Оценка возможности использования аппроксимационного подхода для измерения параметров периодических сигналов

Существуют задачи измерения, испытаний и контроля, в которых вид сигналов строго обусловлен физическими законами исследуемых явлений, а погрешности измерений невероятно малы. Такими, к примеру, очень часто бывают перепериодические сигналы. На основе измерения их характеристик производиться контроль разного вида электронных и электрических генераторов, оценивается качество электрической энергии, испытываются колебания механических систем.

Использование аппроксимационного метода к данным измерительным задачам, с одной стороны, повышает эффективность их решения, с другой стороны, обеспечивает общеметодологическую платформу для унификации средств измерений и их метрологического анализа [25 — 30].

В математической модели детерминированного сигнала известны все параметры и используется они для описания образцовых сигналов.

Для характеристики неслучайных измерительных сигналов используют квазидетерминированные модели, в которых значение одного или нескольких параметров неизвестны и в большинстве своем считаются случайными величинами с малой случайной компонентой, влияние которой можно не учитывать [25].

Для решения подобных задач используют следующий аппроксимационный подход [25, 29]. Если измерительный сигнал аппроксимируется моделью, то, измеряя m значений сигнала при различных, в общем случае произвольных, значениях аргумента t, возможно скомпоновать систему m уравнений.

(1.1).

которая решена относительно этих параметров .

В случае, когда модель считается нелинейной относительно параметров функцией и значения выбраны произвольно, система (1.4) может оказаться сложной для аналитического или явного численного решения. В связи с этим в тех случаях, когда есть альтернатива, следует выбрать модели, линейные относительно параметров. Если это невозможно, упрощение решения системы (1.4) может быть обеспечено соответствующим выбором значений .

Таким образом, привлечение априорной информации о характере сигнала позволяет заменить интегральные преобразования арифметическими операциями с точечными оценками. Рассмотренный подход помогает обобщать известные методы, алгоритмы и средства измерения интегральных характеристик сигналов и изобретать новые.

Одной из основных проблем рассматриваемого здесь метода является анализ точности измерения. Если модель и реальный сигнал совпадают, то методически точный результат неизбежен. При несоответствии модели моделируемуемого сигнала характеристики параметров могут значительно отличаться от оптимальных.

В соответствии с общей методологией метрологического анализа аппроксимационных методов и алгоритмов характеристики результирующей погрешности будут определятся целями обработки и измерений результатов. В общем случае, качество решения аппроксимационных задач оценивается некой результирующей погрешностью, включающей в себя все части, определяющие несоответствие модели и моделируемой зависимости. При случайных сигналах это интегральные, как правило, среднеквадратические характеристики. При квазидетерминированных сигналах могут быть получены более грубые характеристики равномерного приближения. Однако для выявления таких оценок необходимо знать реальную аппроксимирующую зависимость. [31 — 33].

Для выявления аналитических оценок погрешностей предлагается использовать модель более обобщенного вида, включающие используемую интерпретационную модель как исключительный случай. Такими общими примерными моделями могут быть функциональные ряды.

(1.2).

В таком случае наиболее значимое отклонение модели от соответствующих значений сигналов определяется так:

. (1.3).

Для характеристики отклонения модели от реального сигнала используют среднеквадратическую погрешность.

. (1.4).

При наличии случайных погрешностей в исходных значениях корректнее использовать усредненные характеристики погрешностей. Относительная взвешенная среднеквадратическая погрешность аппроксимации сигнала равна.

. (1.5).

Погрешность (1.7) является несоответствием модели виду сигнала и свойствам оценок параметра.

Метрологическая аттестация выводов по суммарной погрешности аппроксимации сигнала моделью в практических задачах используется редко [34, 35]. В большинстве случаев конечной стадией измерений и обработки является числовые, как правило, интегральные характеристики сигналов. В этом случае цель сводится к анализу влияния отдельных переменных на погрешности определения характеристик. В случае детерминированных задач такими влияющими факторами служыт несоответствие модели виду сигнала, нестабильность параметров сигнала. Закон трансформации составляющие погрешность в результирующую определяется последовательностью преобразования результатов отдельных измерений в нужную оценку, что делает задачи специфичными для каждой области приложения.

В общем случайе для характеристики влияния составляющих погрешности, обусловленных несоответствием моделей виду сигналов, на погрешность результата измерения той или иной интегральной характеристикой сигнала, определяемой в соответствии с (1.4), можно использовать следующую методологию [37, 38].

1. С помощью расчитанного значения интегральной характеристики реального сигнала и определения относительной погрешности.

(1.6).

где — расчитанное значение интегральной характеристики, определеляемое для реального сигнала.

Такой метод используют для прогнозирования погрешности и выявления области применяемости методологии определения интегральной характеристики в соответствии (1.4) исходя из требования по точности при известных спектрах реального сигнала.

2. С помощью вычислений погрешности определения интегральных характеристик как функций, аргументы которой заданы приближенно с погрешностью, соответствующей отклонению модели от реального сигнала.

Как известно, погрешность вычисления значения какой-либо функции, аргументы которой заданы приближенно, может служить оценка с помощью которой дифференциала этой функции [39]. Погрешности функции есть не что иное как возможное приращение функций, которое она получит, если ее аргументам дать приращения, равные их погрешностям. Так как погрешности бывают обыкновенно достаточно не значительны, то практически вполне допустима замена приращений дифференциалами. В случае если известны только предельные абсолютные погрешности аргументов, то при расчете дифференциалов необходимо для всех производных брать их абсолютные значения [40].

В зависимости от того как оцениваются отклонения модели от реального сигнала, возможны три варианта к определения погрешности [41, 42].

Считая, что предельная абсолютная погрешность аргументов соответствует наибольшему отклонению, определяемому в соответствии (1.5), то для интегральной характеристики абсолютная погрешность будет равна.

. (1.7).

Если думать, что значение абсолютных погрешностей аргументов определяется через среднеквадратическую погрешность в соответствии с (1.6), то.

. (1.8).

Если абсолютные погрешности аргументов соответствуют действительным разностям между мгновенными значениями реального сигнала и модели в точках :

; ,.

то.

. (1.9).

При использовании этого метода относительная погрешность равняется.

. (1.10).

3. Третий метод предусматривает экспериментальное определение погрешности. Для этого измеряется интегральная характеристика образцовыми средствами измерения с метрологическими характеристиками, обеспечивающим возможности его использования в условиях реального сигнала, и сравнение с результатом измерения Y прибором, использующим аппроксимационный метод (1.4).

Практическое использование рассматриваемой методологии характеристики влияния составляющих погрешности, обусловленных несоответствием модели виду сигнала, на результат измерения будет рассмотрено ниже.

Все эти особенности использования аппроксимационного подхода к определению параметров квазидетерминированных сигналов и метрологическому анализу результатов позволяют нам обобщить принцип, метод и средства определения информативных параметров сигналов, основанные на определении этих параметров по функциональной связи с параметрами модели, выбираемой на основе той информации об объекте исследования, и метрологическом анализе результатов измерения из-за несоответствия модели реальному сигналу.