Марковская неоднородная цепь

Допустим, что в системе S протекает Марковский дискретный процесс с дискретным временем. Пусть — возможные состояния системы S и — шаги, в которые система может перескакивать из состояния в состояние, то есть иметь Марковскую цепь.

Марковская цепь называется неоднородной, если переходные вероятности (хотя бы одна) зависят от номера шага k.

В этом случае переходные вероятности будем обозначать. Тогда и матрица переходных вероятностей будет зависеть от k:

.

то есть матрица при каждом является стохастической.

Для неоднородной Марковской цепи вектор-строка вероятностей состояний (1).

Для неоднородной Марковской цепи имеет место следующая формула: (2).

У неоднородной Марковской цепи переходные вероятности (хотя бы одна из них) и, следовательно, матрица переходных вероятностей зависят от номера k.

Вероятности состояний неоднородной Марковской цепи на каждом шаге k вычисляется либо по реккурентной формуле (1), либо по формуле (2), где — вектор начального распределения вероятностей состояний системы.

Экономическое применение

Современные финансово — банковские операции часто предполагают не отдельные или разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени, например погашение задолженности в рассрочку, периодическое поступление доходов от инвестиций, выплаты пенсии. Такого рода последовательность, или ряд платежей, называют потоком платежей.

Поток платежей все члены которого — положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют финансовой рентой, или просто рентой. Так, например рентой является последовательность получения процентов по облигациям, платежи по потребительскому кредиту, выплаты в рассрочку страховых премий. Иногда подобного рода платежи называют аннуитетом, что, строго говоря, применительно только к ежегодным выплатам.

Обобщающие поток платежей характеристики, особенно интервал между двумя соседними платежами и вероятности выплаты платежа, широко применяются в различных финансовых расчетах. Так без них, например, невозможно разработать план последовательного погашения задолженности, измерить финансовую эффективность проекта, осуществить сравнение или безубыточное изменение условий контрактов, решать многие другие практические проблемы.

Рассмотрим общую постановку задачи. Допустим для анализа изменения с течением времени размера текущего фонда банка, занимающегося выдачей долгосрочных ссуд, важно обладать информацией о процессе поступления в банк выплат по займам.

Наблюдение за банком в предшествующем периоде показало, что число поступающих в банк выплат за любой промежуток времени длинной не зависит от момента времени с которого начался отсчет промежутка времени, а зависит только от его продолжительности. Ожидаемое число выплат в банк за неделю равно 2. исследуем какова вероятность поступления в банк за месяц 7 выплат и найдем вероятность того, что интервал времени между двумя соседними выплатами меньше 2 дней.

Обозначим поток выплат по займам через :

1. месяц = 4 недели и, тогда.

2. вероятность.

Для современной российской экономики весьма актуальна проблематика математического моделирования как дисциплины, ориентированной на проектирование, внедрение и сопровождение финансовых инноваций: новых финансовых стратегий, инструментов и процессов. Это объясняется резкой трансформацией хозяйственного уклада России и острой потребностью в новых финансовых технологиях. Так, применяя математический аппарат исследования операций, разработана технология управления портфелем ценных бумаг в динамике в предположении, что изменение цен на бумаги от сессии к сессии описывается в виде Марковского процесса с дискретным временем и заданной глубиной памяти, при использовании локально-оптимальных стратегий; реализация стратегии за год практических расчетов на примере государственных краткосрочных облигаций (ГКО) обеспечила доходность в среднем 14% в месяц за год при 8.44% в месяц у портфеля в среднем по рынку. Управление инвестиционным портфелем является типичной задачей исследования операций. В ней присутствуют все атрибуты канонической постановки:

• · цель операции носит многокритериальный характер (ожидаемый выигрыш, риск, ликвидность и т. п.);
• · процесс развивается в динамике;
• · цены — неопределенный фактор;
• · инвестор — оперирующая сторона;
• · аналитик — исследователь операции;
• · трейдер — исполнительное лицо оперирующей стороны;
• · внешняя среда — другие участники торгов;
• · инфраструктура рынка (общие экономические и институциональные ограничения, структура биржи и т. д.). В последующем изложении приняты следующие основные допущения:
• · динамика цен на обращаемые бумаги рассматривается как случайный марковский процесс с дискретным временем;
• · исходная задача формулируется в классе однокритериальных задач: критерий — математическое ожидание дохода. Проблема ликвидности не носит ограничительного характера. Динамика цен такова, что игрокам не грозит разорение, и риски, связанные с выбором управления, на каждом отдельном шаге компенсируются длительностью периода управления;
• · управляющим параметром является текущая структура портфеля, т. е. текущее распределение капитала между различными видами ценных бумаг.

Объектом исследования служил вторичный рынок ГКО. Однако установленный для сформулированной задачи фундаментальный факт (в процессе управления достаточно ограничиться простыми стратегиями, а именно портфелями, состоящими из одной наиболее на данном шаге бумаги) верен для широкого класса однокритериальных портфельных задач. Специфика рассматриваемого объекта проявилась в моделировании стохастического процесса изменения цен. При обработке статистического материала было выявлено, что в каждый отдельный момент времени цены на облигации разных выпусков взаимосвязаны и на графике располагаются около некоторой теоретической кривой, которую достаточно успешно можно описывать квадратичной функцией (изложение процедуры прогнозирования и принятия решений см. ниже:).

Как показали ретроспективный анализ и опыт проведения сделок в 1996;1997 гг., эффективность данного управления, приведенная к периоду месяц, примерно на 2/3 выше оценки средней эффективности рынка, что представляется очень хорошим результатом. Еще большей эффективности можно было бы ожидать в случае синтеза излагаемого здесь чисто формального алгоритма с идеями управления, основанного на макроэкономическом прогнозе.

Что касается возможности применения данной конструкции на других рынках, то все определяется конкретной спецификой того или иного сегмента рынка. Впрочем, нет сомнений, что теория принятия решений всегда в состоянии предложить эффективные решения адекватно экономическому объекту, ставшему предметом ее изучения.