ΠΡΡΠΎΡΠΈΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ
ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ XVII ΡΡΠΎΠ»Π΅ΡΠΈΡ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ²ΡΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ, ΡΡΠΈΠ»ΠΈΡΡ Π½Π° ΡΡΡΠ΄Π°Ρ ΠΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΄Π°. ΠΠΊΡΠΈΠ²Π½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ»ΡΡ ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ — ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π½Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΡΡ , ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π·Π°ΡΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΡΡ Π² ΠΡΠ΅Π²Π½Π΅ΠΉ ΠΡΠ΅ΡΠΈΠΈ (ΠΎΠ½ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΠΎΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Ρ Ρ Π°ΡΠΎΠΌΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ Π²ΠΎΠ·Π·ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΠ΅ΠΌΠΎΠΊΡΠΈΡΠ°). ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΡΡΠ°ΠΏΠ΅ΡΠΈΡ (ΡΠΈΡ. 1, Π°) ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ»ΠΈ ΡΠ΅Π±Π΅ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΎΠ² Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ f (Ρ ), ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌ ΡΠ΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅… Π§ΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΡ >
ΠΡΡΠΎΡΠΈΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ (ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Ρ, ΠΊΡΡΡΠΎΠ²Π°Ρ, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ)
ΠΡΡΠΎΡΠΈΡ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π° ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π° Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΡΡ. ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΡΡΠ΅ ΡΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΠ³ΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΡΠ΅Π²Π½Π΅ΠΉ ΠΡΠ΅ΡΠΈΠΈ ΠΈ Π ΠΈΠΌΠ° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π»ΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ Π½Π° Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Π΅ΠΉ. ΠΠ°ΡΠΈΠ½ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎ quadratura ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ «ΠΏΡΠΈΠ΄Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡ». ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΡ Π² ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π΅ ΠΎΠ±ΡΡΡΠ½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π² Π°Π½ΡΠΈΡΠ½oe Π²ΡΠ΅ΠΌΡ (ΠΈ ΠΏΠΎΠ·Π΄Π½Π΅Π΅, Π²ΠΏΠ»ΠΎΡΡ Π΄ΠΎ XVIII ΡΡΠΎΠ»Π΅ΡΠΈΡ) Π΅ΡΠ΅ Π½Π΅ Π±ΡΠ»ΠΈ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠ°Π·Π²ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π°Ρ . ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ Ρ ΠΈΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³Π°ΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π½Π΅Π»ΡΠ·Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ Π½Π° Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Π΅ΠΉ ΠΏΡΠΈΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΎΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠ°ΠΊ: «ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ, ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅Π»ΠΈΠΊΠΈΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ ΠΊΡΡΠ³Ρ». (ΠΡΠ° ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° «ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΡΡΠ΅ ΠΊΡΡΠ³Π°».
ΠΊΡΡΠ³Π°" Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ, Π±ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½Π° Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠΈΡΠΊΡΠ»Ρ ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠΊΠΈ.).
Π‘ΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ» Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ ΠΠ΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡΠ΅ΠΌ (1675 Π³.). ΠΡΠΎΡ Π·Π½Π°ΠΊ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π»Π°ΡΠΈΠ½ΡΠΊΠΎΠΉ Π±ΡΠΊΠ²Ρ S (ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ Π±ΡΠΊΠ²Ρ ΡΠ»ΠΎΠ²Π° summa). Π‘Π°ΠΌΠΎ ΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» ΠΏΡΠΈΠ΄ΡΠΌΠ°Π» Π―. Π Π΅ Ρ Π½ Ρ Π» Π» ΠΈ (1690 Π³.). ΠΠ΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎ, ΠΎΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΎΡ Π»Π°ΡΠΈΠ½ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ integro, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ Π² ΠΏΡΠ΅ΠΆΠ½Π΅Π΅ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅, Π²ΠΎΡΡΡΠ°Π½Π°Π²Π»ΠΈΠ²Π°ΡΡ. (ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ «Π²ΠΎΡΡΡΠ°Π½Π°Π²Π»ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π° ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ.) ΠΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π° ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» ΠΈΠ½ΠΎΠ΅: ΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎ integer ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ ΡΠ΅Π»ΡΠΉ.
