Историческая справка. 
Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов

Теория рядов создавалась в тесной связи с теорией приближенного представления функций в виде многочленов. Впервые это сделал И. Ньютон в 1676 г.

Во второй половине 1660-х годов молодой кембриджский математик Исаак Ньютон разработал общий метод в области, которая известна нам ныне как математический анализ. Совершенно очевидно, что Ньютон не представлял себе всей важности своего исследования и пользовался неуклюжей и неустоявшейся терминологией. В 1669 году Ньютон написал трактат, посвященный этому предмету, а вскоре стал работать над пространным трактатом о «методе флюксий», который так и не был закончен ученым.

В его письме к секретарю Лондонского Королевского Общества появилась формула, которую мы знаем как формулу бинома Ньютона. В ней мы видим функцию, представленную в виде многочлена. Но если число не является натуральным, в правой части равенства получается не полином, а бесконечная сумма слагаемых, то есть ряд.

Развивая идею Ньютона, английский математик Брук Тейлор (1685 — 1731) в 1715 г. доказал, что любой функции, имеющей в точке производные всех порядков, можно сопоставить ряд:

.

Мы не можем пока поставить знак равенства между функцией, принимающей конечное значение для любого значения, и стоящим справа функциональным рядом.

Для того, чтобы вместо знака «» можно было поставить знак равенства, необходимо провести некоторые дополнительные рассуждения, связанные именно с бесконечностью числа слагаемых в правой части равенства и касающиеся области сходимости ряда.

При формула Тейлора принимает вид, в котором называется формулой Маклорена:

В работе «Трактат о флюксиях» (1742) Колин Маклорен установил, что степенной ряд, выражающий аналитическую функцию, — единственный, и это будет ряд Тейлора, порожденный такой функцией. Брук Тейлор, имея степень доктора прав, независимо от этого изучал математику, и уже в 1708 году появилась его статья о центре качаний. Ему принадлежит сочинение «New princip leoflinear perspective» (1715) и большой трактат «Method usincrementor umdirectaetin versa» (1715—1717), в котором, кроме вывода его знаменитой формулы, находится теория колебания струн, в которой он приходит к тем же самым результатам, к которым его коллеги пришли значительно позже.

Итак, ряды возникли в XVIII в. как способ представления функций, допускающих бесконечное дифференцирование. Однако функция, представляемая рядом, не называлась его суммой, и вообще в то время не было еще определено, что такое сумма числового или функционального ряда, были только попытки ввести это понятие.

Например, Л. Эйлер, выписав для функции соответствующий ей степенной ряд, придавал переменной конкретное значение. Получался числовой ряд. Суммой этого ряда Эйлер cчитал значение исходной функции в точке. Но это не всегда верно.

О том, что расходящийся ряд не имеет суммы, ученые стали догадываться только в XIX в., хотя в XVIII в. многие, и прежде всего Л. Эйлер, много работали над понятиями сходимости и расходимости. Эйлер называл ряд.

сходящимся, если его общий член стремится к нулю при возрастании .

В теории расходящихся рядов Эйлер получил немало существенных результатов, однако результаты эти долго не находили применения. Результаты Эйлера нашли обоснование лишь в конце XIX в.

В формировании понятия суммы сходящегося ряда большую роль сыграл французский ученый О. Л. Коши, который разработал фундамент математического анализа, внёс огромный вклад в анализ, алгебру, математическую физику и многие другие области математики; один из основоположников механики сплошных сред.

Он сделал чрезвычайно много не только в теории рядов, но и теории пределов, в разработке самого понятия предела. В 1826 г. Коши заявил, что расходящийся ряд не имеет суммы.

В 1768 г. французский математик и философ Ж.Л. Д’Аламбер исследовал отношение последующего члена к предыдущему в биномиальном ряде и показал, что если это отношение по модулю меньше единицы, то ряд сходится. В теории рядов его имя носит широко употребительный достаточный признак сходимости. Основные математические исследования Д’Аламбера относятся к теории дифференциальных уравнений, где он дал метод решения дифференциального уравнения 2-го порядка в частных производных, описывающего поперечные колебания струны (волнового уравнения). Д’Аламбер представил решение как сумму двух произвольных функций, и по т. Н. граничным условиям сумел выразить одну из них через другую.

Коши в 1821 г. Доказал теорему, излагающую в общем виде признак сходимости знакоположительных рядов, называемых теперь признаком Д’Аламбера.

Для исследования сходимости знакочередующихся рядов используется признак Лейбница.

• 1675 г.: Лейбниц создал дифференциальное и интегральное исчисления, опередив Ньютона.
• 1684 г.: Лейбниц опубликовал первую в мире крупную работу по дифференциальному исчислению: «Новый метод максимумов и минимумов».
• 1686 г.: Лейбниц дал подразделение вещественных чисел на алгебраические и трансцендентные. Впервые в печати ввёл символ для интеграла (и указал, что эта операция обратна дифференцированию).
• 1693 г.: Лейбниц рассматривал вопрос о разрешимости линейных систем; его результат фактически ввёл понятие определителя.
• 1695 г.: Лейбниц ввёл показательную функцию в самом общем виде: .
• 1702 г.: Лейбниц открыл приём разложения рациональных дробей на сумму простейших. Это решило многие вопросы интегрирования рациональных дробей.