Исследование полулинейных математических моделей соболевского типа второго порядка

Актуальность исследования.

Возрастающий интерес к уравнениям соболевского типа обусловлен тем, что математические модели многих физических процессов и явлений таких, как фильтрация вязкоупругой жидкости [2], выпучивание двутавровых балок [86], колебания в молекулах ДНК [89] - [92], [97], распространение волн на мелкой воде [1], [71], [98], [31], ионно-звуковых волн в плазме [26], фазовые переходы в рамках мезоскопи-ческой теории [54] и др., строятся на основе таких уравнений, чаще всего нелинейных [35], [37], [50], [51], [71], [68] и др. Начально-краевые задачи для нелинейных уравнений в большинстве случаев не удается решить аналитически, что актуализирует разработку алгоритмов численного решения физических и технических задач [52]. Так как задача Коши для уравнений соболевского типа является принципиально неразрешимой при произвольных начальных значениях, то при исследовании начально-краевых задач, соответствующих изучаемым моделям, необходимо, прежде всего, установить условия их однозначной разрешимости. Одним из подходов к решению проблемы является метод фазового пространства, разработанный Г. А. Сви-ридюком и Т. Г. Сукачевой. Под фазовым пространством понимается множество допустимых начальных значений, при которых задача Коши для уравнения соболевского типа будет однозначно разрешима, которое содержит все решения уравнения потраекторно. Изучение фазовых пространств полулинейных уравнений соболевского типа первого порядка начато в работе Г. А. Свиридюка для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска [61] и продолжено в работах его учеников H.A. Манаковой [44], А. Ф. Гильмутдиновой [14],.

В.О. Казака [30], A.A. Баязитовой [3] и др. при изучении различных полулинейных уравнений соболевского типа первого порядка.

Г. А. Свиридюком и М. М. Якуповым [75] было изучено фазовое пространство уравнения Осколкова п доказано, что фазовое пространство является простым банаховым С'1-многообразием. В диссертации М. М. Якугюва [75] была установлена простота фазового пространства задачи Коши — Бенара для гибрида уравнения Осколкова и уравнения теплопроводности в приближении Обербека — Буссинеска, моделирующего плоскопараллельную термоконвекцию вязкоупругой несжимаемой жидкости.

Выявлению достаточных условий существования простых фазовых пространств полулинейных уравнений соболевского типа посвящена диссертация В. О. Казака [30]. В. О. Казак в своей диссертации получил условия, при которых фазовое пространство полулинейного уравнения соболевского типа первого порядка является простым банаховым многообразием.

В диссертации A.A. Баязитовой [3] метод фазового пространства был успешно применен для исследования прямых и обратных задач в моделях Хоффа. В работе получены теоремы существования и единственности решения прямых и обратных задач. Полученные результаты содержат исчерпывающую информацию о поставленных обратных задачах, носящих прикладной характер.

В диссертации П. О. Пивоваровой [53], посредством метода фазового пространства и второго метода Ляпунова проведено качественное исследование устойчивости и асимптотической устойчивости нулевых решений Хоффа, заданных как на конечном связном ориентированном графе так и в ограниченной области.

Представляемая диссертационная работа содержит результаты исследования полулинейных математических моделей соболевского типа второго порядка и является развитием работ А. А. Замышляевой, посвященных линейным уравнениям соболевского типа высокого порядка. В диссертации А. А. Замышляевой [21] изучено фазовое пространство уравнения соболевского типа высокого порядка, которое является обобщением уравнений Россби длинных волн, БуссинескаЛява, Дежен звуковых волн в смектиках и многих других. Построено семейство вырожденных аналитических М, А^-функций.

Уравнения соболевского типа и их приложения изучаются как в России, например, А. И. Кожановым [33], Г. В. Демиденко [16], И. В. Мельниковой [88], А. Г. Свешниковым [55], М. О. Корпусовым [35] и др., так и за рубежом А. Гаупп [84], А. Yagi [83] и др. Особенностью данной работы является исследование математических моделей как задач Коши для полулинейных уравнений соболевского типа второго порядка. Представим математические модели, исследуемые в работе.

