Контрольные задачи типового расчета по теории вероятностей

Задача 1.13.

Наудачу взяты два положительных числа x и y,.

Причем.

x5, y2. (1).

Найти вероятность того, что.

y+ax-b0 и y-cx0 (2).

если a=1, b=5, с=1.

Решение:

Подставим значения коэффициентов, получим следующие неравенства:

или (3).

Число всех возможных событий определяется площадью прямоугольника (1), т. е. S=10.

Число событий благоприятствующих событию A определяется границами прямоугольника и границами неравенства (3) (заштрихована):

Площадь заштрихованной трапеции.

Вероятность P (A)=

Ответ: вероятность попадания в заданную область равна 0,6.

Задача 2.18.

В задаче приведена схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятность отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны p1=0,1; p2=0,2; p3=0,3; p4=0,4; p5=0,5. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.

Решение:

Сигнал пройдет со входа на выход при одномерной, безотказной работе первого элемента, и при безотказной работе элементов 2, 5 или элементов 3, 4. Это соответствует сумме произведений следующих событий:

A=B₁(B₂B₅+B₃B₄).

Так как события совместны и независимы, то следует переписать это выражение так, чтобы остались только произведения событий, и можно было применить формулу произведения независимых событий:

Для этого перейдем к противоположному, записанному в скобках событию: откажут верхняя и нижняя ветки элементов 2 — 5:, тогда.

и.

Ответ: вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход равна 0,5868.

Задача 3.19.

Прибор состоит из трех блоков. Исправность каждого блока необходима для функционирования устройства. Отказы блоков независимы. Вероятность безотказной работы блоков соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. В результате испытаний прибор вышел из строя. Определить вероятность того, что отказали три блока.

Решение:

Обозначим события:

С_i — безотказная работа i-го блока;

A — прибор вышел из строя;

H₁ — из строя вышли три блока;

H₂ - из строя вышли один или два блока;

H₃ - из строя не вышел ни один блок.

События H₁, H₂ и H₃ несовместны.

Событие A наступает совместно с одним из событий H₁ или H₂.

Тогда по формуле Байеса имеем:

где.

;; .

; .

Так как слагаемые — несовместные события, а события С_i — независимые (по условию), то можно применить «прямое» сложение и умножение вероятностей:

Условные вероятности при i=1 и 2, т.к. соответствующие события достоверны.

и.

Ответ: вероятность того, что отказали три блока, равна 0,0361.

Задача 4.27.

Вероятность того, что данный баскетболист забросит мяч в корзину, равна 0,95. Произведено десять бросков. Найти вероятность того, что будет девять попаданий.

Решение:

В результате каждого опыта наступает или не наступает событие — мяч попал в корзину. P (A)=p=0,95 следовательно, вероятность того, что мяч не попал:. Поскольку опыты независимы, то можно применить формулу Бернулли для определения вероятности того, что в n независимых опытах событие A произойдет ровно k раз:

т. е.

Ответ: вероятность того, что будет 9 попаданий составляет 0,3151.

Задача 5.27.

Дискретная случайная величина X может принимать одно из пяти фиксированных значений x1, x2, x3, x4, x5 с вероятностями р1, р2, р3, р4, р5 соответственно (табл.). Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины X. Рассчитать и построить график функции распределения.

Решение:

Математическое ожидание:

Второй начальный момент:

Дисперсия:

Функция распределения:

т. е.

Аналогично:

6.

Построим график F (x):

Ответ:

Задача 6.18.

Случайная величина Х задана плотностью вероятности.

Определить константу с, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал [1;2].

вариант.	ц (x, c).	a.	b.	б.	в.
6.18.

Решение:

Найдем функцию распределения.

Так как все значения, то при x=2 F (x)=1. Отсюда найдем с.

Окончательный вид функции распределения:

Определим вероятность попадания величины X на заданный отрезок:

Окончательный вид плотности вероятности:

Математическое ожидание:

Второй начальный момент:

Дисперсия:

Ответ: c=0,0547; m_x=1,75; D_x=0,0486; P=0,9922.

Задача 7.25.

Случайная величина X распределена равномерно на интервале .

Построить график случайной величины y=cos (2x) и определить вероятность g (y).

Решение:

График y=cos (2x):

Плотность случайной величины X:

Обратная функция:

однозначна на отрезке, а на отрезке она двузначна, т. е. ,.

Производная:

тогда на интервале [0,5;1]:

Общее выражение для плотности вероятности:

Задача 8.8.

Двухмерный случайный вектор (X, Y) равномерно распределен внутри выделенной области S. Двухмерная плотность вероятности f (x, y) одинакова для любой точки этой области S:

Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y.

Решение: математический статистика вероятность дисперсия Построим область S. Соединим последовательно точки с координатами из таблицы:

• -точку (x1;0)=(0;0) с точкой (x2;y2)=(0;2);
• -точку (x2;y2)=(0;2) с точкой (x4;y2)=(2;2);
• -точку (x4;y2)=(2;2) с точкой (x3;y1)=(2;1);
• -точку (x3;y1)=(2;1) с точкой (x5;y1)=(4;1);
• -точку (x5;y1)=(4;1) с точкой (x6;0)=(4;0);

Это соответствует многоугольнику с координатами X=(0;0;2;2;4;4), Y=(0;2;2;1;1;0).

Для решения задачи необходимо вычислить начальные моменты первого и второго порядков, т. е. m_x, m_y, M_2x, M_2y, M_xy, D_x, D_y, K_xy.

Область S представлена на рисунке.

Область S ограничена осями и прямыми:

• 1. y=2
• 2. x=2
• 3. y=1
• 4. y=4

Геометрически плотность вероятности величины (X;Y) можно представить прямоугольной призмой с основанием S и объемом равным единице.

Площадь области S (затемненной фигуры) равна, следовательно, высота призмы, а плотность вероятности величины (X;Y):

При интегрировании по области S рассмотрим два участка: 1) x изменяется от 0 до 2, y изменяется от 0 до 2; 2) x изменяется от 2 до 4, y изменяется от 0 до 1.

Определим m_x:

Определим m_y:

Определим M_xy:

Определим К_xy:

Определим M_2x:

Определим M_2y:

Определить D_x:

Определить D_y:

Тогда коэффициент корреляции r_xy будет:

Ответ: коэффициент корреляции r_xy=-0,3636.