Надёжность авиационной техники

Надёжность авиационной техники

1. Задача 1

Выполнить анализ данных эксплуатационных наблюдений за отказами изделий СКВ парка ЛА, для чего:

— определить вид случайных величин наработки изделий (реализаций);

— построить ранжированную временную диаграмму;

— выбрать размах и число интервалов временной диаграммы.

Решение Т.к. исходные данные варианта не содержат сведений о наработке изделий «ВВР 4487T» до цензурирования, необходимо использовать только данные наработок изделий до отказа (таблица П. 2.3). Поэтому в данном случае выполним построение ранжированной временной диаграммы наработок до отказа ?_i, i=1, n; (смотри Приложение 1).

Проведённые крайние сечения ранжированной диаграммы левее минимального значения t=1025 ч. и правее максимального значения t=1088 ч. дают значение размаха ?=1900;1000=900 (ч), полученное значение которого разбиваем на L=9 неравных интервалов? t_i с сечениями, соответствующими границам интервалов, из которых первые 6 интервалов с шагом 75 ч, а последние 3 — с шагом 150 ч. Правое крайнее сечение диаграммы будем считать также границей периода эксплуатационных наблюдений Т=1900 ч.

2. Задача 2

Выполнить оценку показателей безотказности параметрическим методом для однократно цензурированной выборки, для чего:

а. Выполнить оценку и построение статистической плотности распределения f*(t) и статистической интенсивности отказов ?*(t);

б. Выполнить оценку параметров распределения для однократно цензурированной выборки: Т_ср.*; а* и б*; m_t* и ?_t*; (в зависимости от принятого закона распределения наработки до отказа).

в. Выполнить проверку гипотезы о законе распределения для однократно цензурированной выборки;

г. Выполнить оценку показателей безотказности для принятого закона распределения наработки до отказа.

Решение

1. Для оценки показателей безопасности параметрическим методом, выполним построение ранжированной временной диаграммы для однократно цензурированной выборки.

2. Выполним построение диаграмм плотности вероятности наработки до отказа f*(t) и интенсивности отказов ?*(t);

Искомые величины определим по формулам:

f*(t)=?n/(N_i· ?t),

?*(t)=?n/([N_i-n (t)]· ?t), где:

?n_i — число отказавших изделий в интервале? t_i;

N_i — число изделий, наблюдаемых в интервале? t_i;

n_i(t) — число отказавших изделий до начала i-го интервала;

N_i= N-?m_i — общее число всех реализаций гистограммы, за исключением неполных реализаций. Результаты расчётов представим в виде таблицы 1 и гистограмм.

Таблица 1.

По результатам расчётов строим гистограммы f*(t) и ?*(t):

Гистограмма плотности вероятности наработки до отказа f*(t)

Гистограмма интенсивности отказов ?*(t)

При сравнении полученных гистограмм с теоретическими кривыми f (t) и ?(t) по их виду, предполагаем, что в нашем случае имеется наибольшее сходство с нормальным законом распределения.

Выполним оценку параметров распределения методом максимального правдоподобия.

Т.е. построим функцию правдоподобия L (?, ?), зависящую от результатов наблюдений выборки из N изделий и параметра? неизвестного закона распределения F (?, ?). Найдём оценку ?* при максимальной вероятности наблюдаемого результата Р {?, ?}>max, т. е. построим L (?, ?)=П•Р {?, ?} и определим max из условия? L (?, ?)/??=0 и соответствующее ?*.

Для предполагаемого закона распределения определим математическое ожидание m_t и среднее квадратическое отклонение ?_t, для чего воспользуемся выражениями:

?_t=(T-T₁)/[c•?(k) — k] и m_t=k•?_t+T, где:

T — период наблюдения, T₁ — среднее арифметическое выборки наработок до отказа,

T ₁=? t_i/n, T₂²=? t_i²/n, С= ?(N_i-n)/n•L,

(здесь L-число интервалов группирования L=9).