Пусть О, ограниченная область из Еп, п Е N с границей дО, класса С°°. В цилиндре П х М рассмотрим математическую модель распространения волн на мелкой воде, при условии потенциальности движения и сохранения массы в слое:

Л — Д) й = а2Ди + Д/(и), (0.0.1) и (х, 0) = щ (х), й (х, 0) = щ (х), х? П, (0.0.2) и (х, ?) = 0, (х, ?) € дП х М. (0.0.3).

Функция и (х^) определяет высоту волны в момент времени? в точке х. Коэффициенты Х, а связывают глубину, гравитационную постоянную и число Бонда. Уравнение (0.0.1) впервые получено.

0.0.6).

J.V. Boussinesque. Математическая модель (0.0.1) — (0.0.2) рассматривалась в невырожденном случае Д. Г. Архиповым [1], G. Chen [78], [79], [98], Sh. Wang [99] и др. Впервые уравнение (0.0.1) в невырожденном случае рассматривалось в [77].

В работе исследуется математическая модель колебаний в молекуле ДНК: и (х, 0) =щ{х), й (ж, 0) = щ (х), х € U, (0.0.4) г-(ж, 0) = vq (x), v (x, 0) = vi (x), и{х, t) = v{x, t) = 0, (x, t) G du x R, (0.0.5) (b + A) u = aAu — Af (u, v), b + A) v = dAv — Ag (u, v). Система уравнений Буесинеска (0.0.6) при п = 1 моделирует распространение волн в молекуле ДНК. Коэффициенты a, b, d G R связывают размеры молекулы, линейную плотность и силу межмолекулярного взаимодействия, функции и m v определяют продольную и поперечную деформации. Система уравнений (0.0.6) при п = 1 моделирует колебания в крупных молекулах, в том числе в молекулах ДНК. При п = 1 данная математическая модель наиболее близка к модели, предложенной P.L. Christiansen, в которой учитывается, кроме всего прочего, эффект спирали. В модели [91] цепочки нук-леотидов предполагаются параллельными. Начально-краевые задачи для невырожденной системы уравнений Буссинеска рассматривались, например, в [81].

Математические модели (0.0.1) — (0.0.3), (0.0.4) — (0.0.6) роднит тот факт, что они в подходящим образом выбранных банаховых пространствах сводятся к задаче Коши м (0) = щ, u (0) = U (0.0.7) для неполного полулинейного уравнения соболевского типа второго порядка где Ь, М е N € С00^-^), Н, # - банаховы пространства.

На основе результатов о разрешимости задачи (0.0.7), (0.0.8), полученных в диссертации, исследованы математические модели распространения волн на мелкой воде и колебаний в молекуле ДНК.

В работе также рассматривается математическая модель Бусси-неска — Лява продольных колебаний упругого стержня с учетом инерции:

Функция и (х, t) характеризует продольное смещение, параметры а, ?, А, Л', Л" - свойства материала, из которого изготовлен стержень, и связывают между собой плотность, модуль Юнга, коэффициент Пуассона и коэффициент упругости. Необходимо отметить, что это неединственная интерпретация задачи (0.0.9) — (0.0.11). Если f (u) = и3, то уравнение (0.0.9) называется damped IMBq equation, оно описывает распространение затухающих волн на мелководье, причем акоэффициент гидродинамического сопротивления среды. В работах A.A. Замышляевой уравнение (0.0.9) рассматривалось в линейном случае, а в работах G. Chen — только в невырожденном [80]. В работе А. П. Солдатова [67] отмечено, что задача (0.0.9) — (0.0.11) неразрешима при произвольных значениях Л и щ (х), щ (х). В диссертационном исследовании получены достаточные условия однозначной раз.

Lu = Ми + N{u).

0.0.8).

Л — А) й = а (А — Х')й + ?(A — Л")и + Af (u) u{0,t) = u (l, t) = 0, и (х, 0) = Uq (x), й (х, 0) = Ui (x).

