Спектр связанных состояний трансфер-матрицы случайного гиббсовского поля

Диссертация подготовлена на кафедре теории функций и функционального анализа Московского государственного университета и затрагивает ряд вопросов относящихся к спектральному анализу линейных операторов в моделях статистической физики.

Актуальность темы

Настоящая диссертация посвящена исследованию спектра стохастического оператора высокотемпературного гиббсовского поля.

Гиббсовские случайные поля являются общепринятой моделью большого числа стационарных решетчатых систем статистической физики и квантовой теории поля. Одним из важнейших изучаемых объектов, характеризующих это поле является его трансфер-матрица (стохастический оператор). Классические результаты задач, связанных с этим объектом, восходят к Г. Онзагеру, Б. Кауфману, А. Бете, М. Содпитеру, В. Рюэлю, Р. Добрушину, В. А. Малышеву, Р. А. Минлосу, Я. Г. Синаю, и другим классикам математической статистической физики.

Исследованию спектра связанных состояний операторов многочастичных систем посвящено множество работ, как в России, так и за рубежом. Классическим и новым результатам, связанным с этими вопросами уделено внимание в монографиях В. Малышева, Р. Минлоса [2], [6], Дж. Глимма и А. Джаффе [7], Б. Саймона [8] и других.

В настоящей диссертации получено полное описание дискретного спектра трансфер-матрицы высокотемпературного гиббсовского поля с компактным спиновым пространством в ее двухчастичном подпространстве, аналогичное многочисленным исследованиям более простых случаев, а именно: случая двухточечного спинового пространства и взаимодействия ближайших соседей (модель Изинга) Г. Онзагером и Б. Кауфманом [3], случая компактного спинового пространства и взаимодействия ближайших соседей Р. А. Минлосом, Е. А. Жижиной [11], Р. С. Шуром, М. О'Кэроллом [13] (случай некомпактного пространства спинов), а также в случае произвольного взаимодействия «общего положения» проведенного в случае двухточечного спинового пространства Р. А. Минлосом и Ш. С. Маматовым [5].

Научная новизна. Полученные результаты являются новыми. Результаты второй главы получены автором самостоятельно. В первой главе теорема о существовании «уединенного» уровня получена совместно с Р А. Минлосом.

Замечание. В случае модели Изинга = 1 и поэтому в Ti2 отсутствует часть базиса {hl, x eZ" }.

В построенном базисе оператор U8 имеег вид.

ТТ 1,(2) 1,(2) гг й (2) 1,(2) а матричные элементы ' записываются в виде:

О — + + где коэффициенты {az, z € Z" } те же, что и в (0.6). Обозначим также.

PfAffi. ftp") = ает. < W. ft?)=.

Выполнены следующие оценки:

В, С числа, не зависящие от f3.

Действие операторов U^ = Utn2 и = Т/з-н2 удобнее описать после «преобразования Фурье»: рассмотрим унитарное отображение.

W2:H2^> L? r (V х Т", dXxdX2) = Я2, (0.9) действующее по формулам.

W2hf){X) = ei (x'A) <Е L2(V, dX).

0.10).

Под действием этого отображения оператор Т^ переходит в оператор

2)Л (Ль А2) = а (А1)а (А2)/(А1, А2) 4- (0.11) G (Ab А2- /l"I, ц2)5(Ах + А2 — /л — //2)/(/л, /и2)фхф2, /.

•/Т" ./т*.

Т*' «/Т» G L^CF х did2), ядро (7(Ai, А2- /л, /г2) определено на многообразии {Ai + А2 = /л + fi2} С (Т")4 и является достаточно гладкой функцией. Это ядро можно записать в виде.

G (Xi, А2- /Л, р2) = KXl+X2{Xu pi), где Т" = [0,2тг]1/ -1/-мерный тор, a d — нормирования мера Хаара на Т", операторы U^ и Т^ перейдут в операторы умножения на функции.

Ull)f){ А) = А), (Г,(1)/)(Л) = а (Л)/(Л),.

