Двойное векторное произведение

Оглавление

Введение

Глава 1. Векторы и основные линейные операции над ними

1.1 Векторные величины

1.2 Единичный вектор Глава 2. Векторное произведение и его свойства

2.1 Определение векторного произведения Глава 3. Двойное векторное произведение Заключения Список используемой литературы

При изучении двойного векторного произведения необходимо знание вектора и основные линейные операции над ними.

Вектором называется всякая величина, обладающая направлением. Скалярной величиной, или скалярном, называется величинами, не обладающая направлением. Над векторми производяться действия, называемые сложением, вычитанием и умножением векторов. Эти действия имеют много общих свойств с алгебраическими действиями сложения, вычитания и умножения. Поэтому учение о действиях над векторами называется векторной алгеброй.

Двойным векторным произведением называеться выражение вида:

Двойное векторное произведение есть вектор, комплонарный с векторами b и c; оно выражаеться через векторы b и c следующим образом:

Глава 1. Векторы и основные линейные операции над ними

1.1 Векторные величины

В отличие от скалярной величины, которую можно задать одним числом и отложить на некоторой шкале (отсюда и название — «скалярная») — площадь, объём, температура — векторную величину, или просто вектор, можно задать с помощью числа и некоторого направления (скорость, сила).

Итак, мы можем сказать, что вектор — это величина, которая характеризуется числом, совпадающим с длиной отрезка, и направлением, совпадающим с направлением луча (рис. 1).

При этом длину вектора обозначают, или ещё. Длину вектора также называют модулем этого вектора. Векторы и называют равными, если совпадают их длины и направления.

Векторы и называют противоположными, если их длины равны, а направления противоположны. Заметим, что при этом начало вектора можно поместить в любой точке пространстве. Такие векторы называют свободными.

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым (). Направление нулевого вектора не определено.

Умножение вектора на скаляр Определение 1. Произведением вектора на число называется такой вектор, что, а направление его совпадает с направлением вектора, если >0, и ему противоположно, если <0; если или, то .

Ясно, что векторы и (если) можно поместить на одной прямой (рис.2). Вектор, очевидно, является противоположным вектору .

Определение 2. Два ненулевых вектора и, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

1.2 Единичный вектор

Определение 3. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором, или ортом. Если задан некоторый вектор (), то всегда можно подобрать множитель, такой, чтобы после умножения на него длина вектора была бы равна единице. Очевидно, что в качестве такого числа нужно взять. Тогда, и при этом называется единичным вектором, соответствующим вектору, или ортом вектора. Очевидно, что направление единичного вектора всегда совпадает с направлением вектора. Ясно также, что .

Точно так же единичный вектор, направление которого совпадает с направлением оси, называется ортом оси, или её единичным вектором.

Сложение векторов Определение 4. Суммой векторов и, расположенных так, что начало вектора совпадает с концом вектора, называется вектор, начало которого совпадает с началом вектора, а конец — с концом вектора. (правило треугольника — рис. 2 а).

При этом пишут:. Аналогично определяется сумма n векторов

.

А именно: суммой называют вектор, проведённый из начала первого в конец последнего вектора, при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора, начало вектора совпадает с концом вектора и т. д. (правило многоугольника — рис. 3. б).

Замечание. Если на векторах и построить параллелограмм, поместив их начало в общую точку, то сумма будет лежать на диагонали параллелограмма, выходящего из общего начала векторов и (правило параллелограмма — рис. 2, в).

1) — поглощение нулевого вектора

2) — перестановочное, или коммутативное

3) — сочетательное, или ассоциативное.

Для всякого ненулевого вектора существует противоположный вектор -, такой, что .

Вычитание векторов Определение 5. Вектор называется разностью векторов и, т. е., если. Отсюда следует, что т. е. вычитание векторов сведено к сложению (рис. 4). Нетрудно заметить, что разность век-торов лежит на второй диагонали параллелограмма, построенного на векторах и, проведённой из конца вектора — в конец вектора .

Глава 2. Векторное произведение и его свойства

2.1 Определение векторного произведения

Определение. Векторным произведением ненулевых векторов и называется такой вектор, который удовлетворяет трём условиям:

1., т. е. длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

2. Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и .

3. Тройка, , — правая (рис.5)

Если хотя бы один из векторов и нулевой, то по определению. Заметим, что иногда векторное произведение двух векторов и обозначается символом .

Свойства векторного произведения

1. .

Это очевидно, так как при перестановке векторов изменится ориентация тройки.

2. Свойство сочетательности относительно скалярного множителя:

.

(без доказательства)

3. Распределительное свойство относительно сложения векторов :

.

.

Следствие. .

То есть скобки можно раскрывать, как при обыкновенном умножении, не переставляя местами множители (без доказательства).

2. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух ненулевых векторов Теорема. Для того, чтобы два ненулевых вектора и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было бы равно нулю.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы и коллинеарны, тогда они лежат на одной прямой, следовательно, =>. Значит,

Достаточность. Пусть векторное произведение. Так как, , то значит, т. е. или, а это означает, что векторы и b коллинеарны.

Замечание. Заметим, что если два вектора и коллинеарны, то существует такое число, при котором, т. е.

=> .

Итак, мы доказали, что если два вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны.

3. Векторное произведение векторов, заданных своими координатами Заметим, что. Далее очевидно, что

, ,, , .

Применяя свойство 3, перемножим векторно векторы

и

.

4. Механический смысл векторного произведения Если сила поворачивает тело вокруг оси, то момент силы, как известно, равен (рис.5).

Пример 1.

Найти площадь треугольника с вершинами в точках

A (-1,1,2), B (2,3,3) и C (1,2,-1);

2. Найти единичный вектор, перпендикулярный к плоскости, в которой лежат точки A, B и C.

Решение.

1. ,

=

=

.

Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и, следовательно .

2. В силу определения векторного произведения вектора, два вектора удовлетворяют поставленной задаче (рис. 7).

Глава 3. Двойное векторное произведение

Определение. Двойным векторным произведением трёх ненулевых векторов, и называется; если хотя бы один из векторов, или равен нулю, то .

Итак, мы видим, что двойное векторное произведение представляет собою векторную величину. Заметим, что объекты типа часто встречаются в физике и механике. Выведем простую форму для вычисление двойного векторного произведения.

Итак, допустим, что нам известны координаты векторов, т. е.

вектор скаляр произведение тождество

, .

Вычислим .

Обозначим, .

Очевидно, что нас интересует вектор. Известно, что вектор выражается через координаты векторов и так:

, .

В свою очередь, аналогично

.

Подставим в правую часть этого равенства полученные выражения для, и и, кроме того, выполним искусственное преобразование, добавив и отняв к правой части выражения, ,. Получим:

Итак, получили: .

Отметим, что справа в скобках стоят числа, равные скалярным произведениям и; они являются коэффициентами линейной комбинации векторов и, через которые выражается двойное векторное произведение. Нетрудно заметить, что двойное векторное произведение представляет собою вектор, который лежит в той же плоскости, что и вектора и, т. е. векторы, и компланарны.

Остановимся теперь на вычислении выражения, которое, вообще говоря, также является двойным векторным произведением. Действительно:

т.е. представляет собою вектор, лежащий в одной плоскости с векторами и. Очевидно также, что .

Другие свойства двойного векторного произведения нетрудно проанализировать, принимая во внимание свойства скалярного и векторного произведения.

Доказать тождество Лагранжа

.

Решение

;

;

3. Доказать формулу Решение Следовательно:

.

Что и требовалось доказать.

Пример 1. Доказать тождество Якоби:

.

Имеем

.

Суммируя эти равенства, получим тождество Якоби.

Пример 2. Показать, что точки, А (1,2,1), В (3,3,3), С (4,1,2) и D (5,4,5) лежат в одной плоскости.

Решение. Найдем координаты векторов, и .

(2,1,2), (3,-1,1), (4,2,4).

Если точки А, В, С и D лежат в одной плоскости, то и векторы лежат в одной плоскости (рис. 2.8.1), а тогда смешанное произведение этих векторов равно нулю.

Действительно,

(, ,) = = 0,

т.к. первая и вторая строки определителя пропорциональны.

Пример 2. Доказать, что векторы, и линейно зависимы и найти эту линейную зависимость.

Решение.

(,)==0,

следовательно, векторы, и компланарны, а значит, они линейно зависимы, т. е. существуют константы, и такие, что ++=0, т. е. (+ +)+(3+ 4 +) + (+2−3)=, откуда следует: (+ 3 +)+ (+ 4 + 2) + (2+ -3)=, т.к., , — базисные векторы, то имеем такую систему для нахождения, и :

Здесь выступает в качестве параметра, и данная система имеет бесчисленное множество решений. Подставим, в указанную выше линейную комбинацию:. Сократим на. Получим искомую линейную зависимость .

Заключение

Двойное векторное произведение играют существенную роль и в других науках, таких, как физика, электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений.

1. Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии.- М.: Наука, 1968;912 с.

2. Беклемишев Д. В., Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука, 1971 — 328 с.

3. Гусак А. А., Гусак Г. М., Бричникова Е. А. Справочник по высшей математике. — М.: ТетраСистемс, 1999; 640 с.

4. Мусхелишвили Н. И., Курс аналитической геометрии. — М.: Высшая школа, 1967; 655 с.