0.0.9) (0.0.10) (0.0.11) решимости данной задачи. Математическая теория упругости наиболее полно впервые была отображена в монографии [43].

Математическая модель (0.0.9) — (0.0.11) исследуется с помощью редукции к задаче Коши и (0) = щ, й (0) = щ (0.0.12) для полного полулинейного уравнения соболевского типа второго порядка.

Аи = Вхй + Вой + ЛГ (м), (0.0.13) где операторы А, Ви В0 е N е С°°(и-3).

В работе указанные математические модели рассмотрены не только с условиями Коши, но и с условиями Шоуолтера — Сидорова.

Р (и (0) — щ) = 0, Р (й (0) — щ) = 0, (0.0.14) где Р — некоторый спектральный проектор. Условия (0.0.14) задают проекции решений в начальный момент времени. Условия Шоуолтера — Сидорова при проведении вычислительного эксперимента предпочтительнее, нежели условия Коши, так как не возникает необходимости проверки принадлежности начальных значений фазовому пространству уравнения. Более того условия Шоуолтера — Сидорова обобщают условия Коши и являются более естественными для уравнений соболевского типа. Они были введены независимо друг от друга Р1.Е. ЭЬошакег и Н. А. Сидоровым. Задача Шоуолтера — Сидорова для линейных уравнений соболевского типа исследовалась, например, в [20].

Целью работы является исследование математических моделей распространения волн на мелкой воде, колебаний в молекуле ДНК и продольных колебаний в упругом стержне на основе уравнений соболевского типа с последующей разработкой алгоритмов методов численного решения и программ. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать метод исследования математических моделей, основанных на полулинейных уравнениях соболевского типа второго порядка;

2. Исследовать математическую модель распространения волн на мелкой воде как задачу Коши для неполного полулинейного уравнения соболевского типа второго порядка;

3. Исследовать математическую модель колебаний в молекуле ДНК как задачу Коши и задачу Шоуолтера — Сидорова для неполного полулинейного уравнения соболевского типа второго порядка;

4. Исследовать математическую модель Буссинеска — Лява как задачу Коши и задачу Шоуолтера — Сидорова для полного полулинейного уравнения соболевского типа второго порядка;

5. Разработать и реализовать в виде программ для ЭВМ алгоритмы методов численного решения задачи Шоуолтера — СидороваДирихле для системы уравнений Буссинеска и полулинейного уравнения Буссинеска — Лява.

Научная новизна.

Математические модели распространения волн на мелкой воде, колебаний в молекуле ДНК, продольных колебаний в упругом стержне исследованы с помощью разработанного метода, заключающегося в редукции математической модели к задаче Коши (Шоуолтера — Сидорова) для полулинейного уравнения соболевского типа второго порядка. Доказано существование единственного локального решения соответствующих указанным математическим моделям задач. Получены достаточные условия локальной разрешимости задачи Шо-уолтера — Сидорова и задачи Коши для полулинейного уравнения соболевского типа второго порядка.

Историография вопроса.

Бурное развитие гидродинамики и механики послужило толчком к появлению множества математических моделей, описываемых системами и уравнениями в частных производных, не разрешенных относительно старшей производной по времени. Впервые уравнения или системы уравнений в частных производных, не разрешенные относительно старшей производной по времени, встречаются в работах А. Пуанкаре [93]. Систематическое изучение таких задач начато в классической работе С. Л. Соболева [65]. Позже появились аналогичные модели в других областях естествознания и экономики. Следуя II. Е. Sllowalter, как и абстрактные операторно-дифференциальные уравнения вида с необратимым оператором при старшей производной по времени, так и их конкретные интерпретации в виде уравнений или систем уравнений в частных производных будем называть уравнениями соболевского типа. В дальнейшем всюду мы считаем этот термин синонимом терминов «псевдопараболические уравнения» [33], [34], «уравнения типа Соболева» [57], [61], [62], «уравнения типа Соболева — Гальперна» [36] и «уравнения не типа Коши — Ковалевской». И. Г. Петровский и Ж. Л. Лионе указывали на необходимость создания общей теории уравнений соболевского типа. В настоящее время уравнения соболевского типа являются самостоятельной частью неклассических уравнений математической физики [10].

