеют конечный третий абсолютный момент.

Однако заострять внимание на этих внутри математических «условиях регулярности» нет необходимости.

Асимптотические распределения оценок параметров. Из формулы (2) следует, что:

Согласно ЦПТ оценка b* имеет асимптотически нормальное распределение с математическим ожиданием b и дисперсией оценка которой приводится ниже:

Отметим, что многомерная нормальность имеет быть, когда каждое слагаемое в формуле (6) мало сравнительно со всей суммой, т. е.:

Несмещенность и асимптотическая нормальность оценок метода наименьших квадратов позволяют легко указывать для них асимптотические доверительные границы (аналогично границам в предыдущей главе) и проверять статистические гипотезы, например, о равенстве определенным значениям, прежде всего 0. Асимптотическое распределение прогностической функции. Из формул (5) и (6) следует, что:

При этом:

В соответствии:

Во многих литературных источниках рассматривается параметрическая вероятностная модель метода наименьших квадратов. В ней предполагается, что погрешности имеют нормальное распределение. Это предположение позволяет математически строго получить ряд выводов.

Так, распределения статистик вычисляются точно, а не в асимптотике, соответственно вместо квантилей нормального распределения используются квантили распределения Стьюдента, а остаточная сумма квадратов SS делится не на n, а на (n-2). Ясно, что при росте объема данных различия стираются.

Рассмотренный выше непараметрический подход не использует нереалистическое предположение о нормальности погрешностей. Распределения, встречающиеся в задачах менеджмента, как правило, не являются нормальными.

Платой за отказ от нормальности является асимптотический характер результатов. В случае простейшей модели метода наименьших квадратов оба подхода дают практически совпадающие рекомендации. Это не всегда так, не всегда два подхода бают близкие результаты. Например, в задаче обнаружения выбросов методы, опирающиеся на нормальное распределение, нельзя считать обоснованными, и обнаружено это было с помощью непараметрического подхода.

Общие принципы. Кратко сформулируем несколько общих принципов построения, описания и использования эконометрических методов анализа данных. Во-первых, должны быть четко сформулированы исходные предпосылки, т. е., полностью описана используемая вероятностно-статистическая модель. Во-вторых, не следует принимать предпосылки, которые редко выполняются на практике. В-третьих, алгоритмы расчетов должны быть корректны с точки зрения математико-статистической теории. В-четвертых, алгоритмы должны давать полезные для практики выводы.

Применительно к задаче восстановления зависимостей это означает, что целесообразно применять непараметрический подход, что и сделано выше.

Пример оценивания по методу наименьших квадратов. Пусть даны n = 6 пар чисел (tk, xk) так же k = 1, 2, 6, представленных во втором и третьем столбцах табл. В соответствии с формулами выше для вычисления оценок метода наименьших квадратов достаточно найти суммы выражений, представленных в четвертом и пятом столбцах табл.

Табл. — Расчет по методу наименьших квадратов при построении линейной прогностической функции одной переменной:

В соответствии:

Следовательно, прогностическая формула имеет вид:

Это те значения, которые полученная в результате расчетов прогностическая функция принимает в тех точках, в которых известны истинные значения зависимой переменной xi.

Вполне естественно сравнить восстановленные и истинные значения. Это и сделано в шестом — восьмом столбцах табл.

Для простоты расчетов в шестом столбце представлены произведения, седьмой отличается от шестого добавлением константы 9,03 и содержит восстановленные значения. Восьмой столбец — это разность третьего и седьмого.

Непосредственный анализ восьмого столбца табл.1 показывает, что содержащиеся в нем числа сравнительно невелики по величине по сравнению с третьим столбцом (на порядок меньше по величине). Кроме того, знаки «+» и «-» чередуются.

Эти два признака свидетельствуют о правильности расчетов. При использовании метода наименьших квадратов знаки не всегда чередуются. Однако если сначала идут только плюсы, а потом только минусы (или наоборот, сначала только минусы, а потом только плюсы), то это верный показатель того, что в вычислениях допущена ошибка.

Верно следующее утверждение.

Теорема:

Однако сумма по восьмому столбцу дает 0,06, а не 0. Незначительное отличие от 0 связано с ошибками округления при вычислениях. Близость суммы значений зависимой переменной и суммы восстановленных значений — практический критерий правильности расчетов.

В последнем девятом столбце табл. приведены квадраты значений из восьмого столбца. Их сумма — это остаточная сумма квадратов SS = 13,64. В соответствии со сказанным выше оценками дисперсии погрешностей и их среднего квадратического отклонения являются:

Рассмотрим распределения оценок параметров. Оценка b* имеет асимптотически нормальное распределение с математическим ожиданием b и дисперсией, которая оценивается как 2,27? 6 = 0,38 (здесь считаем, что 6 — «достаточно большое» число). Оценкой среднего квадратического отклонения является 0,615. Следовательно, при доверительной вероятности 0,95 доверительный интервал для параметра b имеет вид (26,83 — 1,96.0,615,26,83 + 1,96.0,615) = (25,625,28,035).

В формулах для дисперсий участвует величина:

Подставив численные значения, получаем, что:

Дисперсия для оценки а* коэффициента при линейном члене прогностической функции оценивается как 2,27? 63,1=0,036, а среднее квадратическое отклонение — как 0,19.

Следовательно, при доверительной вероятности 0,95 доверительный интервал для параметра, а имеет вид (3,14 — 1,96.0,19,3,14 + 1,96,0,19) = (2,77,3,51).

Прогностическая формула с учетом погрешности имеет вид (при доверительной вероятности 0,95):

В этой записи сохранено происхождение различных составляющих. Упростим:

Например, при t = 12 эта формула дает:

алгоритм вычисление уравнение Следовательно, нижняя доверительная граница — это 44,095, а верхняя доверительная граница — это 49,325.

Насколько далеко можно прогнозировать? Обычный ответ таков — до тех пор, пока сохраняется тот стабильный комплекс условий, при котором справедлива рассматриваемая зависимость.

Изобретатель метода наименьших квадратов Карл Гаусс исходил из задачи восстановления орбиты астероида (малой планеты) Церера. Движение подобных небесных тел может быть рассчитано на сотни лет. А вот параметры комет (например, срок возвращения) не поддаются столь точному расчету, поскольку за время пребывания в окрестности Солнца сильно меняется масса кометы.

В социально-экономической области горизонты надежного прогнозирования еще менее определены. В частности, они сильно зависят от решений центральной власти.

Чтобы выявить роль погрешностей в прогностической формуле, рассмотрим формальный предельный переход. Тогда слагаемые 9,03,1? 6,5,67 становятся бесконечно малыми, и:

Таким образом, погрешности составляют около:

В социально-экономических исследованиях подобные погрешности считаются вполне приемлемыми.