Диссертация посвящена решению начально-краевых задач для нелинейных систем интегро-дифференциальных уравнений с частными производными, описывающих пространственное нестационарное истечение идеального газа в вакуум. При этом предполагается, что кроме поверхностных сил давления, под действием которых происходит движение газа, заданы силы взаимного гравитационного притяжения по закону Ньютона между частицами.
Решение начально-краевых задач для нелинейных уравнений с частными производными является актуальной проблемой общей теории дифференциальных уравнений. Результаты теоретических исследований находят важное применение при решении задач математической физики, в частности, газовой динамики. Среди краевых задач можно выделить краевые задачи со свободными границами, на которых известны значения некоторых искомых функций, но заранее неизвестны положения самих границ. Исследование задач неустановившегося движения газа со свободными границами, важными с точки зрения приложений, представляет собой значительные математические трудности. К таким задачам газовой динамики относится задача по изучению движений, возникающих при истечении газа в вакуум, которая состоит из двух частей: задача о распаде соответствующего разрыва и задача о непрерывном примыкании газа к вакууму.
Сформулируем задачу о распаде разрыва. Пусть в момент I = О замкнутая поверхность Г, граница области О0, отделяет идеальный политропный гравитирующий по закону Ньютона газ от вакуума. При этом в момент / = О известны распределения параметров газа в П0: и = скорости газар = р0(^) — плотности, — энтропии, Зг = {х, у, г}.
Функции й0, р0, л0, а также функция /0(1,/) = 0, задающая поверхность Г, предполагаются аналитическими в окрестности точки х0, а плотность газа всюду в П0 больше нуля, в том числе р0(*)|г > 0. В момент? = 0 поверхность
Г мгновенно разрушается и начинается разлет части гравитирующего идеального газа в вакуум. Возмущения, возникшие в фоновом течении в результате мгновенного убирания поверхности Г, распространяются по газу в виде волны разрежения, отделенной от фонового течения границей Г, являющейся поверхностью слабого разрыва. С другой стороны, волна разрежения примыкает к вакууму: р|г =0, где Г0 — свободная поверхность, отделяющая волну разрежения от вакуума. Требуется построить как фоновое течение, так и волну разрежения, а также найти законы движения Ги Г0. Для построения фонового течения необходимо решить задачу Коши с начальными данными й0, р0, s (). Это решение позволяет найти закон распространения Г^ и распределение газодинамических параметров на ней. Определив значения искомых функций на Г1 можно решить характеристическую задачу Коши, построив тем самым течение в области между Г1 и Г0, и найти закон распространения Г0. В дальнейшем эту задачу будем называть задачей о распаде специального разрыва.
Задача о непрерывном примыкании газа к вакууму формулируется следующим образом. Пусть в момент времени / - /0 (в частности? = 0) известная замкнутая поверхность Г0 является границей, отделяющей область ?10, заполненную идеальным политропным гравитирующим газом, от вакуума. В начальный момент времени t = t0 (Г=0) известны распределения параметров газа в области П0: и = р = -р0(х), я = ^Зс), I = е П0.
Функции й0, р0, л0 и уравнение поверхности Г0 являются аналитическими функциями, причем р|г = 0. Требуется построить течение газа при / > /0 >0) и найти закон движения свободной поверхности. При построении этого течения можно решать задачу Коши с начальными данными, заданными при г = /0, а можно решать характеристическую задачу Коши с данными на поверхности /(.*,/) = 0, где / = 0 — есть уравнение, задающее закон движения свободной поверхности. Оба этих подхода реализованы в диссертации.