Значительный интерес к уравнениям соболевского типа возник, с одной стороны, после результатов, полученных J. Leray и J. Schauder, Е. Hopf по системе Навье-Стокса.

Vt — vAv + Vp = О, div v = О, с другой стороны, после серии работ C.JI. Соболева по динамике гра-витирующей жидкости, одна из которых [65] посвящена изучению динамики волчка, наполненного жидкостью. Данная работа легла в основу нового поколения, которое вначале развивали ученики С. Л. Соболева P.A. Александрян, С. А. Гальперн, Т. И. Зеленяк [4]. Их исследования охватили линейные уравнения вида.

Ьй = Ми, (0.0.15) где L, М G ?(11, дифференциальные операторы по пространственным переменным.

Задачу Коши для абстрактного дифференциально-операторного уравнения впервые начал изучать М. И. Вишик [11] и независимо от него С. Г. Крейн [39] и И. Ц. Гохберг [15] вместе с учениками [8]. Ими был детально изучен случай (L,^{-ограниченности} оператора М (в нашей терминологии) при условии фредгольмовости оператора L (т.е. indL = 0). Было показано, что фазовым пространством уравнения (0.0.15) служит некоторое подпространство в 11 коразмерности равной размерности М-корневого пространства оператора L. Упомянутые работы носят чисто теоретических характер и не имеют приложений.

В работе [5] теория степени нелинейных собственных фредголь-мовых отображений и ее модификации были применены Ю. Г. Борисовичем, В. Г. Звягиным, Ю. И. Сапроновым к операторным уравнениям и приведены некоторые приложения. Эта теория является обобщением и расширением теории Лере — Шаудера. Многие ее факты связаны с топологией бесконечномерных многообразий и отображений.

В монографии X. Гаевского, К. Грегера, К. Захариаса [12] теория монотонных операторов применяется для исследования и приближенного решения краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, которые трактуются как операторные уравнения или операторно-дифференциальные уравнения в рефлексивных банаховых пространствах.

Об интересе к данным уравнениям свидетельствует большое число вышедших за последнее время монографий, целиком или частично посвященных этим уравнениям. Так монография В. Н. Врагова [10] посвящена исследованию разрешимости начально-краевых задач для неклассических уравнений в частных производных, в том числе и для линейных уравнений соболевского типа, которые были выделены в отдельный класс.

В совместной монографии [84] А. Гауш и А. Yagi уравнения соболевского типа редуцируются к дифференциальному включению. хг е А (х) с линейным многозначным оператором. К такому включению сводится линейное уравнение соболевского типа вида (0.0.15) при этом операторы Ь, М: И —"¦ Н замкнутые и линейные, причем М (Ь, а)-ограничен и бесконечность является устранимой особой точкой относительной резольвенты. Теория проиллюстрирована различными примерами и приложениями к дифференциальным уравнениям с частными производными.

Линейные абстрактные уравнения (0.0.15) в их связи с уравнениями в частных производных впервые начал изучать R.E. Showalter [76], [95]. Он рассмотрел случай, когда оператор L эллиптический, самосопряженный и вырождается на некотором множестве ненулевой меры. Независимо от R.E. Showalter H.A. Сидоров вместе со своими учениками так же начал изучать линейные уравнений вида (0.0.15) с различными вырождениями оператора при производной. В работах [64], [94] получены не только абстрактные результаты, но и изучены конкретные начально-краевые задачи для уравнений в частных производных.

В теории уравнений соболевского типа можно выделить два основных направления исследований.