Используя метод максимума правдоподобия, воспользуемся двумя уравнениями для определения искомых параметров распределения:

Y₁=(T₂+T₁²)/(T-T₁²) и Y₂=(1+ck?(k) — [c?(k)]²)/[c?(k) — k]²,

для чего, определив Y₁,

приравняем его значение Y₂, т. е. Y₁= Y₂;

В качестве периода наблюдения выберем значение крайней правой границы размаха временной диаграммы ?=1900;1000=900 (ч), т. е. Т=1900 ч. Для определения Y₁ определим значения T_1, T₂ и С, для чего, подставив значения t_i, получим:

T₁=(1025+1110+1180+1250+1275+1280+1310+1340+1405+1560+1720+1880)/12=1361.25;

T₂²=(1025²+1110²+1180²+1250²+1275²+1280²+1310²+1340²+1405²+1560²+1720²+1880²)/12=(1 050 625+1232100+1 392 400+1562500+1 625 625+1638400+1 716 100+1795600+1 974 025+2433600+2 958 400+3534400)/12=1 726 961.25, откуда T₂=1314,139;

Тогда Y₁=(1314,139+1361,25²)/(1900;1361,25²)= 1 854 315.7015/(-1 851 101.5625)=-1,0017;

Из условия равенства Y₁ и Y₂, получим:

Y₁= Y₂=(1+ck?(k) — [c?(k)] ²)/[c?(k) — k] ²= -1,0017;

Или 1+c•k•?(k) — [c•?(k)]² =-1,0017•[c•?(k) — k]²=-1,0017•{[c•?(k)]²-2c•k•?(k)+k²}=-1,0017•[c•?(k)]²+2,0034•c•k•?(k) — 1,0017•k²; или, перенося члены полученного уравнения:

1+c•k•?(k) — [c•?(k)]²+1,0017•[c•?(k)]²-2,0034•c•k•?(k)+1,0017•k²=0;

0,0017•[c•?(k)]²-1,0034•c•k•?(k) +1,0017•k²+1=0; Так как k-задаваемое значение, полученное выражение представляет собой квадратное уравнение:

[c•?(k)]²-716,2857•c•k•?(k)+ 715,2857•k²+714,2857=0, подставляя в которое значение с и одно из табличных значений k=1,3 (см. таблицу 2), получим:

[0,2037•?(k)]²-716,2857•0,2037•1,3•?(k)+ 715,2857•1,3²+714,2857=0, или, упрощая выражение, получим: [?(k)]²-3790•?(k)+38 470=0, решая которое, получим:

?(k)₁;?(k)₂;=(3790±v3790?-4•1•38 470)/2•1=(3790±3769,6445)/2= 3779,8223/10,1778;

С определим, используя данные Таблицы 1:

С=[(20−12)+(19−12)+(18−12)+(17−12)+(14−12)+(12−12)+(11−12)+(10−12)+(9−12)]/12/9=0,2037;

Если округлить значение Y₁=-1,0017?-1 и подставить в выражение для Y₂, после преобразования получим:

1+ck?(k) — [c?(k)]² = - [c?(k)]²+2ck?(k) — k² или k² — ck?(k)+1=0, откуда: ck?(k)=k²+1 или ?(k)=(k²+1)/ck;

После подстановки в полученное выражение с=0,2037 и k согласно таблицы 2, получим значения ?(k), близкие по значению с вторым корнем, полученным при решении квадратного уравнения. Следовательно мы можем принять допущение для Y₁ и воспользоваться упрощённым уравнением.

Тогда ?(k)=(k²+1)/ 0,2037k;

Для определения К_нач вычислим значение:

F₀(К_нач)=1−1/?(N_i/n•L)=1−1/(20+19+18+17+14+12+11+10+9)/(12· 9)= 0,1692;

Тогда по таблицам 5.1, 5.2 приложения 5 определим К_нач=1,31;

Задавая значения k, близкие К_нач, построим зависимости ?^р(k)=f (К) и ?^Т(k)=f₀(k)/F₀(k);

Для построения воспользуемся Таблицей 2.

Таблица 2.

По полученным данным построим графики зависимости ?^р(k)=f (К) и ?^Т(k)=f (k) (смотри приложение).

