Простые хореографии в задаче N тел

Комплексная цель: Ознакомить студентов с необычными траекториями в задаче N тел с одинаковыми массами, которые получили название «простых хореографий».

Краткое изложение программного материала: Начиная с открытой менее 10 лет назад восьмеркообразной траектории для случая трех тел, студенты знакомятся с различными причудливыми простыми хореографиями для случая многих тел, взаимодействующих по закону всемирного тяготения.

Пр: На предыдущем этапе мы с Вами занимались задачей трех тел и рассмотрели тот частный случай, когда все они имели одинаковые массы и двигались по одной и той же траектории (окружности). При этом в любой момент времени положение этих трех тел образовывали равносторонний треугольник. Это один из немногих частных случаев задачи трех тел, для которых можно получить аналитическое решение. Рассмотренный пример, как и несколько других частных случаев задачи трех тел, были указаны еще в 1772 году Лагранжем. Обязательно познакомитесь с ними по книгам, посвященным небесной механике, или найдите соответствующую информацию в Интернете.

Более того, в конце XIX века Г. Э. Брунсу и А. Пуанкаре удалось доказать, что общее решение задачи трех тел нельзя выразить через алгебраические или однозначные трансцендентные функции координат и скоростей тел.

Ст: Поскольку упомянутые Вами результаты Лагранжа были получены весьма давно, у меня возник вопрос о том, что было сделано в этой области с тех далеких времен…

Пр: Вы можете поискать соответствующую информацию в Интернете, но смею Вас заверить, что принципиально новые результаты в решении задачи трех тел были получены только недавно, а именно, в самом конце 1999 г (как раз к моменту наступления нового тысячелетия!).

Ст: Ваши слова мне представляются очень интересными — неужели для столь старой по своему происхождению задачи небесной механики «принципиально новые», как Вы выразились, результаты были получены столь недавно — менее 10 лет тому назад…

Пр: Как ни странно, но это действительно так. Открытие, о котором я говорю, было сделано А. Шенсине и Р. Монтгомери (их статья [16] называется «Замечательное периодическое решение задачи трех тел в случае равных масс»). В результате весьма сложных математических расчетов, которые далеко выходят за рамки привычного для физиков математического аппарата, авторам вышеуказанной работы удалось доказать существование некоторой неподвижной траектории в форме восьмерки, вдоль которой движутся три тела одинаковой массы. Существование этой необычной траектории (см. рис. 7) было подтверждено прямыми численными экспериментами, в которых самое активное участие принимал известный исследователь в области небесной механики К. Симо.

Ст: Мне кажется, что я бы мог достаточно легко построить такую траекторию с помощью своей Maple-программы…

Пр: Интересно, а как Вы собираетесь это сделать? Какие вы будете задавать начальные условия?

Ст: А разве я не могу попробовать самостоятельно подобрать соответствующие начальные условия таким образом, чтобы получилась изображенная на рисунке 7 орбита…

Пр: Попробуйте, попробуйте! Проблема такого подбора намного сложнее известной задачи поиска иголки в стоге сена. Не забывайте, что Вы должны соответствующим образом подобрать 12 чисел — начальные координаты и скорости всех 3 тел, а это задача поиска в многомерном пространстве…

Ст: Да, я уже начинаю понимать, что «просто так» начальные условия для построения вышеуказанной траектории найти не удастся…

Пр: Зато Вы можете достаточно легко воспроизвести с помощью своей Maple-программы обсуждаемую выше траекторию движения трех тел, если Вам будет известны соответствующие начальные условия. Взять их можно из оригинальной работы [16], перевод которой можно найти в книге К. Симо «Современные проблемы хаоса и нелинейности» [17]). Попробуйте запустить Вашу Maple-программу со следующими начальными условиями:

Ст: (заносит эти начальные условия в свою компьютерную программу). Да, действительно, все три тела движутся по восьмёркообразной траектории, галантно уступая друг другу дорогу, чтобы избежать возможных столкновений…

Пр: Вы правильно заметили, проблема исключения столкновений чрезвычайно актуальна, а решение ее отнюдь не тривиально.

Ст: А что произойдет, если мы будем изменять начальные условия в некотором диапазоне около указанных Вами начальных данных (16), которые приводят к идеальной восьмёркообразной траектории?

Пр: Вполне одобряю Ваши намерения, поскольку такое «шевеление» начальных условий напрямую связано с исследованием устойчивости рассматриваемой нами замечательной восьмёркообразной траектории.

Ст: (запускает свою программу с несколько измененными начальными условиями). Видно, что в результате такого компьютерного эксперимента восьмёркообразная траектория утолщается (см. рисунок 8).

Рис. 8.

Ст: (продолжает варьировать начальные условия). А вот если изменить начальные данные (16) существенным образом, наша особая траектория исчезает.

Пр: Отлично, а какие бы Вы предложили дальнейшие вычислительные эксперименты?

Ст: Я бы хотел посмотреть насколько устойчивой является восьмёркообразная траектория не только по отношению к изменению начальных условий, но и по отношению к вариации самого закона всемирного тяготения, в том смысле, как это мы делали при рассмотрении задачи двух тел (см. переход от формулы (7) к формуле (8)).