Первое направление содержит результаты относящиеся к конкретным задачам или математическим моделям естествознания. К нему стоит относить работы, в которых результат о разрешимости начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных получен посредством коэрцитивных оценок как следствие из какой-либо фундаментальной топологической теоремы типа теоремы о неподвижной точке. К этому разделу можно отнести работы С. А. Габова и А. Г. Свешникова [13], А. Г. Костюченко и Г. И. Эскина [36], В. Н. Врагова [10], А. И. Кожанова [33], [34], Т. Капо [87], G. Chen [79], [98], [81].

А.И. Кожанов [33], [34], распространяя теорию уравнений математической физики составного типа на уравнения нечетного порядка в многомерных пространствах, рассматривает уравнения вида.

AD*n+lu + Bu = f (x, t), 16 где, А и В эллиптико-параболические операторы. Для линейных уравнений решается вопрос о выделении таких классов уравнений, для которых возможна постановка корректной краевой задачи в терминах коэффициентов при частных производных в операторах, А и В.

В монографии Г. В. Демиденко, С. В. Успенского [16] рассматриваются линейные дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно старшей производной, а также их системы, которые в операторной форме могут быть записаны следующим образом:

1−1.

А-—О где Ао, А1, ., А[ - линейные дифференциальные операторы относительно вектора переменных х = (х,., хп), причем оператор Ао не удовлетворяет условию невырожденности. Изучаются краевые задачи для таких уравнений с использованием метода, основная суть которого заключается в построении последовательностей приближенных решений и получении оценок в соответствующих нормах.

В монографии И. Е. Егорова, С. Г. Пяткова, С. В. Попова [17] описан математический аппарат, который может быть использован при постановке и исследовании краевых задач, а также приведен ряд результатов о разрешимости краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений вида.

Вщ + Ьи = /(и), где Ь, В — самосопряженные (или диссипативные) операторы в заданном гильбертовом пространстве Н. В общем случае не предполагается обратимость оператора В, в частности, он может иметь нетривиальное ядро. Для уравнений соболевского типа рассматривается вопрос о корректности задачи Коши. В данной работе показано, что если оператор В не является знакоопределенным, то задача Коши может быть некорректной. Здесь также исследуется спектральная задача вида Lu = ХВи. Рассматриваются вопросы базисности собственных и присоединенных векторов указанной задачи.

Второе направление содержит исследования абстрактных уравнений соболевского типа, т. е. те работы в которых объектом исследования выступают операторные уравнения. Конкретные начально-краевые задачи для уравнений и систем дифференциальных уравнений в рамках этого направления являются лишь иллюстративными примерами и служат приложениями абстрактных результатов. Но это положение ничуть ни умаляет их важности. В настоящее время в данном направлении плодотворно и активно работают И. В. Мельникова и ее ученики [46], [47], [48], [88], H.A. Сидоров и его ученики [64], [94], R.E. Showalter [95], А. Favini и А. Yagi [83], [84], [85]. К этой же группе следует отнести работы Г. А. Свиридюка и его учеников [56], [57], [58], [59], [18]-[25], [30], [44], [69], [75] и др.

А.П. Власенко и J1.A. Руткас [9] исследовали задачу Коши и (0) = u0, ut (0) = иьг4п1) = ищ для уравнения высокого порядка.

Аи[п) = Bn^ut~l) + • • • + В0и + /, причем операторы А, Вп-,. ., Bq — линейные и замкнутые операторы, действующие из банахова пространства И в банахово пространство В работе использованы экспоненциальные оценки резольвент, методы классического и локального преобразования Лапласа и принцип Фрагмена — Лиделефа. Результаты применяются к смешанной задаче не типа Коши — Ковалевской.

В монографии Ю. Е. Бояринцева и В. Ф. Чистякова [6] рассматриваются алгебро-дифферениальные системы вида шж=в (1Ш+т где A (t), B (t) прямоугольные матрицы зависящие от t € [О, Т], причем матрица A (t) является вырожденной при всех t из данного отрезка. Авторы проводят классификацию таких систем, определяют вид решения и исследуют локальные свойства для некоторых случаев с конечномерным пространством решений, а также приводятся условия бесконечномерности пространства решений.

