Пространство элементарных событий и вероятность

Пространство элементарных событий удобно представлять через результаты экспериментов, где под экспериментом понимается процедура, с помощью которой эти результаты наблюдаются. Во время эксперимента — реального или мыслимого — реализуется некоторый комплекс условий, создаваемый искусственно или осуществляющийся независимо от воли экспериментатора. Эксперимент задан, если заданы его условия и определены события, наступление или ненаступление которых следует наблюдать.

Эксперименты естественным образом делятся на два класса. В случае, если результаты экспериментов заранее предсказуемы, исходя из естественнонаучных законов, мы имеем дело с классом детерминированных экспериментов. Другой класс — случайных или вероятностных экспериментов — характеризуется тем, что при выполнении одних и тех же условий возможно наступление исключающих друг друга событий. И именно теоретическое изучение таких экспериментов и составляет основное содержание теории вероятностей.

Например, известный французский естествоиспытатель Ж. Бюффон проделал 4040 раз эксперимент, связанный с подбрасыванием монеты, при этом 2048 раз выпал «герб». В аналогичных экспериментах, проделанных одним из основателей биометрии К. Пирсоном 12 и 24 тысячи раз (!), выпадение «герба» было зафиксировано соответственно 6019 и 12 012 раз. (С использованием достаточно простой компьютерной программы каждый желающий может проделать такие эксперименты за считанные секунды и сравнить полученные таким образом результаты с классическими). Именно такие эксперименты при всей их кажущейся простоте и «приземленности» позволили сформулировать и проверить решения ряда задач, стимулировавших появление теории вероятностей.

Приведем еще несколько примеров возможных случайных экспериментов.

Растение, полученное при перекрестном опылении двух сортов, наследует по каждому признаку гены обоих родителей. Можно утверждать, что в каждом семени в зависимости от доминантности (проявлении во внешних признаках) или рецессивности (непроявлении в этих признаках) родительских сортов реализуется одна из трех комбинаций: доминантный-доминантный, доминантный-рецессивный, рецессивный-рецессивный. Заранее предсказать, как гены скомбинированны в конкретном семени, невозможно. Следовательно, такой опыт можно рассматривать как случайный эксперимент.

Участники международной встречи говорят на четырех языках. Причем есть такие, которые владеют только родным языком, но есть и такие, которые говорят на двух и трех иностранных языках. Если в лифте встречаются два участника этой встречи, то смогут ли они обойтись без переводчика, если надумают пообщаться друг с другом? Здесь мы также имеем дело со случайным экспериментом.

Итак, событие — результат эксперимента, его исход. Если исход только один, то мы имеем дело с элементарным событием. Рассмотрим множество всех событий S, наблюдаемых в случайном эксперименте.

Определение. Достоверным называется такое событие, которое обязательно произойдет в эксперименте.

Пример. Выпадение не более 6 очков при бросании игральной кости.

Определение. Невозможным называется такое событие, которое не может произойти в эксперименте.

Пример. Выпадение 7 очков при бросании игральной кости.

Определение. Случайным называется такое событие, которое может произойти в эксперименте, а может и не произойти.

Пример. Выпадение любого числа очков от 1 до 6 при бросании игральной кости.

Определение. Противоположными (A и) называются пара событий, для которых справедливо, что A наступает, когда не наступает, и наоборот.

Пример. Если A выпадение четного числа {2,4,6} при бросании игральной кости, то — выпадение нечетного числа {1,3,5}.

Некоторые события могут быть представлены в виде комбинаций элементарных событий. Наиболее простые комбинации, к которым может быть сведено большинство других, это сумма и произведение событий.

Определение. События A и B называются несовместными, если появление в результате эксперимента события A исключает появление события B.

Определение. События называются попарно несовместными (или просто несовместными), если появление каждого из них исключает появление каждого из остальных.

Пример. Выпадение конкретного числа очков при бросании игральной кости исключает выпадение любого другого числа очков.

Определение. Несколько событий образуют полную группу тогда и только тогда, когда их сумма есть достоверное событие.

Пример. При бросаниях игральной кости происходят три следующих события: A={1,2}; B={2,3,4}; C={4,5,6}, образующие полную группу событий, так как A+B+C={1,2,3,4,5,6} - есть событие достоверное.

Другими словами, в результате эксперимента произойдет непременно хотя бы одно из этих событий.

Теперь рассмотрим проблему построения правил количественного измерения неопределенности появления случайных событий и их комбинаций.

Множество всех элементарных событий будем обозначать через S. Тогда каждой точке этого множества можно поставить в соответствие некоторое число, которое называется вероятностью элементарного события и обозначается. Эти вероятности должны быть неотрицательными и удовлетворять условию.

