Постановка и решение транспортной параметрической задачи
Актуальность линейного программирования и обусловила выбор темы «Постановка и решение транспортной параметрической задачи» данной курсовой работы. Использование метода потенциалов линейного программирования представляет собой важность и ценность — оптимальный вариант выбирается из достаточно значительного количества альтернативных вариантов. Также все экономические задачи, решаемые с применением… Читать ещё >
Постановка и решение транспортной параметрической задачи (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Постановка и решение транспортной параметрической задачи
математический перевозка транспортный компьютерный
Задача оптимизации может быть успешно решена с помощью ЭВМ, даже при небольшой вычислительной мощности. При этом качество расчета и скорость вычислений зависит от используемого программного обеспечения.
Существует несколько основных алгоритмов оптимизации: методом перебора, симплекс-методом, Двойственная задача, (решением экстремальных уравнений или неравенств).
Многие задачи оптимизации сводятся к отысканию наименьшего или наибольшего значения некоторой функции, которую принято называть целевой функцией или критерием качества. Постановка задачи и методы исследования существенно зависят от свойств целевой функции и той информации о ней, которая может считаться доступной в процессе решения задачи, а также которая известна до решения задачи.
Линейным программированием называются задачи оптимизации, в которых целевая функция является линейной функцией своих аргументов, а условия, определяющие их допустимые значения, имеют вид линейных уравнений и неравенств. Линейное программирование начало развиваться в первую очередь в связи с задачами экономики, с поиском способов оптимального распределения и использования ресурсов. Оно послужило основой широкого использования математических методов в экономике.
Актуальность линейного программирования и обусловила выбор темы «Постановка и решение транспортной параметрической задачи» данной курсовой работы. Использование метода потенциалов линейного программирования представляет собой важность и ценность — оптимальный вариант выбирается из достаточно значительного количества альтернативных вариантов. Также все экономические задачи, решаемые с применением линейного программирования, отличаются альтернативностью решения и определенными ограничивающими условиями.
Цель курсовой работы — продемонстрировать на конкретном примере решение задачи линейного программирования (ЗЛП), приобрести навыков решения задач линейного программирования в табличном редакторе Microsoft Excel.
Задачи работы обусловлены ее целью:
Во-первых, раскрыть теоретическое содержание данной темы.
Во-вторых, сформулировать и найти оптимальное решение задач с помощью средств MS Excel.
Постановка задачи необходимо разработать программу, решающую базовую задачу линейного программирования методом потенциала с помощью MS Excel.
Транспортная задача является классической задачей исследования операций. Множество задач распределения ресурсов сводится именно к этой задаче. Распределительные задачи связаны с распределением ресурсов по работам, которые необходимо выполнить. Задачи этого класса возникают тогда, когда имеющихся в наличии ресурсов не хватает для выполнения каждой работы наиболее эффективным образом. Поэтому целью решения задачи, является отыскания такого распределения ресурсов по работам, при котором либо минимизируются общие затраты, связанные с выполнением работ, либо максимизируется получаемый в результате общий доход.
1. Описание метода потенциалов
Метод потенциалов позволяет, исходя из некоторого опорного плана, построить за конечное число итераций решение транспортной — задачи.
Метод потенциалов впервые предложили Л. В. Канторович и М. К. Гавурин в 1949 г. Позже аналогичный метод разработал Г. Данциг, исходя из общих идей ЛП.
Общая схема метода такова.
В данном начальном опорном плане перевозок каждому пункту ставят в соответствие некоторое число, называемое его предварительным потенциалом. Предварительные потенциалы выбирают так, чтобы их разность для любой пары пунктов Ai и Bj, связанных основной коммуникацией, была равна cij. Если окажется, что разность предварительных потенциалов для всех других коммуникаций не превосходит cij, то данный план перевозок — оптимальное решение задачи. В противном случае указывают способ улучшения текущего плана транспортной — задачи.
Описание алгоритма метода потенциалов.