Π Ρ ΠΎΠ΄Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠΊΠΈ Π. ΠΠ΅ΡΠ½ΡΠ»Π»ΠΈ ΠΈ Π. ΠΠ΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠΈΠ»ΠΈΡΡ Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π―. ΠΠ΅ΡΠ½ΡΠ»Π»ΠΈ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΆΠ΅, Π² 1696 Π³., ΠΏΠΎΡΠ²ΠΈΠ»ΠΎΡΡ ΠΈ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π²Π΅ΡΠ²ΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ-ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ (calculus integralis), ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π²Π²Π΅Π» Π. ΠΠ΅ΡΠ½ΡΠ»Π»ΠΈ.
ΠΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Ρ, ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΠΊ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΠΎΡΠ²ΠΈΠ»ΠΈΡΡ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π΄Π½Π΅Π΅. Π£ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π±Π»ΡΡΡΠ΅Π΅ΡΡ ΡΠ΅ΠΉΡΠ°Ρ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ»ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ°Π½Π½Π΅Π΅ «ΠΏΡΠΈΠΌΠΈΡΠΈΠ²Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ», ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π²Π²Π΅Π» ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆ (1797 Π³.). ΠΠ°ΡΠΈΠ½ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎ primitivus ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ «Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ»: F (x) = f (x) dx — Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ, ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½Π°Ρ) Π΄Π»Ρ f (x), ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΈΠ· F (x) Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.
Π ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΡΡ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (Ρ ) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ. ΠΡΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ Π²ΡΠ΄Π΅Π»ΠΈΠ» ΠΠ΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠ», ΡΡΠΎ Π²ΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΡ.
b
Π f (x) dx
a
Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ (ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π²Π΅Π» Π. Π€ΡΡΡΠ΅ (1768−1830), Π½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π» ΡΠΆΠ΅ ΠΠΉΠ»Π΅Ρ).
ΠΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π΄ΠΎΡΡΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΡΠ΅Π²Π½Π΅ΠΉ ΠΡΠ΅ΡΠΈΠΈ Π² ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ Π½Π° Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΡΡ (Ρ.Π΅. Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Π΅ΠΉ) ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΈΡ ΡΠΈΠ³ΡΡ, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΊΡΠ±Π°ΡΡΡ (Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΠΎΠ²) ΡΠ΅Π» ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Ρ Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° ΠΈΡΡΠ΅ΡΠΏΡΠ²Π°Π½ΠΈΡ, ΠΏΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΠ²Π΄ΠΎΠΊΡΠΎΠΌ ΠΠ½ΠΈΠ΄ΡΠΊΠΈΠΌ (ΠΎΠΊ. 408 — ΠΎΠΊ. 355 Π΄ΠΎ Π½.Ρ.). Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° ΠΠ²Π΄ΠΎΠΊΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π», Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ Π΄Π²ΡΡ ΠΊΡΡΠ³ΠΎΠ² ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΡ ΠΈΡ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ², Π° ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ° ΡΠ°Π²Π΅Π½ 1/3 ΠΎΠ±ΡΡΠΌΠ° ΡΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄ΡΠ°, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΆΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²ΡΡΠΎΡΡ.
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΠ²Π΄ΠΎΠΊΡΠ° Π±ΡΠ» ΡΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅Π½ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π½ ΠΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΄ΠΎΠΌ. ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΡΠ°ΠΏΡ, Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠ·ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΄Π°: 1) Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΊΡΡΠ³Π° ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π½ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ; 2) Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Π΅ΠΉ ΡΡΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ ΠΊ Π½ΡΠ»Ρ; 3) Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΊΡΡΠ³Π° ΠΎΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΡΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½.
Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° ΠΈΡΡΠ΅ΡΠΏΡΠ²Π°Π½ΠΈΡ, ΡΠ΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΄Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΠΎΡΡΡΠΎΡΠΌΠ½ΡΡ ΡΠΎΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ (Π² ΡΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π΅ Ρ ΠΏΡΠΈΠ²Π»Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΠΊΠΈ) ΠΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΄ ΡΠ΅ΡΠΈΠ» ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ. ΠΠ½ Π΄Π°Π» ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΡ ΡΠΈΡΠ»Π° (3.10/71<<3.1/7), Π½Π°ΡΠ΅Π» ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ°ΡΠ° ΠΈ ΡΠ»Π»ΠΈΠΏΡΠΎΠΈΠ΄Π°, ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΠ΅Π³ΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»Ρ ΠΈ Ρ. Π΄. Π‘Π°ΠΌ ΠΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΄ Π²ΡΡΠΎΠΊΠΎ ΡΠ΅Π½ΠΈΠ» ΡΡΠΈ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ: ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΆΠ΅Π»Π°Π½ΠΈΡ Π½Π° ΠΌΠΎΠ³ΠΈΠ»Π΅ ΠΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΄Π° Π²ΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ ΡΠ°Ρ, Π²ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΠΉ Π² ΡΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ (ΠΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΄ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π», ΡΡΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°ΡΠ° ΡΠ°Π²Π΅Π½ 2/3 ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΠ° ΡΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄ΡΠ°).
ΠΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΄ ΠΏΡΠ΅Π΄Π²ΠΎΡΡ ΠΈΡΠΈΠ» ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΠΈΠ΄Π΅ΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ. (ΠΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ Π±ΡΠ»ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ ΠΈΠΌ.) ΠΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΎΡΠ° ΡΡΡΡΡ Π»Π΅Ρ, ΠΏΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΈ ΠΈΠ΄Π΅ΠΈ Π½Π°ΡΠ»ΠΈ ΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π±ΡΠ»ΠΈ Π΄ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ Π΄ΠΎ ΡΡΠΎΠ²Π½Ρ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ XVII ΡΡΠΎΠ»Π΅ΡΠΈΡ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ²ΡΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ, ΡΡΠΈΠ»ΠΈΡΡ Π½Π° ΡΡΡΠ΄Π°Ρ ΠΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΄Π°. ΠΠΊΡΠΈΠ²Π½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ»ΡΡ ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ — ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π½Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΡΡ , ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π·Π°ΡΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΡΡ Π² ΠΡΠ΅Π²Π½Π΅ΠΉ ΠΡΠ΅ΡΠΈΠΈ (ΠΎΠ½ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΠΎΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Ρ Ρ Π°ΡΠΎΠΌΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ Π²ΠΎΠ·Π·ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΠ΅ΠΌΠΎΠΊΡΠΈΡΠ°). ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΡΡΠ°ΠΏΠ΅ΡΠΈΡ (ΡΠΈΡ. 1, Π°) ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ»ΠΈ ΡΠ΅Π±Π΅ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΎΠ² Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ f(Ρ ), ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌ ΡΠ΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ ΠΏΡΠΈΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π»ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ, ΡΠ°Π²Π½ΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π΅ f (Ρ ) dx. Π ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠΈ Ρ ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠ°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠΈΡΠ°Π»Π°ΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠΌΠΌΠ΅.
S = f (x) dx
a
Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Π΅ΠΉ. ΠΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ²Π°Π»ΠΎΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΎΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΠ΅ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ — Π½ΡΠ»ΠΈ, Π½ΠΎ Π½ΡΠ»ΠΈ ΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΠ΄Π°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅, ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π΅, Π΄Π°ΡΡ Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠΌΠΌΡ.
ΠΠ° ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΠΆΡΡΠ΅ΠΉΡΡ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΡΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ Π. ΠΠ΅ΠΏΠ»Π΅Ρ (1571−1630) Π² ΡΠ²ΠΎΠΈΡ ΡΠΎΡΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΡΡ «ΠΠΎΠ²Π°Ρ Π°ΡΡΡΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΡ».
Π ΠΈΡ. 1.
