Задание 2. Группировка. 
Абсолютные, относительные, средние величины

Задача 1.

Путем опроса получены сведения о среднемесячных денежных доходах на одного члена семьи в пятидесяти семьях города N.

С целью изучения характеристики населения произвести группировку, образовав шесть групп с равными интервалами.

По каждой группе подсчитать:

• 1. Число семей, среднемесячный доход семей — всего по группе и на одного человека. Удельный вес каждой группы по числу семей в общей совокупности. Данные представить в таблице 1.1.
• 2. Построить таблицу 1.2, образовав две группы: с доходом ниже среднего и с доходом выше среднего. Рассчитать, по каждой группе средний доход и удельный вес семей каждой группы в общей совокупности.

Выполнение задачи 1.

С целью изучения характеристики населения производим группировку, образовав шесть групп с равными интервалами Составим вспомогательную таблицу 1.

Определим размах выборки:

R = x_max — x_min.

где x_max = 14,4,

x_min = 2,4,.

тогда, R = 14,4−2,4 =12.

Шаг разбиения:

h=R/l,.

где l = 6 -количество интервалов;

h = 12/6 = 2.

Данные поместим во вспомогательную таблицу 1.

Таблица 1? Среднемесячный денежный доход на одного члена семьи.

По каждой группе подсчитываем:

Средний доход по группе рассчитывается по формуле:

.

где l = 6 число образованных интервалов,.

fi — количество семей в группе;

Удельный вес группы в совокупности рассчитывается по формуле:

Так для первой группы:

для второй группы:

для третьей группы:

для четвертой группы:

для пятой группы:

для шестой группы:

Полученные результаты оформим в таблице 2.

Таблица 2? Интервальный ряд распределения среднего дохода.

2. Построим таблицу 3, образовав две группы: с доходом ниже среднего и с доходом выше среднего.

Рассчитываем по каждой группе средний доход и удельный вес семей каждой группы в общей совокупности.

Вычислим средний доход по всей совокупности:

Таблица 3 — Распределение семей с доходом ниже и выше среднего.

Средний доход по группе рассчитан по формуле:

.

где f_i — количество семей в группе.

Удельный вес группы в совокупности:

• — для 1 группы = %.
• — для 2 группы = %.

Задача 2.

На основе построенного интервального ряда распределения (таблица 2) по доходам населения рассчитать:

• 1. Статистические показатели распределения совокупности:
  • — средний доход на душу населения;
  • — моду, медиану.

Определите типичность средней.

• 2. Показатели вариации:
  • — общую дисперсию;
  • — среднеквадратичное отклонение;
  • — коэффициент вариации.

Выполнение задачи 2.

На основе построенного интервального ряда распределения (таблица 2) по доходам населения рассчитываем:

Рассчитаем статистические показатели распределения совокупности.

Вычислим средний доход по всей совокупности на душу населения:

Рассчитываем моду интервального ряда:

мода интервального ряда где — нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту);

— величина модального интервала;

— частота модального интервала;

— частота интервала, предшествующего модальному;

— частота интервала, следующего за модальным.

тыс. руб.

— наиболее часто встречающийся доход.

Рассчитываем медиану интервального ряда:

Для определения медианы составим таблицу накопленных частот.

.

— медиана интервального ряда где — нижняя граница медианного интервала (медианным называется интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);

? величина медианного интервала;

— накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

? частота медианного интервала.

Почти половина опрошенных имеет доход на одного члена семьи меньше 6,7 тыс. руб,.

Среднее значение равное 6,7 для данной выборки является нетипичным.

Рассчитаем показатели вариации Простейшим показателем, уже использованным выше при группировке данных, является размах вариации. Он представляет собой разность максимального и минимального значений признака: R=x_max-x_min.

Недостатком данного показателя является то, что он оценивает только границы варьирования признака и не отражает его колеблемость внутри этих границ.

Рассчитываем общую дисперсию.

Наиболее удобным и широко распространенным на практике показателем является среднее квадратичное отклонение.

Оно определяется как квадратный корень из дисперсии и имеет ту же размеренность, что и изучаемый признак:

— не взвешенная формула Рассчитываем среднеквадратичное отклонение На основании средней дисперсии вычисляем среднее квадратичное отклонение, что позволяет судить об однородности выборки по исследуемому признаку.

Рассчитываем коэффициент вариации.

— коэффициент вариации.

Коэффициент вариации больше 33%.

Вывод: Если, то выборка считается неоднородней по исследуемому признаку.

Так как коэффициент вариации, то население города N неоднородно по среднему доходу на душу населения.

Задача 3.