Алгоритм складывается из предварительного этапа и конечного числа однотипных итераций.
· Проверяется тип модели транспортной задачи и в случае открытой модели сводим ее к закрытой;
· Находится опорный план перевозок путем составления 1-й таблицы;
· Проверяем план (таблицу) на удовлетворение системе уравнений и на невыражденность; в случае вырождения плана добавляем условно заполненные клетки с помощью «0»;
· Для опорного плана определяются потенциалы ui и vj, соответствующие базисным клеткам, по условию: ui + vj = cij
Таких уравнений будет m + n — 1, а переменных будет m + n. Для их определения одну из переменных полагают равной любому постоянному значению. Обычно принимают u1 = 0.
· После этого для небазисных клеток опорного плана определяются оценки cij, где cij =ui + vj — cij
При этом если cij Ј0, то опорный план оптимален, если же среди cij окажется хотя бы один положительный элемент, то опорный план можно улучшить.
· Улучшение опорного плана осуществляется путем целенаправленного переноса из клетки в клетку транспортной таблицы отдельных перевозок без нарушения баланса по некоторому замкнутому циклу.
Циклом транспортной таблицы называется последовательное соединение замкнутой ломаной линией некоторых клеток, расположенных в одном ряду (строке, столбце), причем число клеток в одном ряду должно быть равно двум.
Каждый цикл имеет четное число вершин, одна из которых в клетке с небазисной переменной, другие вершины в клетках с базисными переменными. Клетки отмечаются знаком «+», если перевозки в данной клетке увеличиваются и знаком «-» в противном случае. Цикл начинается и заканчивается на выбранной небазисной переменной и отмечается знаком «+». Далее знаки чередуются.
Количество единиц продукта, перемещаемого из клетки в клетку по циклу, постоянно, поэтому сумма перевозок в каждой строке и в каждом столбце остаются неизменными. Стоимость всего плана изменяется на цену цикла.
Цена цикла — это стоимость перевозки единицы продукта по циклу с учетом знаков вершин.
Улучшение опорного плана осуществляется путем нахождения цикла с отрицательной ценой.
Если критерий оптимальности не выполняется, то переходим к следующему шагу. Для этого:
а) в качестве начальной небазисной переменной принимается та, у которой оценка cij имеет максимальное значение;
б) составляется цикл пересчета;
в) находится число перерасчета по циклу: число X=min{Xij}, где Xij — числа в заполненных клетках со знаком «-»;
г) составляется новая таблица, добавляя X в плюсовые клетки и отнимая X из минусовых клеток цикла;
Через конечное число шагов (циклов) обязательно приходят к ответу, так как транспортная задача всегда имеет решение.
2. Математическая постановка задачи об оптимальных перевозках
В общем виде задачу можно представить следующим образом: в m пунктах производства A1, A2, …, Am имеется однородный груз в количестве соответственно a1, a2, …, am. Этот груз необходимо доставить в n пунктов назначения B1, B2, …, Bn в количестве соответственно b1, b2, …, bn. Стоимость перевозки единицы груза (тариф) из пункта Ai в пункт Bj равна cij.
Требуется составить план перевозок, позволяющий вывести все грузы и имеющий минимальную стоимость.
Обозначим через xij количество груза, перевозимого из пункта Ai, в пункт Bj. Запишем условия задачи в распределительную таблицу, которую будем использовать для нахождения решения (таблица. 2.1).
Таблица 2.1. Модель распределительной таблицы
Bi Ai | B1 | B2 | … | Bj | … | Bn | |
b1 | b2 | … | bi | … | bn | ||
A1 a1 | c11 x11 | c12 x12 | … | с1j x1j | … | c1n x1n | |
A2 a2 | c21 x21 | c22 x22 | … | c2j x2j | … | c2n x2n | |
… | … | … | … | … | … | … | |
Ai ai | ci1 xi1 | ci2 xi2 | … | cij xij | … | cin xin | |
… | … | … | … | … | … | … | |
Am am | cm1 xm1 | cm2 xm2 | … | cmj xmj | … | cmn xmn | |
Математическая модель транспортной задачи имеет вид
при ограничениях:
Оптимальным решением задачи является матрица
удовлетворяющая системе ограничений и доставляющая минимум целевой функции.