В монографии И. В. Мельниковой и А. И. Филинкова [88] получены необходимые и достаточные условия равномерной корректности линейной задачи в терминах условий типа Хилле — Иосиды и расщепления пространств в прямые суммы. Следует отметить, что семейство М, АГ-функций, рассмотренное И. В. Мельниковой, является обобщением понятия семейства косинус и синус функций на случай полного уравнения второго порядка.

В монографии H.A. Сидорова, В. И. Логинова, A.A. Синицына, М. В. Фалалеева [94] и работе М. В Фалалеева [72] изучены полулинейные уравнения и их обобщения. Разработаны приложения метода Ляпунова — Шмидта, а также доказано существование и единственность решения в классе непрерывных функций задачи Коши для неоднородного уравнения соболевского типа с сильно измеримой и интегрируемой по Бохнеру неоднородностью и дополнительными условиями на оператор N (типа ограничений). Показано существование иьпериодического решения задачи Коши для неоднородного уравнения с замкнутыми плотно определенными операторами и wпериодической неоднородность.

В монографии А. Г. Свешникова, А. Б. Альшина, М. О. Корпусова, Ю. Д. Плетнера [55] рассматриваются проблемы глобальной и локальной разрешимости, как в классическом, так и в сильном и слабом обобщенном смыслах, широких классов задач Коши и начально-краевых задач для линейных и нелинейных уравнений в частных производных высоких порядков, включая уравнения соболевского типа и псевдопараболические уравнения. В случае локальной разрешимости для ряда классов задач получены двусторонние оценки времени разрушения решений. Помимо аналитических методов предложены и реализованы численные методы решений конкретных задач.

Теоретическая и практическая значимость.

Постановка задачи Шоуолтера — Сидорова в перечисленных математических моделях расширяет применимость разработанных алгоритмов численных методов. Полученные достаточные условия разрешимости полного и неполного полулинейного уравнения соблевско-го типа второго порядка развивают теорию уравнений соболевского типа. Построены и реализованы алгоритмы численных методов решения задачи Шоуолтера — Сидорова — Дирихле (Коши — Дирихле) для системы уравнений Буссинеска и для уравнения БуссинескаЛява, позволяющие получать приближенное решение и наглядное представление о поведении решения в графическом виде. Результаты, полученные при исследовании математической модели малых колебаний на мелкой воде, полезны в гидродинамике, в геологии при изучении фильтрации воды в почве. Результаты исследования математической модели колебаний в молекуле ДНК применимы в биоииженерии и биологии, математической модели Буссинеска — Лява — в теории упругости, гидродинамике и электродинамике.

Методы исследования.

Основным методом исследования работы является метод фазового пространства. Он применяется для исследования уравнений соболевского типа второго порядка в абстрактном случае. К конкретным прикладным математическим моделям применяется стандартный метод редукции к абстрактному уравнению соболевского типа. При редукции существенную роль играет выбор функциональных пространств, в которых решается задача. Важность этого факта отмечали O.A. Ладыженская [41] и Ж.-Л. Лионе. Эта трудность связана с вопросом о гладкости: если удается доказать, что рассматриваемая нелинейная задача является корректной в некотором функциональном классе, то, как правило, неверно, что решение будет очень гладким, коль скоро этим свойством обладают данные задачи.

Кроме метода фазового пространства мы широко используем, во-первых, теорию относительно ограниченных операторов, разработанную Г. А. Свиридюком [61] и развитую в работах его учеников [20], [32], [44]- во-вторых, такие мощные средства нелинейного функционального анализа, как теорему о неявной функции [49], [38], и линейного функционального анализа [29]: теоремы вложения Соболева и Ре л лиха — Кондрашова, теорему о регулярном отображении [45]- в-третьих, теорему Коши для невырожденного дифференциального уравнения второго порядка, заданного на банаховом многообразии [42].

