Эрмитова интерполяция.
Численные методы
Должны быть известны, тогда как для ньютоновской интерполяции необходимы только первые n значений. Полученный многочлен может иметь степень не более, чем n (m + 1)? 1, максимальная степень многочлена Ньютона же равна n? 1. (В общем случае m не обязательно должно быть фиксировано, то есть в одних точках может быть известно значение большего количества производных, чем в других. В этом случае… Читать ещё >
Эрмитова интерполяция. Численные методы (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Эрмитова интерполяция — метод полиномиальной интерполяции, названный в честь французского математика Шарля Эрмита. Многочлены Эрмита тесно связаны с многочленами Ньютона.
В отличие от интерполяции Ньютона, эрмитова интерполяция строит многочлен, значения которого в выбранных точках совпадают со значениями исходной функции в этих точках, и производные многочлена в данных точках совпадают со значениями производных функции (до некоторого порядка m). Это означает, что n (m + 1) величин.
должны быть известны, тогда как для ньютоновской интерполяции необходимы только первые n значений. Полученный многочлен может иметь степень не более, чем n(m + 1)? 1, максимальная степень многочлена Ньютона же равна n? 1. (В общем случае m не обязательно должно быть фиксировано, то есть в одних точках может быть известно значение большего количества производных, чем в других. В этом случае многочлен будет иметь степень N? 1, где N — число известных значений.).
Простой случай
При использовании разделенных разностей для вычисления многочлена Эрмита, первым шагом является копирование каждой точки m раз. (Здесь мы рассмотрим простой случай, когда для всех точек .) Поэтому, дана точка, и значения и функции f, которую мы хотим интерполировать. Определим новый набор данных такой, что Теперь определим таблицу разделенных разностей для точек. Однако, для некоторых разделенных разностей.
что есть неопределенность! В этом случае заменим эту разделенную разность значением, а другие вычислим обычным способом. 6.
Общий случай
В общем случае полагаем, что в данных точках известны производные функции f до порядка k включительно. Тогда набор данных содержит k копий. При создании таблицы, разделенных разностей при одинаковые значения будут вычислены как.
.
Например,.
и так далее.
Пример
Рассмотрим функцию. Вычислив значения функции и ее первых двух производных в точках, получим следующие данные:
x | ѓ(x). | ѓ'(x). | ѓ''(x). |
?1. | ?8. | ||
Так как мы работаем с двумя производными, строим множество. Таблица разделенных разностей тогда имеет вид:
и получаем многочлен.
взятием коэффициентов диагонали таблицы разделенных разностей, и умножением коэффициента с номером k на.
как при получении многочлена Ньютона.