Аксиально-симметрические поля. 
Общая теория относительности и метрика галактик

Гравитационные поля, обладающие осевой симметрией, рассматривались в работах Вейля, Леви-Чевита, Дельсарта, Петрова и других. Метрический тензор таких полей в предположении их статичности может быть приведен к виду:

(7).

Здесь;; - функции, удовлетворяющие уравнениям Эйнштейна. Легко видеть, что метрика (7) имеет в качестве предела при метрику плоского пространства Минковского, что соответствует специальному выбору граничных условий далеко за пределами рассматриваемой системы. Этот выбор не является очевидным в случае галактик, которые, согласно современным представлениям, погружены не в пустое пространство Минковского, а в пространство наполненное темной материей и темной энергией.

Компоненты тензора Эйнштейна в метрике (7) имеют вид:

(8).

В частности для вакуума, полагая, находим уравнения поля:

(9).

Можно проверить, что не все уравнения (9) являются независимыми и что выполняются следующие два соотношения:

(10).

Следовательно, можно в качестве системы уравнений для определения двух функций выбрать, например, первое и четвертое уравнения (9), имеем:

(11).

Разрешая систему уравнений (11) приходим к определению статических полей гравитации в случае наличия осевой симметрии. Решение задачи зависит от граничных условий, но не зависит от распределения обычной материи. Действительно, предположим, что решение зависит от распределения обычной материи. Тогда, практически для всех галактик потребуется до определить тензор энергии-импульса путем добавления вклада темной материи, чтобы согласовать наблюдаемые зависимости орбитальной скорости от расстояния. Но, как известно, вклад темной материи не является малым, а является, скорее, определяющим, поэтому теряется сам смысл утверждения о том, что гравитационное поле зависит от распределения обычной материи.

С другой стороны, решение системы уравнений (11) зависит от граничных условий, которые можно сформулировать, например, на осях симметрии галактики и на удаленной границе. В результате находим гравитационный потенциал, не используя объемных источников. В этом случае роль темной материи играют граничные условия, которые можно определить путем измерений орбитальной скорости звезд в галактиках.

Сила, действующая на частицу в статическом гравитационном поле, определяется в общем случае из выражения:

(12).

Здесь — масса и вектор скорости частицы, (все компоненты этот вектора равны нулю в случае метрики (7)).

Отметим, что в нерелятивистском пределе потенциал, где — гравитационный потенциал в теории гравитации Ньютона. Из второго уравнения (11) находим оценку. В галактиках параметр орбитальной скорости и гравитационный потенциал связаны между собой, что позволяет оценить величину. В таком случае в первом приближении можно пренебречь малой величиной. В результате, как и в теории гравитации Ньютона, приходим к уравнению Лапласа для определения гравитационного потенциала.

Динамика отдельных тел моделируется в соответствии с теорией Ньютона с использованием выражения силы (12), что согласуется с гипотезой (2). Рассмотрим уравнение движения тела в гравитационном поле в нерелятивистском приближении, имеем:

(13).

В метрике (7) условие равновесия тел на круговых орбитах имеет вид:

(14).

Отсюда находим зависимость потенциала от радиальной координаты:

(15).

Путем обработки данных для 50 галактик /27−28/ было установлено, что наилучшее соответствие со всей совокупностью данных получается в том случае, когда зависимость потенциала от радиальной координаты имеет вид:

(16).

Здесь — некоторые константы, характеризующие распределение гравитационного потенциала во внутренней области галактики. На рис. 1 представлены результаты моделирования распределения гравитационных потенциалов в галактиках NGC 3495, NGC 3521, NGC 3628 на основе стандартной процедуры NonlinearModelFit системы Wolfram Mathematica 9 и данных.

Из этих данных следует, что параметр, а параметр при квадратичном слагаемом в этих галактиках является отрицательным,. Следовательно, можно предположить, что гравитационный потенциал во внутренней области галактики имеет вид:

(17).

