Геометрический способ решения квадратных уравнений

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведем ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал-Хорезми.

Решим уравнение х² + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39».

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,.

следовательно, площадь каждого равна 2. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата АВСD, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого из них 2, а площадь 6.

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х², четырех прямоугольников.

• (4 • 2 = 10х) и четырех пристроенных квадратов (6), т. е.
• S = х² + 10х = 25. Заменяя х² + 10х числом 39, получим что S = 39+ 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата АВСD, т. е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

х = 8 — 2 — 2 = 3.

А вот, например, как древние греки решали уравнение у² + 6у — 16 = 0.

Решение .Выражения у² + 6у — 16 +9 — 9 = 0 — одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у₁ = 2, у₂ = - 8.

Решить уравнения у² — 6у — 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаем у² — 6у = 16.

Находим «изображения» выражения у² — 6у, т. е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3.

Значит, если к выражению у² — 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у — 3. Заменяя выражение у² — 6у равным ему числом, получаем: (у — 3)² = 16 +9, т. е. у — 3 = ± или у — 3 = ± 5, где у₁ = 8 и у₂ = - 2.