Моделирование в условиях противодействия, модели торгов

К этому классу относятся задачи анализа систем с противодействием (конкуренцией), также игровых по сути, но с одной особенностью — «правила игры» не постоянны в одном единственном пункте — цены за то, что продается.

При небольшом числе участников торгов вполне пригодны описанные выше приемы теории игр, но когда число участников велико и, что еще хуже, заранее неизвестно, — приходится использовать несколько иные методы моделирования ситуаций в торгах.

Наиболее часто встречаются…

В отличие от первой задачи свободные суммы различны и составляют SA и SB, причем каждая из них меньше (C1 + C2) и, кроме того, отношение нашей суммы к сумме конкурента более 0.5, но менее 2.

Пусть мы знаем «толщину кошелька» конкурента и, поскольку ищем оптимальную стратегию для себя, нам безразлично — знает ли он то же о наших финансовых возможностях.

Задача наша заключается в том, что мы должны знать — когда надо прекратить подымать цену за первый объект. Эту задачу не решить, если мы не определим цель своего участия в аукционе (системный подход, напомним, требует этого).

Здесь возможны варианты:

мы хотим иметь максимальный доход;

мы стремимся минимизировать доход конкурента;

мы желаем максимизировать разницу в доходах — свой побольше, а конкурента поменьше.

Наиболее интересен третий вариант ситуации — найти нашу стратегию, обеспечивающую.

DA — DB = Max. {3−19}.

Поскольку объектов всего два, то все решается в процессе торгов за первый объект. Будем рассматривать свой ход в ответ на очередное предложение цены X за этот объект со стороны конкурента.

Мы можем использовать две стратегии поступить двумя способами:

стремиться уступить первый объект конкуренту — за наибольшую цену, надеясь купить второй;

стремиться купить первый объект — за минимальную цену, уступив конкуренту второй.

Пусть конкурент назначил за первый объект очередную сумму X. Если мы не добавим небольшую сумму (минимальную надбавку), то первый объект достанется конкуренту. При этом у конкурента в запасе останется сумма SB — X. Доход конкурента составит при этом (без учета) DB = С1 — X.

Мы наверняка купим второй объект, если у нас в кармане.

SA = (SB — X) +, то есть немного больше, чем осталось у конкурента.

Значит, мы будем иметь доход DA = C2 — (SB — X) и разность доходов в этом случае составит.

DA — DB = C2 — C1 — SB + 2X. {3−20}.

Ясно, что эта разность будет положительна только тогда, когда мы уступим первый объект за цену.

X >, {3−21}.

но никак не меньше.

Будем повышать цену за первый объект до суммы X+ с целью купить его.

Наш доход составит при этом.

DA = C1 — (X +).

Второй объект достанется конкуренту за сумму.

SA — (X +) + ,.

так как ему придется поднять цену за этот объект до уровня, чуть большего остатка денег у нас.

Доход конкурента составит.

DB = C2 — (SA — (X +) +),.

а разность доходов составит (без учета).

DA — DB = (C1 — X) — (C2 — SA + X) = С1 — С2 + SA — 2X. {3−22}.

Эта разность будет положительна при условии.

X <, {3−23}.

Мы нашли две «контрольные» суммы для того, чтобы знать — когда надо пользоваться одной из двух доступных нам стратегий — выражения {3−21} и {3−23}. Среднее этих величин составит.

K = + {3−24}.

и определяет разумную границу для смены стратегий нашего участия в аукционе с целью одновременно получить доход себе побольше, а конкуренту — поменьше.

Интересно сосчитать свой доход и разность доходов на этой границе.

Если мы уступили первый объект на этой границе, то по {3−20}.

DA — DB = C2 — C1 — SB + 2K = 0.5(SA — SB).

Если же мы купили первый объект на этой границе, то по {3−22}.

DA — DB = С1 — С2 + SA — 2K = 0.5(SA — SB).

Для удобства сопровождения числовыми данными зададимся свободными суммами и ценами объектов (по нашему представлению об этих объектах): SA= 100 < 175; SB = 110 < 175; C1 = 75; C2 = 100;

0.5 < (SA/ SB < 2 и примем разрешенную надбавку к цене равной 1.

В этом конкретном случае граница «сражения» за первый объект проходит через сумму.

K = + = -12.5 + 52.5 = 40 $.

Если наш конкурент считает, что объекты для него стоят столько же (он знает нашу свободную сумму, а мы знаем его свободную сумму, но другой информации мы и он не обладаем), то он вычислит эту же границу и мы будем довольствоваться разностью доходов не в свою пользу:

DA — DB = С1 — С2 + SA — 2K = 0.5(SA — SB) = -5.

Что делать — у конкурента больший стартовый капитал.

Но, возможно, наш конкурент (играя за себя) будет считать стоимости объектов совсем иными и для него граница будет совсем другой. Или же — цель конкурента в данном аукционе совершенно не такая как наша, что также обусловит другую граничную сумму участия в торгах за первый объект. Иными словами — оптимальная стратегия для конкурента нам совершенно неизвестна.

Тогда все зависит от того, на какой сумме он «отдаст» нам первый объект или, наоборот, до какой границы он будет «сражаться» за него. Следующая таблица иллюстрирует этот вывод.

Таблица 3.9

Заканчивая вопрос об открытых торгах — аукционах, отметим, что в реальных условиях задача моделирования и выбора оптимальной стратегии поведения оказывается весьма сложной.

Дело не только в том, число объектов может быть намного больше двух, а что касается числа участников, то оно также может быть большим и даже не всегда известным заранее. Это приведет к чисто количественным трудностям при моделировании «вручную», но не играет особой роли при использовании компьютерных программ моделирования.

Дело в другом — большей частью ситуация усложняется неопределенностью, стохастичностью поведения наших конкурентов. Что ж, прийдется иметь дело не с самими величинами (заказываемыми ценами, доходами и т. д.), а с их математическими ожиданиями, вычисленными по вероятностным моделям, или со средними значениями, найденными по итогам наблюдений илистатистических экспериментов.