Поскольку диссертация кроме аналитических исследований содержит еще и алгоритмы численных методов решения, иллюстрирующих полученные результаты в аналитических изысканиях, здесь необходимо также упомянуть метод Галеркина [7] и метод РунгеКутта, лежащий в основе этих алгоритмов.

Краткое содержание диссертации.

Диссертационная работа помимо введения, заключения, приложений и списка литературы содержит три главы.

Список литературы

включает 112 наименований.

Первая глава состоит из пяти параграфов. Они содержат определения, теоремы и вспомогательные утверждения, опираясь, на которые получены основные результаты исследования. Результаты, полученные другими авторами, приводятся без доказательства. В первом параграфе приводятся некоторые определения, теоремы и леммы теории относительно ограниченных операторов взятые из [96]. Во втором параграфе приведены некоторые результаты теории относительно полиномиально ограниченных пучков операторов, которые опубликованы в [21], [23], [59]. Третий параграф посвящен дифференцируемым банаховым многообразиям [42]. В нем рассмотрены такие понятия как карта, атлас, банахово С^-многообразие, касательное расслоение С^-многообразия, векторное поле и теорема Коши для линейного невырожденного дифференциальное уравнения второго порядка, заданного на гладком банаховом многообразии. В четвертом параграфе приводится теорема Вишика — Минти — Браудера и теорема о неявной функции. И наконец, в пятом параграфе определяются пространства Соболева [66], приводятся теоремы вложения Соболева и Реллиха — Кондрашова [70], [73], теорема о регулярности [74] и следствие из нее. Кроме того, основные результаты по теории дифференциальных операторов в банаховых пространствах. Основмое внимание здесь уделяется формализации понятия «дифференциальный оператор» в областях с границей класса С°°. В основном все результаты, касающиеся дифференциальных операторов, взяты из богатой содержанием справочной монографии X. Трибеля [70].

Вторая глава содержит шесть параграфов и посвящена математическим моделям соболевского типа, которые можно свести к абстрактным неполным полулинейным уравнениям соболевского типа второго порядка. Первый параграф содержит результаты по исследованию разрешимости задачи Коши для неполного абстрактного полулинейного уравнения соболевского типа второго порядка, которые в дальнейшем применяются для исследования соответствующих математических моделей. Здесь приводятся достаточные условия разрешимости задачи Коши для неполных уравнений соболевского типа второго порядка. Кроме того, описывается фазовое пространство уравнения соболевского типа данного класса. Во втором параграфе с помощью редукции к задаче Коши для абстрактного уравнения строится фазовое пространство системы уравнений Бус-синеска, моделирующей колебания в молекуле ДНК. Третий параграф содержит результаты исследования системы уравнений колебаний в молекуле ДНК с условиями Шоуолтера — Сидорова и краевыми условиями Дирихле, а также достаточные условия разрешимости задачи Шоуолтера — Сидорова для неполного полулинейного уравнения соболевского типа второго порядка. В четвертом параграфе описана математическая модель распространения волн на мелкой воде. Для уравнения, описывающего распространение волн на мелкой воде, ставится задача Коши — Дирихле и задача ШоуолтераСидорова — Дирихле и строится фазовое пространство. Пятый параграф содержит описание программного продукта и реализованного алгоритма численного метода. Программа предназначена для проведения вычислительных экспериментов для математической модели колебаний в молекуле ДНК с условием Дирихле на концах отрезка и условием Шоуолтера — Сидорова или Конги в начальный момент времени. Шестой параграф содержит пример математической модели, исследованной с помощью разработанного алгоритма.

Третья глава состоит из пяти параграфов. Первый параграф содержит достаточные условия локальной разрешимости задачи Ко-ши для одного класса полных полулинейных уравнений соболевского типа второго порядка, которые будут в дальнейшем применены к исследованию математической модели Буссинеска — Лява, и строится фазовое пространство уравнения такого класса. Во втором параграфе рассматривается математическая модель Буссинеска — Лява продольных колебаний в тонком упругом стержне с условиями Дирихле и Коши. В третьем параграфе исследуется математическая модель Буссинеска — Лява с условиями Шоуолтера — Сидорова и Дирихле, при помощи редукции к абстрактной задаче Шоуолтера — Сидорова для уравнения соболевского типа второго порядка. Четвертый параграф содержит описание программы, позволяющей получить приближенное решение задачи Шоуолтера — Сидорова — Дирихле для уравнения Буссинеска — Лява, и алгоритма численного решения. В пятом параграфе приведены результаты вычислительных экспериментов.