3. Метод решения задачи об оптимальных перевозках средствами Ms Excel
Нахождение оптимального плана перевозок с применением компьютерной программы Ms Excel осуществляется посредством функции «Поиск решения».
Схема выполнения:
1. Для удобства расчетов необходимо отдельно создать матрицу, отображающую стоимость перевозок (Cij) (рисунок 3.1.), а также матрицу, которая должна будет отображать искомый план перевозок (рисунок. 3.2.).
Рисунок 3.1 — Фрагмент окна программы Ms Excel: Модель таблицы «Стоимость перевозок».
2. В таблице «Стоимость перевозок» в ячейках запасов поставщиков и потребностей потребителей записать количество запасов поставщиков и потребностей потребителей соответственно, указанное в условии задачи.
3. Таблицу «План перевозок» создать с пустыми полями (заполненными единицами), заранее заданного числового формата. В ячейках запасов (потребностей) каждого поставщика (потребителя) ввести формулу, выполняющую суммирование всех возможных поставок этого поставщика (потребителя).
Рисунок 3.2 — Фрагмент окна программы Ms Excel: Модель таблицы «План перевозок»
4. В ячейке целевой функции ввести формулу, высчитывающую сумму произведений элементов матрицы «Стоимость перевозок» и соответствующих элементов матрицы «План перевозок».
5. В диалоговом окне функции «Поиск решения» установить необходимые ограничения, в целевой ячейке указать адрес ячейки с формулой целевой функции и установить ее равной минимальному значению, в качестве изменяемых ячеек выбрать диапазон всех элементов матрицы «План перевозок». Ограничения в «Поиске решений» заключаются в необходимости равенства запасов (потребностей), в матрице «План перевозок» соответствующим запасам и потребностям, указанным в матрице «Стоимость перевозок». Также все элементы матрицы «План перевозок» должны быть неотрицательными и целочисленными.
6. В диалоговом окне «Параметры поиска решения» установить параметр «Линейная модель» и число итераций, равное 100.
7. Выполнить функцию «Поиск решения» нажатием на кнопку «Выполнить». В качестве отчета по результатам выбрать необходимый пункт в списке «Тип отчета» диалогового окна «Результаты поиска решения».
После выполнения вышеуказанных действий при условии, что задача имеет решение, в матрице «План перевозок» запишется оптимальное решение задачи, т. е. оптимальный план перевозок с указанием объемов поставок в каждой ячейке. В ячейке с целевой функцией запишутся совокупные затраты поставок.
4. Решение параметрической транспортной задачи
4.1 Постановка параметрической транспортной задачи
Имеется четыре поставщика: A1 — ОАО" Катрен", A2 — ОАО «СИА ИНТЕРНЕЙШЕНЛ», A3 — ЗАО «ПрофитМед», A4 — ЗАО" Роста" однородного груза лекарственных препаратов с объемами поставок 100, 70, 70, 20 т. и три потребителя: B1 — ООО «Родник», B2 — «36,6», B3 — «Будь здоров» с объемами потребления 120, 80, 60 т. Стоимость транспортных расходов задана матрицей
причем стоимость перевозки груза от четвертого поставщика до третьего потребителя изменяется в диапазоне 0? k?9.
Определить оптимальный план перевозок, обеспечивающий минимальные транспортные расходы.
Изобразим матричную запись задачи (таблица. 4.1.1)
Таблица 4.1.1 — Матричная запись задачи
Bj Ai | B1 | B2 | B3 | ||
A1 | |||||
X11 | X12 | X13 | |||
A2 | |||||
X21 | X22 | X23 | |||
A3 | |||||
X31 | X32 | X33 | |||
A4 | 1+k | ||||
X41 | X42 | X43 | |||
4.2 Математическая модель задачи
Целевая функция
.