0.7) где а (Л) = Ylz ' - преобразование Фурье функции а.

Замечание. Согласно физической интерпретации, оператор объявляется гамильтонианом соответствующего решетчатого поля, пространство Tii пространством состояний его «квазичастицы» (с наименьшей массой), причем, А — квазиимпульс этой квазичастицы, а — | lna^A) энергия «квазичастицы» с квазиимпульсом А.

В силу того, что функция ах убывает экспоненциально, с большим показателем экспоненты, функция а (А) аналитична в некоторой комплексной окрестности тора Т" :

WA = {A G C/Z": |/mA (i)| < А, г = 1,., и}, (0.8) где значение, А = А (/3) достаточно велико при малых /3 (через С?/7/ обозначено фактор-пространство относительно действия группы Z" в С": z —> z + n, z € С, n G Z"). Кроме того, а (А) аналитически зависит от и при малых (3 допускает представление а (А) = (Зсю + /32а1() + а2(А, /?), где а2(А, 0) ~ 0(Р2), а а0 ф 0 — константа, и ai (A) — функция, обе не зависящие от (3. Здесь и в дальнейшем обозначение 0{(Зк) означает, что соответствующая величина допускает оценку С (Зк с константой С > 0, не зависящей от (и возможно других переменных).

Двухчастичное пространство оператора Тр строится подобным же образом: в качестве приближения к нему выбирается пространство, натянутое на векторы {a{x)cr (y)% (х%у) eZ" x Z", rr ^ у о2(х), х € Z" }, и затем, применяя упомянутый выше прием из теории возмущений, мы получаем инвариантное относительно и {Ut} подпространство Ti2 вместе с некоторым специальным базисом в нем е 1У, л®-, (x, y) ez^xz^x^y} 8.

При высокой температуре трансфер-матрица обладает, так называемой, корпускулярной структурой спектра. Это означает возможность выделения одночастичного, двухчастичного, трехчастичного и так далее А-—частичных инвариантных подпространств, отвечающих за поведение, и в частности, рассеяние соответствующего числа квазичастиц. Если спектр в одночастичном подпространстве описывается сравнительно легко, то изучение этого спектра уже в двухчастичном подпространстве является непростой задачей из-за наличия так называемых «связанных состояний». Чисто аналитически эта задача состоит в нахождении собственных значений некоторого семейства операторов фридрихсовского типа.

Подробно о выделении инвариантных подпространств и вычислении матричных коэффициентов написано во второй главе, в которой разбирается конкретный случай взаимодействия ближайших соседейВ первой же главе будет рассматриваться наиболее общий случай, позволяющий дать наиболее полное представление о модели, а именно в данной работе, рассматриваются лишь потенциалы «общего положения». Для таких потенциалов свойства соответствующего фридрихсовского семейства операторов сохраняются при малых «шевелениях» потенциала или — что одно и тоже — при малых шевелениях «символа» этого семейства (то есть энергии двух «квази-частиц» в состоянии рассеяния, как функции их квазиимпульсов). Потенциалы взаимодействия, приводящие к исключительным «символам», образуют гиперповерхность конечной коразмерности в пространстве всех потенциалов. Следует отметить, что часто рассматриваемый случай взаимодействия ближайших соседей приводит к символам уже не общего положения и в этом случае картина спектра отличается от той, которая описана в первой главе.

Напомним далее основную схему построения одночастичного и двухчаг стичного инвариантных пространств трансфер-матрицы 7/j (и групы трансляций Ut). В качестве исходного приближения к одночастичному пространству выбирается линейная оболочка функций {/^(а) = а (х), х Е Z" }, и затем, с помощью некоторого приема теории возмущений (см. [1],[2]), строится истинное инвариантное подпространство Tii вместе с ортонормированным базисом {hx, х € Z" }, в котором операторы трансляций Utnx = U^ действует циклически U^hx = hx+t, t, x G Z", а трансфер-матрица %знх — с помощью свертки.