Где, а параметры вычисляются по данным скорости вращения согласно приведенной выше процедуре.

На рис. 2 представлен гравитационный потенциал во внутренней области галактики NGC 1808, восстановленный по уравнению (17) на основе данных. В этом случае в центре галактики, видимо, есть точечный источник.

Далее заметим, что при вычислении потенциала (17) не использованы никакие гипотезы о распределении материи в галактиках. Более того, потенциал точечной массы, логарифмический и квадратичный потенциалы в выражении (17) удовлетворяют уравнению Лапласа (11) и, следовательно, в этом приближении они являются решением уравнений Эйнштейна (1) для вакуума. И только линейное по радиальной координате слагаемое является решением первого уравнения (11) с ненулевой правой частью:

Рис. 1. Зависимость гравитационного потенциала от радиальной координаты в галактиках NGC 3628, NGC 3495, NGC 5457 по данным /27−28/: справа показаны отклонения от расчетной зависимости (16) для всех точек экспериментальных данных в используемых единицах гравитационного потенциала — км2/с2

(18).

В этом уравнении, а правая часть возникает при решении первого уравнения (2) в метрике (7) при дополнительном условии:

(19).

Мы, таким образом, показали, что обычная материя не дает никакого вклада в гравитационное поле галактик, а само гравитационное поле определяется метрикой пространства-времени, которая зависит от начальных и граничных условий, но не зависит от распределения обычной или темной материи, как это предполагается в работах и других.

Рис. 2. Гравитационный потенциал (в км2/с2) в галактике NGC 1808: слева представлен потенциал в плоскости симметрии вместе с данными; справа потенциал во внутренней области, восстановленный по уравнению (17); в центре показаны отклонения от расчетной зависимости (16) для всех точек экспериментальных данных

Отметим, что отклонение от расчетной зависимости на рис. 1 носит регулярный характер, что может быть описано решениями уравнения Лапласа, содержащими цилиндрические функции Бесселя. Однако и в этом случае не требуется никаких гипотез, касающихся распределения материи. С другой стороны, используя вычисленные гравитационные потенциалы для каждой галактики, можно определить траектории звезд, а также установить тензор плотности энергии-импульса согласно второму уравнению (2).

В том случае, когда выражение (17) не позволяет описать гравитационное поле во внутренней области галактики, можно использовать следующее решение:

(20).

Квадратичное по радиальной координате слагаемое в правой части (20) является решением первого уравнения (11) с ненулевой правой частью:

(21).

В этом уравнении следует положить. Здесь правая часть возникает при решении первого уравнения (2) в метрике (7) при дополнительном условии:

(22).

Последнее уравнение может выполняться только приближенно с учетом установленной выше оценки. В качестве примера применения потенциала вида (20) можно указать галактику NGC 1068 — рис. 3 и нашу Галактику — рис. 4.

В некоторых галактиках, таких как наша Галактика, среди слагаемых в правой части выражения (17) или (20) присутствует и потенциал точечной массы, расположенной в начале координат — рис. 2, 4. Потенциал этого типа также удовлетворяет уравнению Лапласа с нулевой правой частью. Поэтому само по себе наличие этого слагаемого не меняет выводов о том, что материя не вносит вклада в гравитационное поле в галактиках.

Как известно, в центре нашей Галактики находится точечный источник гравитационного поля, который обычно отождествляют с черной дырой. Это означает, что вблизи этого источника следует заменить метрику (7) на метрику Шварцшильда или другую подходящую метрику, описывающую гравитационное поле вблизи особенности типа точечного источника.

Рис. 3. Гравитационный потенциал галактики NGC 1068, вычисленный по уравнению (20)

Рис. 4. Гравитационный потенциал нашей Галактики, вычисленный по уравнению (20). В центре Галактики есть точечный источник гравитационного поля, который обычно отождествляют с черной дырой