где Xij — объем поставок груза,
при ограничениях:
Xij?0,
Подробные ограничения по потребностям и запасам каждого потребителя и поставщика соответственно отражены в Таблице 4.2.1.
Таблица 4.2.1 — Ограничения по потребностям и запасам
По потребностям | По запасам | |||
B1 | X11+X21+X31+X41=120 | A1 | X11+X12+X13=100 | |
B2 | X12+X22+X32+X42=80 | A2 | X21+X22+X23=70 | |
B3 | X13+X23+X33+X43=60 | A3 | X31+X32+X33=70 | |
A4 | X41+X42+X43=20 | |||
4.3 Решение задачи средствами Ms Excel
Создадим в окне программы Ms Excel две матрицы «План перевозок» и «Стоимость перевозок», согласно вышеизложенным правилам (рис 4.3.1). Также нужно указать ячейку содержащую изменяемый параметр k. При этом в клетке A4B3 матрицы «Стоимость перевозок» устанавливаем формулу, отображающую зависимость данного тарифа от параметра k: L7=1+L9.
Рисунок 4.3.1 — Фрагмент окна программы Ms Excel: Матрицы «План перевозок» и «Стоимость перевозок» с изменяемым тарифом C43
В ячейки, которые должны отображать запасы поставщиков и потребности потребителей в матрице «План перевозок» вводим формулы суммирующие значения всех возможных поставок данных поставщиков и потребителей, например: B4=СУММ (C4:E4), C3=СУММ (С4:С7).
В ячейку целевой функции (N7) введем =СУММПРОИЗВ (C4:E7; J4: L7).
Метод решения параметрической транспортной задачи средствами Ms Excel заключается в нахождении оптимального решения при каждом значении параметра k, с сохранением сценария для каждой процедуры «Поиск решения». После этого необходимо из всего диапазона изменения параметра k выделить отдельные промежутки, на которых сохраняется оптимальное решение задачи и минимальная стоимость затрат.
В диалоговом окне «Поиск решения», согласно вышеуказанным правилам установим все необходимые ограничения и ссылки на необходимые ячейки (рис. 4.3.2). Также необходимо в ограничениях указать пределы изменения параметра k, т. е. 0? k?9.
Рисунок 4.3.2 — Диалоговое окно «Поиск решения»
В диалоговом окне «Параметры поиска решения» установить необходимые параметры (рис. 4.3.3).
Рисунок 4.3.3 — Диалоговое окно «Параметры поиска решения»
После нажатия на кнопку «Выполнить» в диалоговом окне «Результаты поиска решения» (рис. 4.3.5) нажать «Сохранить сценарий…» и в появившемся диалоговом окне «Сохранение сценария» задать имя данному сценарию и нажать «ОК» (рис. 4.3.4.).
Рисунок 4.3.4 — Диалоговое окно «Сохранение сценария»
После сохранения сценария в диалоговом окне «Результаты поиска решения» выделить необходимые типы отчетов и нажать «OK» (рисунок. 4.3.5.).
Рисунок 4.3.5 — Диалоговое окно «Результаты поиска решений
После выполнения всех операций в матрице «План перевозок» получим оптимальный план перевозок при k=0 (рисунок 4.3.6.).
Рисунок. 4.3.6 — Фрагмент окна программы Ms Excel: Результат поиска решения при k=0
Полученное значение целевой функции F (x1)min=830.
Теперь аналогичным способом найдем оптимальный план перевозок при k=1. Проведя повторный расчет, получим новый план перевозок и значение целевой функции (рисунок 4.3.7.).
Рисунок 4.3.7 — Фрагмент окна программы Ms Excel: Результат поиска решения при k=1
Полученное значение целевой функции F (x2)min = 850.