Tphx = Ox-yhy, (0.6) i/eCi с некоторой экспоненциально-убывающей функцией {az, z? Z" }.

После унитарного отображения («преобразования Фурье»).

Wi:Hi-> L2(V, dX), {Wxhx){А) = ei (A'* Л € Г,.

V> ВИД.

H{a) = pYI ф (х — УМхМУ)> (О-.Г) где о = {а (х), х? Z" х Z} ^" -«пространство», Z — «время») — конфигурация поля, принимающая значения в некотором компактном, симметричном относительно нуля подмножестве S € R1, причем #5 > 2.

Здесь /3 = y ~ обратная температура, (которая в дальнейшем предполагается достаточно малой). Далее Ф (г) финитный потенциал взаимодействия, отличный от нуля только для векторов вида z = (z, Zq) eZ" x Z1, у которых «временная» координата zq ^ 1 (это условие и позволяет рассматривать наше гиббсовское поле как марковское вдоль направления «времени»). При этом мы, как обычно, рассматриваем более узкий класс потенциалов Ф (г) — их носители состоят либо из векторов (z, 0), либо векторов (0, Zq), zq = 1″ .

Как обычно, предполагается, что задано некоторое, сииметричное относительно нуля, четное распределение вероятностейv на множестве S, с помощью которой задается «свободная» мера/^о = в пространстве П = всех конфигураций поля. Гиббсовское поле/х^ определяется стандартным образом с помощью гамильтониана (0.1) и свободной меры /хо• (подробности, например, в [6]). Относительно меры v мы предположим, что а4 >ьф 3 < а2 >", (0.2) где < crk >v= fgO^dvfo) — к—ый момент распределения v. Пусть ц Yk = {x = {xu., хи+1) е Z" +1: Xv+A = к} С Zv+1 (0.3) есть fc-ый «временной слой», к € Z. Произвольную конфигурацию <г € П можно записать как последовательность.

Т — {.,<71,<Т0,<71,<72,.} (0.4) где сг^ = er[yfc Е S'2″ = По — сужение сг на слой У^. Теперь /х^ это распределение стационарной марковской цепи (0.4) с пространством состояний По и инвариантной мерой ^ = гДе £о это а— алгебра в По. Стохастический оператор Т этой марковской цепи называется трансфер-матрицей системы. Оператор Т действует на гильбертовом пространстве Н = ½(По, vp) С ½(П, /X/?) функций, зависящих только от конфигураций Go G По. Матричные элементы Т могут быть записаны как.

Г/, (?) =< /(<�п),^Ы /, Р 6 И. (0.5).

Поскольку мера Цр инвариантна относительно пространственных сдвигов поля, в пространстве 7i определена также унитарная группа {Ut, t € Z," } пространственных трансляций, коммутирующая с 7р (подробнее см. [2]). Доказано существование изолированного «уединенного уровня», находящегося на расстоянии порядка 1/Т2 от края непрерывного спектра, при каждом значении полного «квазиимпульса» системы.

Доказано отсутствие двухчастичных связанных состояний в модели «общего положения» и размерности пространства (у = 3), что является полным описанием дискретного спектра двухчастичной области этой модели. В случаях меньших размерностей показано, что двухчастичные связанные состояния могут возникать лишь вблизи особых значений полного квазиимпульса Л € Т". При и = 1 также приведены условия того, что эти собственные значения на самом деле возникают.

Описан спектр связанных состояний в каждой размерности и = 1,2,3 в случае взаимодействия ближайших соседей, причем рассмотрен также не изучавшийся в литературе случай < а4 >= 3 < а2 >. В случае v — I описание двухчастичной области является полным.

Методы исследования. В работе используются методы функционального анализа, теории функций комлексного переменного, теории интегральных уравнений, случайных процессов, а также методы теории особенностей.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты заключаются в описании дискретного спектра действия трансфер-матрицы гиббсовского случайного поля в ее двухчастичном пространстве, однако развитые методы могут быть использованы в других многочастичных системах, а также в теории евклидовых квантовых полей.

