Нелинейные модели. 
Нелинейные модели

Необходимость в нелинейных моделях

Расчет систем управления по нелинейным моделям значительно сложнее, чем по линейным. Это объясняется большим разнообразием движений, описываемых нелинейными уравнениями. Переход от линейных моделей к нелинейным, т. е. их усложнение — мера вынужденная; необходимость расширения и углубления знаний о поведении систем управления должна быть обоснована. Термину «нелинейный» обычно придают расширенный смысл: «не обязательно линейный».

Напомним, что решение обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными детерминированными коэффициентами.

(В.1).

представляется в виде суммы.

где x_в(t) — частное решение неоднородного уравнения (В.1), описывающее вынужденное движение;

(В.2).

— общее решение соответствующего однородного уравнения, описывающее свободное движение при начальных условиях:

х (0), х'(0),…, х^(n-1)(0). Выражение (В.2) записано для случая простых корней p₁,…, р_n характеристического полинома.

(В.3).

Относительная простота анализа линейных моделей объясняется возможностью раздельного анализа вынужденных и свободных движений, а также тем, что известна форма решения (В.2). Построение решения сводится к алгебраическим задачам вычисления корней характеристического полинома и решения системы линейных уравнений относительно коэффициентов С_i.

Вместе с тем, разнообразие движений, описываемых линейными уравнениями, может оказаться недостаточным. Повышая порядок n уравнений и подбирая коэффициенты, не всегда удается объяснять реальные процессы на больших интервалах времени и в широких диапазонах амплитуд переменных. Рассмотрим некоторые из таких примеров.

Неединственность положения равновесия. Линейная система имеет единственное положение равновесия. Например, выходная переменная системы, описываемой уравнением (В.1), при постоянном воздействии f принимает единственное значение, равное.

Если система находится не на границе устойчивости, то при ненулевых начальных условиях движения асимптотически затухают к положению равновесия (система устойчива в целом) или расходятся (система не устойчива).

Реальные динамические системы могут иметь несколько положений равновесия. Одним из примеров является маятник. Положения равновесия маятника образуют счетное множество, причем, четные k отвечают верхним, а нечетные — нижним положениям равновесия.

В качестве другого примера представим себе следящую систему управления, датчик рассогласования и электродвигатель привода которой имеют зоны нечувствительности. Если рассогласование мало, тo напряжение на входе двигателя по модулю меньше напряжения трогания и двигатель не вращается. Положения равновесия системы относительно переменной входа двигателя образуют отрезок, иначе множество мощности континуума.

Конечная длительность процессов. Если линейная система устойчива, т. е. Корни p_i характеристического полинома (В.3) имеют отрицательные действительные части, то соответствующие экспоненты в решении (В.2) затухают в бесконечности. Реально же длительность процессов управления конечна (пунктирная линия на рис. В.1), чему способствуют зоны нечувствительности элементов, сухое трение и люфты (зазоры) кинематических сочленений.

Ограниченность уровней переменных. Если линейная система неустойчива, то значения переменных неограниченно растут. Реально уровни переменных всегда ограничены энергетическими, материальными, прочностными ресурсами. На рис. В.2 сплошными линиями показаны экспоненциально расходящиеся процессы в линейных системах первого (рис. В.1, а) и второго (рис. В.1, б) порядков. Пунктирные линии соответствуют реальным процессам.

Автоколебания — периодические движения за счет внутренних свойств системы при отсутствии внешних колебательных воздействий. В линейных системах периодические движения гармонической формы соответствуют колебательной границе устойчивости. Амплитуды этих колебаний зависят от начальных условий. При самом незначительном изменении параметров системы колебания превращаются в затухающие или расходящиеся. Автоколебания имеют относительно стабильные амплитуду и частоту, которые восстанавливаются после снятия возмущений. На рис. В.2,б пунктирная линия соответствует автоколебаниям в системе с не устойчивым положением равновесия.

Зависимость характера движений от начальных условий и уровней воздействий. В реальных системах не выполняется принцип суперпозиции — при сложении воздействий реакция не равна сумме реакций на отдельные воздействия. На рис. В.3 показаны графики процессов в одной и той же динамической системе (физический маятник) в зависимости от начальных условий. Примеры явлений, не объясняемых теорией линейных систем, можно продолжить [ 1, 15, 46, 52, 58, 72, 75, 78].

Нелинейные математические модели, используемые для анализа систем управления, появляются вследствие учета естественных (сопутствующих) эффектов, присущих объекту или элементам системы управления и обусловленных нелинейным характером законов природы, которым подчиняются исследуемые явления. Нелинейности могут вводиться и специально с целью компенсации нежелательных эффектов от естественных нелинейностей или для придания системе управления особых свойств, которые принципиально недостижимы линейными средствами. Так, именно нелинейные алгоритмы управления могут обеспечить максимальное быстродействие процессов при наличии естественных ограничений на уровни управляющих воздействий; нелинейности обязательно вводятся при создании генераторов колебаний и т. д. В ряде систем управления техническими объектами нелинейные, в частности, релейные регулирующие устройства оказываются наиболее простыми, дешевыми и надежными.