Как видно из рисунков 4.3.5. и 4.3.6 планы перевозок в обоих случаях (k=0, k=1) одинаковы. После дальнейших расчетов при всех остальных значениях параметра k обнаружим, что при план перевозок остается неизменным, изменяется лишь значение целевой функции. При значении параметра «Поиск решения» выдает другой план перевозок, и значение целевой функции на данном промежутке остается неизменным F (x)min = 910. Полученный план перевозок при значении k=4 изображен на рисунке 4.3.8.
Рисунок 4.3.8 — Фрагмент окна программы Ms Excel: Результат поиска решения при k=4
Значения целевой функции, соответствующие параметру k в каждой итерации представлены в таблице 4.3.1.
Из представленных в таблице 4.3.1 данных можно вывести определенную закономерность изменения значения целевой функции на промежутке :
F (x1)min = 830, (k=0);
F (x2)min = F (x1)min +20 = 830+20, (k=1);
F (x3)min = F (x2)min +20 = 830 + 20*2 = 870, (k=2).
Следуя по той же цепочке, найдем:
F (x4)min = 830 + 20*3, (k=3).
F (x5)min = 830 + 20*4, (k=4).
Исходя из подобной логики можно представить F (x1)min = 830 + 20*0.
Отсюда можно вывести формулу, отображающую закономерность изменения значения целевой функции при :
.
Для значений значение функции постоянно F (x)=910.
Ответ.
, F (X1)min = 830 + 20k.
, F (X2)min = 910.
Таблица 3.3.1 — Значения целевой функции в каждой итерации
номер итерации i | значение параметра ki | значение функции F(xi)min | |
Команда «Сервис > Сценарии» открывает диалоговое окно «Диспетчер сценариев», которое отображает сохраненные сценарии каждой итерации нахождения оптимального плана перевозок (рис 4.3.9.).
Рисунок 4.3.9 — Диалоговое окно «Диспетчер сценариев»
С помощью «Диспетчера сценариев» можно просмотреть план перевозок и значение целевой функции, получаемые при каждом значении параметра k. Также можно просмотреть отчет, отображающий значения изменяемых ячеек в каждой из итераций.
Заключение
Представленная в данной курсовой работе параметрическая транспортная задача решена средствами компьютерной программы Ms Excel. Методом потенциалов определяет оптимальный план перевозок товара и минимальную стоимость всех перевозок для каждого из промежутков диапазона изменения параметра, определяющего тариф одной из перевозок.
Описанная в работе задача об оптимальных перевозках и метод ее решения — только отдельный пример огромного множества задач линейного программирования.
В ходе выполнения курсовой работы были решены следующие поставленные задачи:
Во-первых, раскрыть теоретическое содержание данной темы.
Во-вторых, сформулировать и найти оптимальное решение задач с помощью средств MS Excel.
Цель транспортной задачи — разработка наиболее рациональных путей и способов транспортирования товаров, устранение чрезмерно дальних, встречных, повторных перевозок. Все это сокращает время продвижения товаров, уменьшает затраты предприятий, фирм, связанные с осуществлением процессов снабжения сырьем, материалами, топливом, оборудованием и т. д.
Используемая литература
1. Кудинов Ю. И. Практическая работа в Excel: Учебное пособие. — Липецк: ЛГТУ, 2001. — 67 с.
2. Красс М. С., Чупрынов Б. П. Основы математики и ее приложения в экономическом анализе: Учебник. — 3-е изд., исп. — М.: Дело, 2002. — 688 с.
3. Юдин Д. Б., Гольштейн Е. Г. Задачи и методы линейного программирования. Издательство «Советское радио» Москва -1961
4. Иванов Ю. П., Лотов А. В. Математические модели в экономике. — М.; Наука, 1979 г.
5. Т. Н. Павлова, О. А. Ракова. Решение задач линейного программирования средствами Excel. Учебное пособие, 2002 г.