Свойства систем дифференциальных уравнений

Основные определения

Пусть — непрерывные в области G (n+1)-мерного пространства скалярные функции.

Определение. Совокупность уравнений.

(1).

называется нормальной системой n дифференциальных уравнений первого порядка. Ее можно записать в матричной форме, если положить.

Определение. Решением системы (1) на интервале (a, b) называется совокупность n функций, непрерывно дифференцируемых на этом интервале, если при всех :

;

Задача Коши для системы (1) ставится следующим образом: найти решение системы, определенное в окрестности точки, которое удовлетворяет начальным условиям …,, где — заданная точка из области G. Решение задачи Коши существует и единственно, если все функции в правых частях уравнений системы (1) непрерывно дифференцируемы по всем в окрестности точки .

Каждому решению системы (1) сопоставляется 2 геометрических объекта: интегральная кривая и траектория.

Определение. Если — решение системы (1) на промежутке (a, b), то множество точек (x,),, (n+1)-мерного пространства называется интегральной кривой решения, а множество точек (),, n-мерного пространства называется траекторией решения. Заметим, что из существования и единственности решения задачи Коши интегральные кривые не могут пересекаться или иметь общих точек, однако траектории могут пересекаться без нарушения единственности, так как начальная точка определяется n+1 координатой. В частности траектория может совпадать с точкой (положение равновесия).

Система (1) называется автономной, если в правые части уравнений не входит явно независимая переменная. Система (1) называется линейной, если она имеет вид:

.

или в матричной форме.

(1').

где, .

Фундаментальной матрицей линейной однородной системы называется матричная функция (t), определитель которой отличен от нуля и столбцы которой являются решениями системы:. С помощью фундаментальной матрицы (t) общее решение системы можно записать в виде. Фундаментальная матрица, обладающая свойством, называется нормированной при. Если — нормированная при фундаментальная матрица, то частное решение системы записывается в виде, где — начальное при значение решения.