Точка пересечение указанных графиков даёт следующие значения:

?(k)=11,4; k=1,765;

Тогда ?_t=(T-T₁)/[c•?(k) — k]=(1900;1361.25)/(0,2037•11,4−1,765)= 538.75/0.55 718=966,9227;

Соответственно: m_t=k•?_t+T=1,765•966,9227+1900=3606,6186;

Выполним проверку гипотезы о законе распределения для однократно цензурированной выборки по критерию Пирсона ? 2, для чего воспользуемся формулой:

? ²= L· ?(?n_i-N·Р_i)/N·Р_i, где:

L — число интервалов группирования;

?n_i — число наблюдаемых статистических данных, попавших в i-й интервал;

NP_i — среднее число данных, попавших в i-й интервал при условии, что гипотеза о законе распределения верна,

P_i = F (t_i) — F (t_i-1).

Для подтверждения гипотезы о характере закона распределения необходимо соблюдения условия:

?²_расч? ?²_1-o.o1?, где:

?²_1-o.o1? — левая граница интервала критической области, квантиль ?² распределения с r=L-1-S степенями свободы, отвечающий вероятности 1−0.01?, где S — число наложенных связей, зависимых от числа параметров предполагаемого закона распределения наработки до отказа. Значения квантилей определим по таблице приложения 5.

? — принятый уровень значимости в%.

Наиболее употребительные уровни значимости — 1; 5; 10%.

Для нормального закона распределения число независимых условных связей, накладываемых на выбранный закон распределения, S=2. Следовательно r=9−1-2=6;

Расчёт критерия Пирсона сведём в Таблицу 3.

Таблица 3

По данным таблицы можно сделать вывод, что при любом из трёх наиболее употребимых уровней значимости ?, выполняется условие: ?²_расч? ?²_1-o.o1?, подтверждающее гипотезу о характере закона распределения, соответствующем нормальному распределению случайных величин.

3. Задача 3

Выполнить оценку показателей безотказности по полным данным, для чего:

а. Определить число невосстанавливаемых изделий N и число отказавших изделий n. Найти доверительные границы для вероятности безотказной работы Р_н и Р_в при двухсторонней доверительной вероятности ?=0,95;

б. Обосновать необходимость определения доверительного интервала (нижнюю Р_н и верхнюю Р_в границы₎ для доверительной вероятности ?;

Выполнить оценку показателей безотказности по многократно цензурированным выборкам Р (t), Т_ср., Т_?, для чего:

а. Определить точечные оценки вероятности безотказной работы за непрерывный беспосадочный полёт самолёта t и за период наработки до профилактики t₂=300 ч;

б. Вычислить гамма-процентную наработку Т_? при ?=85%.

Решение Оценку вероятности безотказной работы определим по формуле Р=1-q, где q — оценку вероятности отказа получим методом максимального правдоподобия. Функция правдоподобия будет иметь вид: L (q)=C_Nⁿ•qⁿ•(1-q)^N-n; После преобразований функции правдоподобия получены точечные оценки для вероятности отказа при наработке Т:

q*= n/N;

Соответственно для вероятности безотказной работы p*=1 — n/N;

Так как общее число невосстанавливаемых изделий N=20 (в соответствии с объёмом парка и количеством изделий на одном самолёте — согласно таблице П. 2.9), а число отказавших изделий за период наблюдения n=12, то q*=12/20=0,6 и p*=1−0,6=0,4;

Для более точной оценки вероятностей отказа и безотказной работы изделий определим границы доверительного интервала для генеральной характеристики q, т. е. получим выражение: ?*= Р (q_н?q? q_в), где ?* - двусторонняя доверительная вероятность, q_н и q_в — соответственно нижняя и верхняя доверительные границы характеристики.

Для их определения воспользуемся формулами:

q_н= n/N•R₁, q_в= n/N•R_2,

т.к. в нашем случае n?0;

Здесь R₁ и R₂ — коэффициенты, определяемые по таблицам П. 5.5, П. 5.6 приложения (…).

Определяем R₁=1,59 и R₂=0,76, тогда q_н= n/N•R₁=12/20•1,59=0,3774;

q_в= n/N•R₂=12/20•0,76=0,7895; то есть можно записать ?*= Р (0,3774?q? 0,7895) или окончательно оценка доверительных границ вероятности безотказной работы будет представлена так: Р_н=1 — q_в=1−0,7895=0,2105; Р_в=1 — q_н=1−0,3774=0,6226, с доверительной вероятностью ?=0,95.

В связи с отсутствием в задании данных по многократно цензурированным выборкам рассматриваемого изделия, оценку непараметрическим методом по многократно цензурированным выборкам не выполняем.

безотказность самолет вероятность выборка