Задачи, близкие к поставленным, но без учета гравитации, рассматривались ранее. При помощи характеристических рядов в работе А. Ф. Сидорова [1] были построены двумерные и трехмерные течения идеального газа, примыкающие через слабый разрыв к области покоящегося газа. В работе В. М. Тешукова [2] рассмотрен распад произвольного разрыва на криволинейной поверхности, когда по обе стороны от поверхности разрыва плотность газа больше нуля. На основе анализа первых членов некоторых асимптотических разложений в работе Я. М. Каждана сделан вывод о том, что свободная поверхность Г0 некоторое время движется с постоянной скоростью. В работе С. П. Баутина [4] изучено течение, возникшее в результате схлопывания одномерной полостипри 1 < у < 3 решение построено в виде сходящихся характеристических рядов в области от Г1 до Г0 включительно и доказано, что поверхность Г0 движется некоторое время с постоянной скоростью. Этот результат обобщен на случай двумерных и трехмерных течений в работах С. П. Баутина и С. Л. Дерябина [5], С. Л. Дерябин [6] исследовал задачу о трехмерных течениях в условиях действия внешних массовых сил.
Изучение закономерностей движения газа с учетом гравитационных сил возможно в трех случаях: движение в постоянном поле тяжести, во внешнем переменном поле тяжести и во внутреннем (собственном) поле тяжести. Большой астрофизический интерес представляет исследование движения газа во внутреннем (собственном) поле тяжести или в условиях самогравитации. В этом случае гравитационный потенциал Ф связан с распределением плотности р уравнением Пуассона
АФ = -4кСтр, здесь О — гравитационная постоянная, А — оператор Лапласа, сила тяготения Р определяется равенством Р = grad Ф.
Исследованиями движений сплошной среды с учетом сил самогравитации занимались Дирихле, Дедекинд и Риман. Они изучали фигуры равновесия вращающейся идеальной несжимаемой жидкости. Затем данная теория получила развитие в работах выдающихся ученых А. Пуанкаре, Дж. Дарвина, Дж. Джинса, А. М. Ляпунова, Л. Лихтенштейна и др.
Движение гравитирующего газового шара рассматривалось как модель звезд в работах и монографиях Л. И. Седова [7], К. П. Станюковича [8]. Движения газа в поле тяжести изучались в работе А. Ф. Сидорова [9], в которой построены точные решения установившегося плоскопараллельного изэнтропического течения газа с политропным уравнением состояния.
В работе О. И. Богоявленского [10] рассмотрена динамика адиабатических движений гравитирующего идеального газа, при которых скорости являются линейными функциями координат и газ с постоянной плотностью заполняет некоторый эллипсоид.
В диссертации содержится исследование задачи о сферически-симметричном истечении самогравитирующего идеального газа в вакуум, решается задача о распаде разрыва и строятся точные решения начально-краевых задач нелинейной интегро-дифференциальной системы с частными производными в виде сходящихся рядов. Условие сферической симметрии позволило свести интегро-дифференциальную систему к нелинейной системе дифференциальных уравнений с частными производными типа Коши
Ковалевской. В работе исследуются одномерные и многомерные задачи о гладком примыкании самогравитирующего газа к вакууму, при этом используются основные уравнения газовой динамики как в форме Эйлера, так и в форме Лагранжа.
Целью диссертационной работы является следующее:
1. Решение задачи о распаде разрыва для сферически-симметричных течений самогравитирующего идеального политропного газа.
2. Решение задачи о гладком примыкании гравитирующего газа к вакууму для сферически симметричных течений и исследование транспортных уравнений для определения границ применимости данного решения.
3. Построение решения задачи о гладком примыкании гравитирующего газа к вакууму в общем трехмерном случае.
4. Исследование эволюции гравитирующего газового шара, который в начальный момент времени вращается как твердое тело с постоянной угловой скоростью.
