Виды систем массового обслуживания

Системы массового обслуживания при наличии входного и выходного потоков

В данном разделе рассматриваются СМО, в которых имеется как входной поток, так и поток обслуженных клиентов. Исследуются такие структуры, в которых параллельно функционируют с узлов (приборов), так что одновременно могут обслуживаться сразу с клиентов. При этом все обслуживающие приборы с точки зрения быстродействия предполагаются эквивалентными. Схематически такая обслуживающая система изображена на рис 1. заметим, что в любой (произвольно выбранный момент) времени всех находящихся в системе клиентов следует разделить на тех, кто находится в очереди и, следовательно, ждет, когда его начнут обслуживать, и тех, кто уже обслуживается.

Рисунок 1.

Обозначения, которые представляют наиболее подходящими для СМО с параллельно «включенными» приборами, давно уже унифицированы и имеют следующую структуру:

(a/b/c): (d/e/f),.

где символы a, b, c, d, e и f ассоциированны с конкретными наиболее существенными элементами модельного представления процессов массового обслуживания и интерпретируются следующим образом:

араспределение моментов поступлений заявок на обслуживание;

bраспределение времени обслуживания (или выбытий обслуженных клиентов) с — число параллельно функционирующих узлов обслуживания (с=1, 2…);

dдисциплина очереди;

е — максимальное число допускаемых в систему требований (число требований в очереди+число требований, принятых на обслуживание);

fемкость источника, генерирующего заявки на обслуживание.

Для конкретизации a и b приняты следующие стандартные обозначения:

Мпуассоновское распределение моментов поступления заявок на обслуживание или выбытый из системы обслуживанных клиентов (или экспоненциальное распределение интервалов времени между моментами последовательных поступлений или продолжительностей обслуживания клиентов);

Dфиксированный (детерминированный) интервал времени между моментами последовательных поступлений в систему заявок на обслуживание или детерминированная (фиксированная) продолжительность обслуживания;

Ekраспределение Эрланга или гамма-распределение интервалов времени между моментами последовательных поступлений требований в обслуживающую систему или продолжительностей обслуживания (при этом под k понимается параметр распределения);

GIраспределение произвольного вида моментов поступления в систему заявок на обслуживание (или интервалов времени между последовательными поступлениями требований);

Gраспределение произвольного вида моментов выбытия из системы обслуженных клиентов (или продолжительностей обслуживания).

Для иллюстрации рассмотрим структуру (M/D/10):(GD/N/). В соответствии с принятыми обозначениями здесь речь идет о СМО с пуассоновским входным потоком, фиксированным временем обслуживания и десятью параллельно функционирующими узлами обслуживания. Дисциплина очереди не регламентирована, что подчеркивается парой символов GD. Кроме того, независимо от того, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь+обслуживаемые клиенты) не может вместить более N требований (клиентов), т. е. клиенты, не попавшие в блок ожидания, вынуждены обслуживаться в другом месте. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость.

Конечная цель анализа систем и процессов массового обслуживания заключается в разработке критериев (или показателей) эффективности функционирования СМО. В этой связи важно сразу же подчеркнуть одно важное обстоятельство: поскольку процесс массового обслуживания протекает во времени, то нас будет интересовать только стационарный процесс.

При выполнении условий стационарности нас будут интересовать следующие операционные характеристики СМО:

Pnвероятность того, что в системе находится n клиентов (заявок на обслуживание);

Lsсреднее число находящихся в системе клиентов (заявок на обслуживание);

Lqсреднее число клиентов очереди на обслуживание;

Ws — средняя продолжительность пребывания клиента (заявки на обслуживание) в системе;

Wq — средняя продолжительность пребывания клиента (заявки на обслуживание) в очереди.

По определению.

Между Ls и Ws (как и между Lq и Wq) существует строгая взаимосвязь, так что, зная числовые значения одной из этих величин, можно легко найти значение другой величины. В частности, если частота поступлений в систему заявок на обслуживание равняется (интенсивность поступления требований), то мы имеем.

Приведенные выше соотношения справедливы и при гораздо менее жестких предположениях, не налагающих никаких специальных ограничений ни на распределение моментов последовательных поступлений требований, ни на распределение продолжительностей обслуживания. Однако в тех случаях, когда частота поступлений заявок на обслуживание равняется, но не все заявки имеют возможность попасть в обслуживающую систему (например, из-за недостаточно большой вместимости блока ожидания), соотношения (1) необходимо видоизменить путем такого нового определения параметра, которое позволило бы учесть только действительно «допускаемые» в систему требования. Тогда, вводя в рассмотрение.

будем иметь.

В общем случае.

Это означает, что только часть поступающих заявок на обслуживание действительно «проникает» в систему. Но в любом случае можно установить зависимость ЭФФ от LS Lq следующим образом. По определению Если средняя скорость обслуживания равняется и, следовательно, средняя продолжительность обслуживания равняется 1/, то справедливо следующее соотношение:

Умножая левую и правую части этого соотношения на, получаем.

Последнее соотношение остается справедливым и в том случае, если заменить на ЭФФ. При этом для ЭФФ можно записать При анализе всех рассматриваемых ниже моделей основное внимание будет сосредоточено на получении формул для рn, поскольку, зная рn, нетрудно определить значение всех основных операционных характеристик интересующего нас процесса массового обслуживания в указанном ниже порядке:

Отметим, что в большинстве случаев при вычислении значений рn в рамках соответствующей математической модели особые трудности не встречаются. Что же касается распределений продолжительностей ожидания, то их численная оценка может оказаться далеко не простой. Таким образом, в большинстве случаев удобнее вычислять WS и Wq через LS и Lq.

Пример. Рассмотрим СМО с одним обслуживающим прибором. Пусть среднее количество требований, поступающих в систему в течение часа, равняется трем (), а скорость обслуживания составдяет 8 ()требований в час. Вероятность рn того, что в системе окажется n требований, определяется на основе данных, полученных в результате наблюдений за функционированием системы. Допустим, что мы имеем следующие статистические оценки:

(Как мы видим ниже, значения рn вычисляются с помощью формул, которые приходится специально выводить для каждого конкретного типа моделей массового обслуживания.).

На основе приведенных выше исходных данных можно вычислить LS, WS, Wq и Lq. Начнем с определения среднего числа требований, находящихся в обслуживающей системе:

требования. Поскольку =3, для средней продолжительности пребывания требования в системе имеем Учитывая, что =8, получаем оценку средней продолжительности пребывания в очереди откуда следует, что среднее количество находящихся в очереди «клиентов» равняется.

Используя в качестве исходных данных, приведенные в предыдущем примере, вычислим:

(а) Среднее количество находящихся в очереди требований, используя при этом непосредственно известные значения рn.

По определению.

Подставляем соответствующие значения.

(б) Среднее количество клиентов, которые обслуживаются системой.

По определению среднее количество клиентов, которые обслуживаются системой равно LS-Lq. Из приведенных выше формулах находим При увеличении параметра будет увеличиваться LS и Lq, а при увеличении параметра будет уменьшаться WS и Wq.