Пр: Я полностью поддерживаю Вашу инициативу и советую дома провести соответствующие вычислительные эксперименты.

Ст: При различных д в формуле (8) мне удалось получить самые различные типы движения трех тел с одинаковыми массами. Один из характерных примеров изображен на рисунке 9 (д>0.06).

Рис. 9.

На них хорошо видно хаотическое движение трех тел.

Пр: Очень хорошо. Как видите с детерминированным хаосом можно столкнуться буквально на каждом шагу.

В заключение хотелось бы привести несколько других примеров простых хореографий для движения N тел одинаковой массы при различных значениях N. Эти примеры взяты мной из работы К. Симо [17].

Рис. 10.

Ст: А почему Вы пользуетесь термином «хореография»? Насколько он уместен для описания движения небесных тел?

Пр: Жаль, что я не могу показать Вам анимацию, соответствующую этим хореографиям: тогда бы Вы увидели, что движение наших тел очень причудливо. Наблюдателю и впрямь кажется, что они исполняют некоторые небесные танцы.

Учтите только, что в отличие от восьмёркообразной траектории, большинство траекторий, изображенных на рисунке 10 устойчивыми не являются.

Ст: А почему Вы называете эти хореографии простыми?

Пр: Этот общепринятый термин обязан своим происхождением тому, что все N тел движутся по одной и той же траектории.

Ст: А что, могут быть и «сложные» хореографии?

Пр: Да, могут быть… Но нам с Вами пора на чем-то остановиться. Давайте лучше подведем некоторые итоги проведенных нами занятий.

Проектное задание. С помощью численных методов решения дифференциальных уравнений пронаблюдать движение трёх одинаковых тел, взаимодействующих по закону всемирного тяготения Ньютона, вдоль восьмёркообразной траектории, используя начальные значения координат и скоростей этих тел, указанных в формуле (16). Рассмотреть устойчивость данной траектории относительно малых изменений начальных условий.

Тест рубежного контроля.

Тест содержит 2 задания, на выполнение которых отводится 5 минут. Выберите наиболее правильный, по Вашему мнению, вариант ответа и отметьте его любым значком в бланке ответов.

• 1. Начальные условия для получения простых хореографий легко можно найти:
• 1) Случайным перебором.
• 2) С помощью следствий из теоремы Пуанкаре-Дюлака.
• 3) В оригинальных статьях К. Симо.
• 2. Простые хореографии отличаются друг от друга:
• 1) Скоростью тел вдоль траекторий
• 2) Числом столкновений
• 3) Количеством тел и формой траектории

Бланк ответов.

Критерий оценки Число правильных ответов — 2 1 0.

Оценка — 5 3 2.

Выводы

Во второй данного учебного пособия мы рассмотрели применение метода проблемного обучения на примере преподавания темы «Динамика тел под действием гравитационных сил» курса «Компьютерное моделирование в современном естествознании». Изучение этой темы было разделено на четыре модуля:

Пятый модуль является вводным: студент должен понять, что изучение динамики тел сводится к решению соответствующих систем дифференциальных уравнений, научиться проводить компьютерные эксперименты (решая эти уравнения с помощью математического пакета MAPLE), придти к принципиальной идее о том, что законы Кеплера носят приближенный характер (за счет влияния планет друг на друга).

Как известно, исторически закон всемирного тяготения был выведен Ньютоном на основе законов Кеплера, а поскольку последние, как было указано выше, имеют приближенный характер, то возникает естественная проблема: «Можно ли считать сам закон всемирного тяготения абсолютно точным?». Эта проблема обсуждается в шестом модуле. В частности, мы подводим студента к идее того, что небольшое изменение закона всемирного тяготения влечет за собой кардинальные изменения характера орбиты планеты — она становится незамкнутой.

Проведенное студентом самостоятельное исследование для задачи двух тел естественным образом приводит его к возможности исследования такими же численными методами известной «задачи трех тел». Исследование этой задачи мы начали с простого частного решения, указанного еще Лагранжем в XVII веке, — трех одинаковых тел, расположенных в углах равностороннего треугольника и имеющих одинаковые по модулю скорости V0, направленные по касательным к описанной вокруг этого треугольника окружности. Этот случай можно исследовать, основываясь лишь на школьных знаниях. Варьируя вышеупомянутую скорость, студент естественным образом приходит к идее связи между вращательной и колебательной степенями свободы в нелинейных динамических системах. Далее, варьируя некоторым образом массы тел и начальные условия, студент сталкивается с новым для него понятием — детерминированным хаосом, который является одним из ключевых явлений в динамике нелинейных систем. Всем этим вопросам посвящен седьмой модуль.

В восьмом модуле студент знакомится с крупным открытием в области нелинейной динамики, которое было сделано менее 10 лет назад, — с «простыми хореографиями», соответствующим движению одинаковых тел по одной и той же траектории.

Таким образом, с помощью настоящего учебного пособия студент знакомится с теорией движения тел под действием сил гравитации, начиная с выполненных еще в XVII веке работ Кеплера и Ньютона и заканчивая последними достижениями в этой области — простыми хореографиями, открытыми только в 1999 г.