(1).

где сумма распространяется на все точки пространства элементарных событий S.

Если теперь произошло событие E, заключающееся в том, что наступает одно из благоприятствующих E элементарных событий или, или или…, или то по определению.

(2).

В частном случае, когда.

(3).

Это соотношение часто называют классическим определением вероятности. В соответствии с формулой (3) вероятность события E равна отношению числа k благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов. Это отношение заключено в пределах .

Следует обратить особое внимание на то, что формула (3) справедлива только в случае с равновозможными исходами. Пренебрежение этим требованием приводило к ошибкам при решении простых вероятностных задач даже таких знаменитых математиков, как Г. Лейбниц и Ж. Даламбер. Речь идет о задачах, связанных с бросанием правильной игральной кости и обычной монеты.

Если бросается правильная игральная кость, то любая из граней 1,2,3,4,5 или 6 имеет одинаковые шансы оказаться наверху. Если бросаются две кости, то сумма очков на двух гранях, оказавшихся наверху, заключена между 2 и 12. Суммы 9 и 10 из чисел от 1 до 6 можно получить двумя разными способами: 9=3+6=4+5, а 10=4+6=5+5. Если бросаются три кости, то и сумма в 9 очков, и сумма в 10 очков получаются шестью разными способами. Почему же тогда, как показали многочисленные эксперименты, сумма 9 появляется чаще, когда бросают две кости, а 10, когда три?

Эти результаты можно объяснить следующим образом. В случае двух костей сумму равную девяти можно получить следующим образом: 9=6+3=3+6=4+5=5+4, т. е. девятка «выбрасывается» четырьмя различными способами. Десятка же при бросании двух костей получается только тремя способами: 10=4+6=6+4=5+5. Таким образом, шансы «выбросить» 9 выше, чем 10 (4/36 — для 9, против 3/36 — для 10). Если продолжить рассмотрение этой задачи для случая с тремя костями, то результат получается противоположный: 9 можно «выбросить» 25 способами, а 10 — 26 способами.

Кажущийся парадокс связан с тем, что события, связанные с выпадением значений на гранях игральных костей для получения сумм в 9 и 10, не равновозможны.

Другой хрестоматийный пример — ошибка Ж. Даламбера, попавшая даже во французскую энциклопедию, также связанная с неучетом порядка выпадения разных сторон монеты при проведении экспериментов. Ответ Ж. Даламбера на вопрос о вероятности выпадения «герба» (Г) хотя бы один раз при двух бросаниях монеты, гласил — 2/3. Вероятно, он считал, что при двух бросаниях монеты возможны три следующих исхода: Г-Г, Г-" решетка" (Р), Р-Р и среди них только последний является неблагоприятным. На самом же деле для того, чтобы исходы были равновозможными необходимо учитывать, что помимо исхода Г-Р, возможен и исход Р-Г. С учетом этого искомая вероятность равна ¾.

(Заметим в скобках, что ошибаются и знаменитые математики. Это утешает простых смертных, но не избавляет от необходимости повышенного внимания к определениям при решении даже простых вероятностных задач.).

Другое, частотное определение вероятности может быть получено из следующих рассуждений. Пусть в случайном эксперименте реализуется событие B. Выполним эксперимент многократно (N раз) и подсчитаем сколько раз событие B произошло. Обозначим это число через. Отношение называют относительной частотой появления события B в N испытаниях. Было постулировано, что существует константа p (B), около которой группируются относительные частоты, вычисленные по различным сериям экспериментов. Эта величина и служит в качестве вероятности события B. И хотя доказать справедливость принятой гипотезы невозможно, практика показывает, что такой подход приемлем.

На рис. 1 приведены результаты имитационного моделирования бросания монеты и подсчета доли выпадения герба при N бросаниях. Видно, что по мере увеличения N вычисленные значения частоты выпадения герба стабилизируются вокруг значения 0,5, которое и может быть принято в качестве вероятности выпадения герба при случайном бросании правильной монеты.

Наконец, существует и третий аксиоматический подход к определению вероятностей, введенный А. Н. Колмогоровым. Следует сразу оговориться, что если классическое и частотное определения вероятности интуитивно понятны, то строгое аксиоматическое обоснование теории вероятностей требует более основательной математической подготовки, чем предполагается у читателя этой книги, поэтому ограничимся лишь словесными формулировками следующих основных аксиом.

• 1. Вероятность есть действительное число, заключенное между нулем и единицей
• 2. Вероятность достоверного события, т. е. события, появляющегося при каждом эксперименте, равна 1.
• 3. Вероятность появления хотя бы одного из двух несовместных событий

P (A+B)=P (A)+P (B).