Динамика релятивистских частиц

Движение релятивистских частиц в гравитационном поле в общем случае описывается уравнением.

(10).

— символы Кристоффеля второго рода. Символы Кристоффеля вычисляются в метрике (2) согласно.

(11).

Здесь индексы 0,1,2,3 соответствуют координатам .

Определим ковариантные компоненты скорости как трехмерного вектора согласно [28].

(12).

Здесь индексы.

Как известно, при движении частицы в постоянном поле сохраняется полная энергия.

(13).

Система уравнений (10) с учетом выражений (11) и (6) решалась численно в работе [16]. Для нахождения устойчивых орбит начальные данные задавались исходя из решения аналогичной задачи в метрике Шварцшильда. Как известно, радиус ближайшей к центру устойчивой круговой орбит в метрике Шварцшильда и ее момент определяются величиной гравитационного радиуса,, а энергия частицы на такой орбите не зависит от геометрических параметров, имеем [28]:

(14).

Здесь — масса частицы. На рис. 1 приведены типичные траектории движения релятивистских частиц в метрике (2) с потенциалами (12), вычисленные для начальных данных:

(15).

Отметим, что задание производной собственного времени позволяет синхронизовать время с параметром s, вдоль которого определяется решение системы уравнений (16).

Траектории частицы представляют собой навитые на центральное ядро кривые сильно вытянутые в плоскости ортогональной оси симметрии системы. Задавая начальные данные (15) в виде.

.

находим, что радиальная координата изменяется в широких пределах — рис. 1. Однако при отклонении от начальных данных.

более чем на 1% частица в своем движении удаляется от центра на значительно расстояние. Энергия частицы сохраняется в численных расчетах с точностью, а по величине превосходит энергию на устойчивых круговых орбитах в метрике Шварцшильда вычисленной согласно (13). Скорость частицы достигает величины [16].

Заметим, что данные на рис. 1 соответствуют решению ограниченной задачи трех тел. Действительно потенциал (6) при условии описывает поле двух центров тяготения. В отличие от классической ограниченной задачи трех тел [31−32], в которой для упрощения задачи необходимо осуществить переход в неинерциальную систему координат, метрика (2) изначально является статической, а используемая система координат не является инерциальной по определению.

Рис. 1. Траектории частиц в метрике (2), полученные путем численного решения системы уравнений (10) с потенциалами (6) и с начальными данными (15).

Более того, как это следует из выражений (7), у метрики Зильберштейна, например, нет нерелятивистского предела, поскольку потенциалы этой метрики содержат сингулярности. В метрике же (6), содержащей логарифмическое слагаемое, потенциалы имеют один порядок величины. Поэтому переход к теории Ньютона является проблематичным в указанных метриках. Тем не менее, такой переход был построен в [29, 33] путем формального разложения уравнений по малому параметру.

.

Рассмотрим уравнения движения (10) c коэффициентами аффинной связности (11), в общем случае имеем:

Здесь.

.

Построим формальное разложение уравнений (16) по малому параметру, в первом приближении имеем.

(17).

Система уравнений (17) решалась численно с потенциалом (9) и с начальными данными.

(18).

Результаты расчетов приведены на рис. 2. Из анализа данных и из общих соображений следует, что в нерелятивистской теории необходимо положить в уравнениях (17), а все тройные произведения положить равными нулю. нелинейный уравнение параболический аксиальный.

Рис. 2. Линии уровня функции и траектории частиц в метрике (2), полученные путем численного интегрирования системы уравнений (17) с потенциалом (9) и с начальными данными (18).

В результате этих упрощений находим систему уравнений, описывающих динамику частицы во внешнем гравитационном поле в теории Ньютона.

(19).

Здесь мы можем восстановить размерность времени, полагая и учесть, что в нерелятивистском случае потенциал в (19) сводится к выражению, где — гравитационный потенциал в теории гравитации Ньютона. Учитывая, что последнее уравнение (19) имеет первый интеграл, находим окончательно.

(20).

В классической механике систему уравнений (20) упрощают, оставляя только первое и последнее уравнения.

(21).

Таким образом, мы показали, что система уравнений (16), описывающих динамику релятивистских частиц в метрике (2) может быть сведена к стандартной модели классической механики (21), описывающей динамику нерелятивистских частиц в центрально-симметрическом поле. Однако при этом метрика (2) с потенциалами (6), (7), (8) или (9) не сводится к галилеевой метрике, что обусловлено наличием сингулярностей [16−18].

Основное свойство метрики (2) заключается в том, что система тел представляется как статическая система, что достигается за счет релятивистских эффектов, которые обеспечиваются вторым потенциалом системы (5), не имеющим аналогов в теории Ньютона. Используя это свойство метрики (2), можно сформулировать ограниченную задачу тел как движение одного тела в статической системе тел, обладающей, например, потенциалом (9). В этом случае постановка ограниченной задачи для тел в теории тяготения Ньютона сводится к решению системы уравнений (20) с потенциалом (9).

В частном случае, в первом приближении по малому параметру.

.

можно использовать систему уравнений (17) и соответствующую постановку задачи (18) — рис. 2. В общем случае следует использовать систему уравнений (16) и постановку задачи типа (15) — рис. 1.

Модель (5) обладает уникальным свойством расширения в теории потоков Риччи [17−18, 22], что позволяет задавать движение в системе тел. В этом случае гравитационные потенциалы в системах уравнений (16), (17) и (20) зависят от времени по заданному закону. Рассмотрим эти вопросы более подробно.