Апробация.

Результаты работы апробированы на различных конференциях: Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Самара, 2011), Международной конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (г. Екатеринбург, 2011), Зимней воронежской математической школе (г. Воронеж, 2012), Четвертой конференции аспирантов и докторантов ЮУрГУ (г. Челябинск, 2012), Международной конференции, посвященной 80-летию со дня рождения академика М. М. Лаврентьева «Обратные и некорректные задачи математической физики» (г. Новосибирск, 2012), Международной научно-практической конференции «Измерения: состояние, перспективы, развитие» (г. Челябинск, 2012). Результаты неоднократно докладывались на областном семинаре, посвященном уравнениям соболевского типа профессора Г. А. Свиридюка, на семинарах кафедр прикладной математики и вычислительной техники МаГУ профессора С. И. Кадченко и математического моделирования Стер-литамакского филиала БашГУ профессора С. А. Мустафиной.

Благодарности.

Считаю своим приятным долгом выразить благодарность научному руководителю, Алене Алексадровне Замышляевой, за интересную постановку задачи и неоценимую помощь в подготовке работыГеоргию Анатольевичу Свиридюку и Валерию Зиновьевичу Фураеву за стимулирующие беседы и предоставленные возможностиколлективам кафедр уравнений математической физики и математического моделирования за конструктивную критику и ценные советысвой семье за веру и поддержку.

Заключение

.

В работе исследованы следующие математические модели: колебаний в молекуле ДНК, распространения волн на мелководье, Бус-синеска — Лява.

По результатам исследования описаны фазовые пространства уравнений на основе которых строятся перечисленные математические модели. Разработаны и реализованы алгоритмы методов численного решения задачи Шоуолтера — Сидорова — Дирихле для системы уравнений Буссинеска и уравнения Буссинеска — Лява, с помощью которых проведены вычислительные эксперименты в математических моделях колебаний в молекуле ДНК и Буссинеска — Лява. Исследование существования решения данных математических моделей было проведено с помощью редукции к задаче Коши или задаче Шоуолтера — Сидорова для полулинейного уравнения соболевского типа второго порядка.

В диссертации доказаны: теорема о локальной разрешимости задачи Коши для неполного уравнения соболевского типа второго порядка при условии (Ь, 0)-ограниченности оператора Мтеорема о разрешимости задачи Коши для полного в случае (Л, 0)-ограниченности пучка операторов Втеорема о существовании единственного локального решения задачи Шоуолтера — Сидорова для полулинейного уравнения соболевского типа второго порядка.

Результаты выносимые на защиту.

1. Разработан новый метод исследования математических моделей, основанных на полулинейных уравнениях соболевского типа второго порядка.

2. Исследована математическая модель распространения волн на мелкой воде и описано фазовое пространство уравнения Бусси-неска.

3. Исследована математическая модель колебаний в молекуле ДНК и описано фазовое пространство системы уравнений Буссинеска.

4. Исследована математическая модель Буссинеска — Лява и описано фазовое пространство полулинейного уравнения Буссинеска.

— Лява.

5. Разработаны и реализованы в виде программ для ЭВМ алгоритмы методов численного решения задачи Шоуолтера — Сидорова.

— Дирихле для системы уравнений Буссинеска и полулинейного уравнения Буссинеска — Лява.

Таким образом, в работе решены все поставленные выше задачи и достигнута цель исследования, что позволяет говорить о соответствии диссертационной работы следующим областям исследования паспорта специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»:

2. Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей.

4. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

5. Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.