На основе таблицы 3.

• 1. Рассчитайте:
  • — групповую дисперсию;
  • — межгрупповую дисперсию;
  • — коэффициент детерминации.
• 2. Проверьте взаимосвязь дисперсий, сделайте выводы.

Выполнение задачи 3.

Рассчитываем групповую дисперсию На основе таблицы 3 задаче рассматриваем 2 группы:

• 1-ая группа — с доходом ниже среднего (I)
• 2-ая группа — с доходом выше среднего (II)

Групповая дисперсия — будет рассчитываться для каждой группы отдельно по формуле:

.

где — среднее значение в i-ой группе;

— количество семей в i-ой группе;

— среднее значение для 1-ой группы = 4,3 тыс. руб;

— среднее значение для 2-ой группы = 9,6 тыс. руб;

количество семей в 1-ой группе = 27;

количество семей в 1-ой группе = 23.

(для первой группы).

(для второй группы).

I. 1-ая группа ; с доходом ниже среднего.	II. 2-ая группа ; с доходом выше среднего.
№ п/п.	№ п/п.
	2,4.	2,4−4,3.	3,61.		6,7.	6,7−9,6.	8,41.
	2,7.	2,7−4,3.	2,56.		6,8.	6,8−9,6.	7,84.
	3,2.	3,2−4,3.	1,21.		6,9.	6,9−9,6.	7,29.
	3,2.	3,2−4,3.	1,21.		6,9.	6,9−9,6.	7,29.
	3,3.	3,3−4,3.			7,1.	7,1−9,6.	6,25.
	3,4.	3,4−4,3.	0,81.		7,9.	7,9−9,6.	2,89.
	3,5.	3,5−4,3.	0,64.		8,1.	8,1−9,6.	2,25.
	3,5.	3,5−4,3.	0,64.		8,3.	8,3−9,6.	1,69.
	3,6.	3,6−4,3.	0,49.			9−9,6.	0,36.
	3,7.	3,7−4,3.	0,36.		9,1.	9,1−9,6.	0,25.
	3,8.	3,8−4,3.	0,25.		9,4.	9,4−9,6.	0,04.
	3,8.	3,8−4,3.	0,25.		9,5.	9,5−9,6.	0,01.
	4,2.	4,2−4,3.	0,01.		9,5.	9,5−9,6.	0,01.
	4,3.	4,3−4,3.			9,8.	9,8−9,6.	0,04.
	4,3.	4,3−4,3.			10,1.	10,1−9,6.	0,25.
	4,3.	4,3−4,3.			10,2.	10,2−9,6.	0,36.
	4,3.	4,3−4,3.			10,2.	10,2−9,6.	0,36.
	4,4.	4,4−4,3.	0,01.		10,7.	10,7−9,6.	1,21.
	4,8.	4,8−4,3.	0,25.		10,9.	10,9−9,6.	1,69.
	5,1.	5,1−4,3.	0,64.		12,3.	12,3−9,6.	7,29.
	5,4.	5,4−4,3.	1,21.		12,5.	12,5−9,6.	8,41.
	5,4.	5,4−4,3.	1,21.		14,2.	14,2−9,6.	21,16.
	5,5.	5,5−4,3.	1,44.		14,4.	14,4−9,6.	23,04.
	5,7.	5,7−4,3.	1,96.
	5,9.	5,9−4,3.	2,56.
		6−4,3.	2,89.
	6,1.	6,1−4,3.	3,24.

На основании вычисленных групповых дисперсий рассчитываем среднюю групповую дисперсию.

Средняя групповая дисперсия рассчитывается по формуле:

Рассчитываем межгрупповую дисперсию Межгрупповую дисперсию рассчитываем по формуле:

Согласно основному свойству дисперсии — полная дисперсия должна представлять собой сумму средней из групповых дисперсий и межгрупповой.

— правило сложения дисперсии Межгрупповая дисперсия отражает ту часть вариации результативного признака, которая обусловлена воздействием факторного признака. Это воздействие проявляется в отклонении групповых средних от общей средней.

Средняя из внутри групповых отражает ту часть вариации признака, которая обусловлена действием всех прочих неучтенных факторов, кроме факта, по которому осуществляется группировка.

Рассчитываем коэффициент детерминации Теснота связи между факторным и результативным признаком оценивается на основе коэффициента детерминации.

Коэффициент детерминации рассчитывается по формуле (отношение межгрупповой дисперсии к общей):

Наряду с коэффициентом детерминации вычисляем эмпирическое корреляционное отношение по формуле:

Чем ближе эмпирическое корреляционное отношение к единице, тем существеннее различие между группами.