Апробация работы. Результаты автором докладывались на научно-исследовательский семинаре «терии рассеяния и статистическая механика» под руководством Р. А. Минлоса. Также автор выступал с докладом на международных конференциях: по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2004 г.), по математической физике (Беловеже, Польша, 2004 г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [19}, [20], [21].

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 81 странице и состоит из введения, двух глав и списка литературы, включающего 21 наименование.

1. Malyshev V. А, Minlos R. А, Invariant subspaces of clustering operators. / / J. of Stat. Phys. 21(3): 231−242 (1979) — ir., Commun. Math. Phys. 82: 211−226, 1981.

2. Малышев В. A, Минлос P. A., Линейные операторы в бесконечночастичных системах / / Наука, 1992.

3. Onzager L., Kaufman В., Crystal statistics, / / Phys. Rev., v.76, p.232, 1949.

4. Минлос P. A. Синай Я. Г., Изучение спектра стохастических операторов, возникающих в решетчатых моделях газа, / / Теор. и Мат. Физ. т.2 230−243, 1970.

5. Маматов Ш. С, Минлос Р. А, Связанные состояния двухчастичного кластерного оператора, / / Теор. и Мат. Физика, т.79(2): 163−1, 1989.

6. Малышев В. А, Минлос Р. А., Гиббсовские случайные поля / / Наука, Москва, 1985.

7. Глим Дэю, Джаффе А., Матемамтические методы квантовой физики / / Меркурий Пресс, Москва, 2000.

8. Рид М, Саймон Б. у Современные методы математической физики. т.З. Теория рассеяния. / / Мир, Москва, 1982.

9. Саймон В., Модель Р{(р)2 эвклидовой квантовой теории поля / / Мир, Москва, 1976.

10. Abdullaev Zh. I., Lakaev S. N., On spectral properties of the matrix-valued Friedrichs model. / / Advances in Sov. Math. Vol. 5. Ed. R.A.Minlos, AMS, Providence, p. 1−37, 1991,.

11. Minlos R. A, Zhizhina Д Leading branches of the transfer-matrix spectrum for lattice spin systems., / / Journal of Stat. Phys., v. l08, p.885−904, 2002.

12. Abdullaev J., Minlos R. A" An extension of the Ising Model, / / Advemces in Soviet Mathematics, Vol. 20: 1−20, AMS Providensce, 1994.

13. Schor R. S., O’Carrol M., Transfer matrix spectrum and bound states for the lattice classical ferromagnetic spin systems at high temperature, / / Journal of Stat. Phys., 99(6/6): 1265−1279, 2000. 4Ф.

14. Бирман М. Ш., Соломян М. ^ Спектральная теория самоспоряженных операторов в гильбертовом пространстве. / / Изд-во Ленинградского У-та, Ленинград, 1980.

15. Яфаев Д. Р., Теория рассеяния / / Изд-во СПб, Ун-та, 1996.

16. Левин Б.Я.у Распределение корней целый функций, / / Гостехиздат, Москва, 1956.

17. Арнольд Д. И. Варченко А. Н. Гусейн-Заде М, Особенности дифференцируемых отображений / / Наука, Москва, 1984.

18. Маркуимввич А. И., Краткий курс теории аналитических функций, / / ГосТехиздат, Москва, 1957. Работы автора по теме диссертации.

19. Лакштанов Е. Л. Старшие ветви спектра трансфер-матрицы для общих спиновых моделей с взаимодействием на один шаг / / Вестник Московского Университета, Вып.6. с.3−7, 2004.

20. Лакштанов Е. Л., Двухчастичные связанные состояния в модели квантовой жидкости / / Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в Суздале, 2004, тезисы докладов, стр. 98−99.

21. Лакштанов Е. Л., Минлос Р. А^ Спектр двухчастичных связанных состояний трансфер-матриц гиббсовских полей. Уединенный уровень / / Функ. Анализ и его Прил, т.38, (3), стр. 52−69, 2004.ⁱ 4i 81.