Построение математической модели управления в пространстве состояний

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

1. Построение математической модели ОУ в пространстве состояния

2. Построение сигнального графа и структурной схемы системы

3. Нахождение передаточной функции системы по формуле Мейсона

4. Анализ устойчивости системы по критерию Ляпунова

5. Определение прямых оценок качества системы

6. Синтез формирующего фильтра

7. Оценка качества эквивалентной схемы по переходной функции ВЫВОД Список используемой литературы

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ Рисунок 1. Эквивалентная схема объекта управления

R₁ = 345 Ом

R₂ = 375 Ом

R₃ = 127 Ом

R₄ = 244 Ом

R₆ = 250 Ом

L₃ = 47 Гн

L₄ = 25 Гн

C₁ = 40 511 мкФ С₂ = 23 007 мкФ

i₂=?

1. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОУ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЯ

e (t) i₄

Рисунок 2. Структурная схема объекта управления

Cоставим уравнения по 2-му закону Кирхгоффа для контуров:

(1)

В системе уравнений (1) следует избавиться от всех интегралов, продифференцировав в данном случае первое и четвертое уравнения этой системы:

Используя метод условного интегрирования, вводим фиктивные переменные, равные элементам, взятым из уравнений на 1 или более порядков ниже.

(2)

Находим производные по времени от фиктивных переменных и, применяя предыдущие уравнение, выражаем зависимостями от токов и фиктивных переменных.

(3)

Из систем уравнений (1) — (3) найдем выражения для токов через фиктивные переменные:

(4)

Подставим числовые данные в систему (4) и найдем i₁, i₂, i₃, i₄:

Полученные значения токов подставим в систему (3) и найдем, ,, , дополнив систему выражением для выходной величины:

По полученной системе уравнений и уравнению для выходной величины объекта регулирования запишем математическую модель в нормальной форме Коши:

— уравнение наблюдения;

— уравнение выходной величины объекта, где A, B, C, D — матрицы, Х — матрица внутренних переменных, U — матрица входных переменных (в данном случае ЭДС).

Матрицы будут иметь вид:

Получаем математическую модель в пространстве состояний:

2. ПОСТРОЕНИЕ СИГНАЛЬНОГО ГРАФА СИСТЕМЫ И СТРУКТУРНОЙ СХЕМЫ

Рис. 3. Граф системы Рис. 4. Структурная схема системы

3. НАХОЖДЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ СИСТЕМЫ ПО ФОРМУЛЕ МЕЙСОНА Найдем передаточную функцию объекта управления непосредственно из графа системы по формуле Мейсона, которая имеет вид:

; ,

где k — количество прямых возможных путей от входа к выходу;

? — определитель графа;

P_k — коэффициент передачи k-го пути от входа к выходу;

?_k — определитель всех касающихся контуров при удалении k-го пути;

— сумма коэффициентов передачи всех отдельных контуров;

— сумма всех возможных произведений из двух не касающихся контуров;

— сумма всех возможных комбинаций из трех не касающихся контуров.

Запишем уравнения всех прямых путей от входа к выходу:

Определим все замкнутые контуры и запишем их уравнения:

Запишем выражение для определителя системы:

Запишем определители путей:

Запишем и посчитаем выражение передаточной функции, подставив все найденные величины:

4. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ ПО КРИТЕРИЮ ЛЯПУНОВА Проведём оценку устойчивости САУ по критерию Ляпунова, для чего найдем корни характеристического уравнения:

Так как все 4 корня характеристического уравнения находятся в левой части, то согласно критерию устойчивости по Ляпунову система является устойчивой.

5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЯМЫХ ОЦЕНОК КАЧЕСТВА СИСТЕМЫ Определение временных и частотных характеристик по передаточной функции.

Найдем переходную функцию, она равна обратному преобразованию Лапласа от, т. е.

Рис. 5. График переходного процесса

Найдем весовую функцию системы и построим ее график.

Рис. 6. График весовой функции Определим частотные характеристики системы. Приведем передаточную функцию системы к частотной форме записи, заменив оператор Лапласа р на jщ:

Амплитудо-частотная характеристика находится по формуле:

Рис. 7. График амплитудо-частотной характеристики Найдем фазо-частотную характеристику и построим ее график.

Рис. 8. График фазо-частотной характеристики

По переходной функции определим прямые оценки качества системы:

Перерегулирование По графику видно, что система является неустойчивой, поэтому прямые оценки качества провести в этом случае невозможно.

По графику АЧХ определим косвенные оценки качества ОУ:

Максимальное значение амплитуды:

A_max(щ)=0,5

Резонансная частота:

щ_р=10, Гц Амплитуда сигнала при нулевой частоте А (0)=0

Показатель колебательности:

М=A_max/A (0)=0

Полоса пропускания

6. СИНТЕЗ ФОРМИРУЮЩЕГО ФИЛЬТРА По корреляционной функции K_Х(ф) определим спектральную плотность S_Х(щ) для белого шума (S_V(щ)=const), который подается на вход формирующего фильтра.