Основными методами исследования, используемыми в диссертации являются аналитические методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений математической функции, в частности, метод представления решения в виде степенных рядов. Доказательство существования и единственности решений нелинейных систем с частными производными и представление их в виде степенных рядов опирается на классическую теорему Коши-Ковалевской и ее аналоги. Теорема Коши-Ковалевской обеспечивает существование и единственность решения задачи Коши для квазилинейной системы, если определитель матрицы, составленной из коэффициентов, стоящих перед выводящими производными, отличен от нуля, и все входные данные являются аналитическими. Если этот определитель равен нулю, то возникает характеристическая задача Коши, и для единственности решения требуется задавать дополнительные условия. В случае линейной гиперболической системы Р. Курант [11], В. М. Бабич [12,13], Д. Людвиг [14] разработали метод представления решений характеристической задачи Коши в виде «обобщенной бегущей волны» -бесконечного, ряда по специальным системам функций, зависящих от ср, где ф = 0 — есть уравнение характеристической поверхности исходной гиперболической системы. В случае выполнения условий теоремы Коши-Ковалевской В. М. Бабичем и Д. Людвигом доказана сходимость этих рядов «в малом». Д. Людвиг свел вопрос о сходимости «обобщенной бегущей волны» к вопросу о существовании аналитического решения у линейной характеристической задачи Коши, когда начальное многообразие является характеристическим в каждой точке. Для линейных уравнений Дж. Даффом [15] и Д. Людвигом доказаны соответствующие аналоги теоремы Коши-Ковалевской.
Для нелинейной системы уравнений газовой динамики характеристическая задача Коши была решена А. А. Дороднициным [16]. А. Ф. Сидоров [17,18] предложил метод построения решения характеристической задачи Коши в виде степенных рядов. Коэффициенты рядов определяются из систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В случае характеристической задачи Коши стандартного вида, поставленной для аналитической квазилинейной системы, в работе С. П. Баутина [19] методом мажорант доказан аналог теоремы Коши-Ковалевской. В трудах А. Ф. Сидорова и его учеников активно разрабатывается метод характеристических рядов. Этот метод использован для решения задач газовой динамики, в работах С. П. Баутина [4,20−21], С. Л. Дерябина [6,22−23], Л. Г. Корзунина [24], С. С. Титова [25] и многих других.
Диссертация состоит из введения, двух глав, семи параграфов, заключения, приложения и списка литературы. Объем работы составляет 98
Заключение
В данной работе проведены аналитические исследования нелинейных начально-краевых задач для некоторых классов течений идеального газа
В первой главе:
1. Доказаны теоремы существования и единственности локально-аналитического решения задачи Коши для интегро-дифференциальной системы уравнений, описывающих сферически-симметричные течения идеального газа с разрывными начальными данными. Методом характеристических рядов решена задача о распаде разрыва.
2. Доказано, что частицы газа на свободной поверхности газ-вакуум движутся как частицы газа в поле притяжения материальной точки, помещенной в центр симметрии и имеющей массу, равную массе газа.
3. Исследована задача о непрерывном примыкании газа к вакууму для сферически-симметричных течений и доказана теорема существования и единственности решения для рациональных показателей адиабаты.
4. Получены и исследованы системы транспортных уравнений, описывающих поведение выводящих из Г0 производных. Показано, что при определенных газодинамических параметрах газовый шар разлетается до бесконечности, в других случаях граница газ вакуум останавливается при ^ - ^ > 0 и начинается схлопывание массы газа: При этом особенности решения на этой границе появляются только в момент фокусировки, который можно трактовать как момент схлопывания всей массы газа в центр симметрии.
Во второй главе проведены исследования задачи Коши для систем интегро-дифференциальных уравнений, описывающих течения идеального самогравитирующего газа в трехмерном пространстве.
5. Построено в виде рядов по степеням? решение задачи Коши для системы интегро-дифференциальных уравнений, взятых в форме Лагранжа, в случае когда в начальный момент времени газ заполняет произвольную выпуклую область С10 с Я3,. Доказана аналитичность всех производных по? потенциала тяготения, что позволило доказать аналитичность коэффициентов рядов, задающих решение данной задачи.
6. Исследована задача Коши для системы интегро-дифференциальных уравнений в форме Эйлера, описывающей движение идеального самогравитирующего газа при условии, что в начальный момент времени газ имеет форму шара, вращающегося как твердое тело с постоянной угловой скоростью вокруг оси. Получен приближенный закон движения свободной поверхности в виде эллипсоида вращения. Доказано, что при ш2 — ОМ00 > 0 происходит осесимметричный разлет частиц газа и сжатие вдоль оси 01, при ш2 — ОМт < О шар начинает сжиматься под действием сил самогравитации, где со — угловая скорость, М00 — масса газа, Огравитационная постоянная.