(1609 Π³.) ΠΈ «Π‘ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ Π²ΠΈΠ½Π½ΡΡ Π±ΠΎΡΠ΅ΠΊ» (1615 Π³.) ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠ» ΡΡΠ΄ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Π΅ΠΉ (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΠΈΠ³ΡΡΡ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ»Π»ΠΈΠΏΡΠΎΠΌ) ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΠΎΠ² (ΡΠ΅Π»ΠΎ ΡΠ°Π·ΡΠ΅Π·Π°Π»ΠΎΡΡ Π½Π° 6ecΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ½ΠΊΠΈΠ΅ ΠΏΠ»Π°ΡΡΠΈΠ½ΠΊΠΈ). ΠΡΠΈ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π±ΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½Ρ ΠΈΡΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π. ΠΠ°Π²Π°Π»ΡΠ΅ΡΠΈ (1598−1647) ΠΈ Π. Π’ΠΎΡΡΠΈΡΠ΅Π»Π»ΠΈ (1608−1647). Π‘ΠΎΡ ΡΠ°Π½ΡΠ΅Ρ ΡΠ²ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π² Π½Π°ΡΠ΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΉ Π. ΠΠ°Π²Π°Π»ΡΠ΅ΡΠΈ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏ, Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΈΠΌ ΠΏΡΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΡ .
ΠΡΡΡΡ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΠΈΠ³ΡΡΡ, ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ 1, Π±, Π³Π΄Π΅ ΠΊΡΠΈΠ²ΡΠ΅, ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΈΠ²Π°ΡΡΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ³ΡΡΡ ΡΠ²Π΅ΡΡ Ρ ΠΈ ΡΠ½ΠΈΠ·Ρ, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ.
y = f (x) ΠΈ y=f (x)+c.
ΠΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡ ΡΠΈΠ³ΡΡΡ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· «Π½Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΡΡ », ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ ΠΠ°Π²Π°Π»ΡΠ΅ΡΠΈ, Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ½ΠΊΠΈΡ ΡΡΠΎΠ»Π±ΠΈΠΊΠΎΠ², Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π²ΡΠ΅ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΠ±ΡΡΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Ρ. ΠΠ΅ΡΠ΅Π΄Π²ΠΈΠ³Π°Ρ ΠΈΡ Π² Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ b-Π° ΠΈ Π²ΡΡΠΎΡΠΎΠΉ Ρ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠ°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, Ρ. Π΅.
S = S1 = c (b — Π°).
ΠΠ±ΡΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏ ΠΠ°Π²Π°Π»ΡΠ΅ΡΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Π΅ΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΈΡ ΡΠΈΠ³ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊ: ΠΡΡΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΡΠΊΠ° ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡ ΡΠΈΠ³ΡΡΡ Π€1 ΠΈ Π€2 ΠΏΠΎ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ°ΠΌ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ (ΡΠΈΡ. 1, Π²). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΡΠΈΠ³ΡΡ Π€1 ΠΈ Π€2 ΡΠ°Π²Π½Ρ.
ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π² ΡΡΠ΅ΡΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ ΠΈ ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΡΠΌ ΠΏΡΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΠΎΠ².
Π XVII Π². Π±ΡΠ»ΠΈ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Π½Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠΊΡΡΡΠΈΡ, ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΠΊ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ. Π’Π°ΠΊ, Π. Π€Π΅ΡΠΌΠ° ΡΠΆΠ΅ Π² 1629 Π³. Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΡΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ Ρ = Ρ n, Π³Π΄Π΅ ΠΏ — ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ (Ρ.Π΅. ΠΏΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Ρ Π²ΡΠ²Π΅Π» ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Ρ ndx = (1/n+1) Ρ n+1), ΠΈ Π½Π° ΡΡΠΎΠΉ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ ΡΠ΅ΡΠΈΠ» ΡΡΠ΄ Π·Π°Π΄Π°Ρ Π½Π° Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅Π½ΡΡΠΎΠ² ΡΡΠΆΠ΅ΡΡΠΈ. Π. ΠΠ΅ΠΏΠ»Π΅Ρ ΠΏΡΠΈ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄Π΅ ΡΠ²ΠΎΠΈΡ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠ² Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ»Π°Π½Π΅Ρ ΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π»ΡΡ Π½Π° ΠΈΠ΄Π΅Ρ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ. Π. ΠΠ°ΡΡΠΎΡ (1630−1677), ΡΡΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΡΡΡΠΎΠ½Π°, Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΡΠ΅Π» ΠΊ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΡ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ. ΠΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π»ΠΈ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ΄ΠΎΠ².
ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈ Π²ΡΠ΅ΠΉ Π·Π½Π°ΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠ², ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠ΅Π·Π²ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ XVII ΡΡΠΎΠ»Π΅ΡΠΈΡ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π΅ΡΠ΅ Π½Π΅ Π±ΡΠ»ΠΎ. ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ Π²ΡΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΎΠ±ΡΠΈΠ΅ ΠΈΠ΄Π΅ΠΈ Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ Π² ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡ ΡΠ²ΡΠ·Ρ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, Π΄Π°ΡΡΡΡ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΉ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ. ΠΡΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Π»ΠΈ ΠΡΡΡΠΎΠ½ ΠΈ ΠΠ΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ, ΠΎΡΠΊΡΡΠ²ΡΠΈΠ΅ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎ Π΄ΡΡΠ³ ΠΎΡ Π΄ΡΡΠ³Π° ΡΠ°ΠΊΡ, ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΡΡΡΠΎΠ½Π° — ΠΠ΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡΠ°. Π’Π΅ΠΌ ΡΠ°ΠΌΡΠΌ ΠΎΠΊΠΎΠ½ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΡΠΎΡΠΌΠΈΠ»ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄. ΠΡΠ΅Π΄ΡΡΠΎΡΠ»ΠΎ Π΅ΡΠ΅ Π½Π°ΡΡΠΈΡΡΡ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΡΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Π΄Π°ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Ρ. ΠΏ. ΠΠΎ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΆΠ΅ Π±ΡΠ»ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Π½ΠΎ: Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π½ΠΎ.
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° Π°ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΠΎ ΡΠ°Π·Π²ΠΈΠ²Π°Π»ΠΈΡΡ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎΠ»Π΅ΡΠΈΠΈ (Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΠΎΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π½Π°Π·Π²Π°ΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π° Π. ΠΠΉΠ»Π΅ΡΠ°, Π·Π°Π²Π΅ΡΡΠΈΠ²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΠΈ Π. ΠΠ΅ΡΠ½ΡΠ»Π»ΠΈ). Π ΡΠ°Π·Π²ΠΈΡΠΈΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅ ΡΡΡΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ Π. Π. ΠΡΡΡΠΎΠ³ΡΠ°Π΄ΡΠΊΠΈΠΉ (1801−1862), Π. Π―. ΠΡΠ½ΡΠΊΠΎΠ²ΡΠΊΠΈΠΉ (1804−1889), Π. Π. Π§Π΅Π±ΡΡΠ΅Π² (1821−1894). ΠΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π»ΠΈ, Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π§Π΅Π±ΡΡΠ΅Π²Π°, Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Ρ, Π½Π΅ Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΠΌΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
Π‘ΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π° ΠΏΠΎΡΠ²ΠΈΠ»ΠΎΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π² ΠΏΡΠΎΡΠ»ΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΠ΅. Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ΠΎ Ρ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π°ΠΌΠΈ Π. ΠΠΎΡΠΈ, ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· ΠΊΡΡΠΏΠ½Π΅ΠΉΡΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ², Π½Π΅ΠΌΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π. Π ΠΈΠΌΠ°Π½Π° (1826−1866), ΡΡΠ°Π½ΡΡΠ·ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° Π. ΠΠ°ΡΠ±Ρ (1842−1917).
ΠΡΠ²Π΅ΡΡ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ, ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΠ΅ Ρ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Π΅ΠΉ ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΠΎΠ² ΡΠΈΠ³ΡΡ, Π±ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Ρ Ρ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π. ΠΠΎΡΠ΄Π°Π½ΠΎΠΌ (1838−1922) ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΌΠ΅ΡΡ.
Π Π°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π° ΡΠΆΠ΅ Π² Π½Π°ΡΠ°Π»Π΅ Π½Π°ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΠ»Π΅ΡΠΈΡ Π±ΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ ΡΡΠ°Π½ΡΡΠ·ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π. ΠΠ΅Π±Π΅Π³ΠΎΠΌ (1875−1941) ΠΈ Π. ΠΠ°Π½ΠΆΡΠ° (1884−1974), ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠΊΠΈΠΌ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠΌ Π. Π―. Π₯ΠΈΠ½ΡΠΈΠ½ΡΠΈΠ½ΡΠΌ (1894−1959).