Корреляционная функция задана выражением:

Найдем спектральную плотность случайного сигнала и построим ее график:

Рис. 9. Спектральная плотность По заданным статическим характеристикам S_x и S_V определим передаточную функцию формирующего фильтра Ш (р), для чего воспользуемся уравнением:

В рамках данной курсовой работы спектральная плотность S_V(щ) принимается равной 1. Получаем, что квадрат модуля частотной характеристики определяется следующим образом:

Найдем корни числителя и знаменателя .

Найдем корни числителя:

Определим корни знаменателя:

Строим корни на комплексной плоскости:

Рис. 10. Корни на комплексной плоскости Из корней верхней полуплоскости формируем выражение для Ш (jщ):

Так как сомножитель знаменателя щ-64j образуется из решения уравнения 64+jw, то его можно заменить непосредственно этим уравнением:

Запишем передаточную функцию формирующего фильтра, заменив jщ на р:

сигнальный передаточный ляпунов фильтр Представим ОУ в виде:

Рисунок 11. Эквивалентная схема с фильтром Для этой системы определим общую передаточную функцию:

Определим устойчивость полученной системы по критерию Раусса для эквивалентной схемы.

Характеристическое уравнение имеет вид:

Вычисляем третью строку таблицы Раусса:

R₃ = a₀/a₁=1/205=0,488

C₃₁ = a₂ — R₃a₃=17 988 — 0,488· 672 923= 14 704,13576

C₃₂ = a₄ — R₃a₅=6 654 506 — 0,488· 16 868 944=6572185,55 328

C₃₃ = a₆ — R₃a₇=4 814 540 — 0,488· 444 344= 4 812 371,60128

Вычисляем четвёртую строку таблицы Раусса:

R₄ = a₁/С₃₁=205/14 704,13576=0,1 394

C₄₁ = a₃ — R₄C₃₂=672 923- 0,1 394· 6 572 185,55328= 581 306,73339

C₄₂ = a₅ — R₄C₃₃=16 868 944- 0,1 394· 4 812 371,60128= 16 801 859,53988

C₄₃ = a₇ — R₄C₃₄=0

Вычисляем пятую строку таблицы Раусса:

R₅ = С₃₁/С₄₁=14 704,13576/581 306,73339=0,025

C₅₁ = С₃₂ — R₅C₄₂=6 572 185,56- 0,025· 16 801 859,54= 6 152 139,15

C₅₂ = С₃₃ — R₅C₄₃=4 812 371,60128

Вычисляем шестую строку таблицы Раусса:

R₆ = С₄₁/С₅₁== 581 306,73339/6 152 139,15=0,9 449

C₆₁ = С₄₂ — R₆C₅₂=16 801 859,54- 0,9 449· 4 812 371,60128= 16 347 138,0074

Т.к. коэффициенты R₃, R₄, R₅, R₆ положительны, система устойчива по критерию Раусса.

7. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ЭКВИВАЛЕНТНОЙ СХЕМЫ Определим временные характеристики системы. Найдем переходную функцию по формуле и построим ее график:

Рис. 12. Переходная функция скорректированной системы По графику видно, что система является неустойчивой, поэтому прямые оценки качества провести в данном случае невозможно.

Определим частотные характеристики системы, вычислив амплитудно-частотную характеристику:

Рис. 13 Амплитудо-частотная характеристика скорректированной системы

По графику АЧХ определим косвенные оценки качества.

Максимальная амплитуда выходной величины А_max=6,1•10^-5

Значение амплитуды при нулевой частоте А (0)=0

Резонансная частота щ_р=1 Гц Показатель колебательности

Данный результат возможен из-за неустойчивости рассматриваемой системы.

Полоса пропускания щ₁?щ₂ => 0,2?8,8Гц (на графике)

ВЫВОД В первой части курсовой работы мы построили математическую модель системы в пространстве состояний, её структурную схему и сигнальный граф, вычислили её передаточную функцию по формуле Мейсона, определили временные и частотные характеристики, построили их графики и нашли прямые и косвенные оценки качества, при этом выяснили, что система является устойчивой.

Во второй части работы мы нашли передаточную функцию формирующего фильтра и перешли к эквивалентной схеме, добавив последовательно фильтр, для эквивалентной схемы построили графики переходной функции и АЧХ, по которым соответственно определили прямые и косвенные оценки качества. Также мы выяснили, что при подаче белого шума на вход формирующего фильтра, система остается неустойчивой. Сравним косвенные оценки качества исходной и скорректированной систем. Добавление формирующего фильтра привело к уменьшению максимально амплитуды АЧХ. Также по АЧХ эквивалентной схемы нельзя определить частоту среза, которая характеризует длину переходного процесса. Таким образом, добавление формирующего фильтра не улучшило качественные характеристики системы.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ефремова Т. А., Власов В. В. Методические указания к выполнению практической работы «Построение математической модели объекта в пространственном состоянии и синтез формирующего фильтра"-Балаково, 2008

2. Справочное пособие по теории систем автоматического регулирования и управления под ред. Е. А. Санковского — Минск: Высшая школа, 1973.

3. Брофеев Ю. И. Импульсная техника. -М.: Высшая школа, 1984.

4. Р. Ли Оптимальные оценки, определение характеристик и управление. -М.: Наука, 1966.