Средние величины. 
Статистика

В статистике большое значение имеют средние величины.

Совокупность, изучаемая по количественному признаку, состоит из индивидуальных значений; на них оказывают влияние как общие причины, так и индивидуальные условия. Простейшее обобщение любого набора данных представляет собой единственное число, которое наилучшим образом представляет все значения набора данных. Такое число можно было бы назвать типическим значением для данного набора данных. В нем отклонения, характерные для индивидуальных значений, погашаются; являясь функцией множества индивидуальных значений, это число представляет всю совокупность и отражает то общее, что присуще всем ее единицам.

Средняя величина — это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления в конкретных условиях места и времени.

Практическое значение средних величин как обобщающих характеристик явлений и процессов чрезвычайно широко. В средних величинах отражаются важнейшие показатели товарооборота, товарных запасов, цен. Средними величинами характеризуются качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др.

Например, фирма интересуется, сколько в целом тратят на медицинские товары жители города. Анализ случайной выборки из 500 человек, живущих в городе, показал, что в прошлом квартале каждый из них потратил в среднем 350 руб. Естественно, кто-то потратил больше, кто-то меньше этого среднего значения. Вместо того чтобы работать со всеми индивидуальными значениями (со всеми 500 числами), мы используем среднее для определения типического значения индивидуальных расходов каждого потребителя. Оценка затрат на медицинские товары жителей города может быть определена как произведение среднего значения расходов одного человека из выборки на численность населения города. Таким образом получают прогноз суммарных продаж, который является приемлемым и, вероятно, полезным. Понятно, что этот прогноз не является точным. В гл. 7 будет рассмотрено, как учитывать статистическую ошибку, возникающую при распространении результата, полученного для выборки, на все население.

Типичность средней непосредственным образом связана с однородностью статистической совокупности. Средняя величина только тогда будет отражать типичный уровень признака, когда она рассчитана по качественно однородной совокупности. Так, если мы рассчитаем средний курс по акциям всех предприятий, реализуемых в данный день на данной бирже, то получим фиктивную среднюю. Это будет объясняться тем, что используемая для расчета совокупность является крайне неоднородной. В этом и подобных случаях метод средних используется в сочетании с методом группировок: если совокупность неоднородна — общие средние должны быть заменены или дополнены групповыми средними, т. е. средними, рассчитанными по качественно однородным группам.

Общая средняя — средняя, рассчитанная по совокупности в целом.

Групповая средняя — средняя, исчисленная для каждой группы. Она характеризует размер явления, наблюдаемого в конкретных условиях.

Среднее значение можно назвать типическим значением для данного набора данных. Если не все значения в наборе данных одинаковы, то мнения о «наиболее типическом» могут быть разными. Существуют следующие виды такой обобщающей меры:

• • степенные средние;
• • структурные средние.

Первая категория степенных средних включает следующие виды средних:

• • средняя арифметическая;
• • средняя гармоническая;
• • средняя геометрическая;
• • средняя квадратическая, кубическая и т. д.

Перечисленные средние величины можно рассчитать по общей формуле средней степенной (при различной величине &):

где х — средняя степенная; к — показатель степени, позволяющий определить вид средней; x_t — вариант (значение, которое принимает признак); fi — частота, или статистический вес варианта.

При подстановке в формулу (4.2) значения k — 1 получается средняя арифметическая, значения k = -1 — средняя гармоническая, значения k = 0 — средняя геометрическая, значения k — 2 — средняя квадратическая и т. д.

Средние арифметическая, гармоническая и квадратическая будут подробно рассмотрены в гл. 5.

Получим формулу средней геометрической простой, подставив в фор;

' Ж мулу х= —-, значение k = О¹:

V п

Для того чтобы раскрыть неопределенность этого вида, прологарифмируем обе части формулы степенной средней (4.2):

Если подставить в это равенство значение k = 0, получим неопределенность вида —. Используем правило Лопиталя (при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных) и продифференцируем отдельно числитель и знаменатель по переменной к. Получим:

Следовательно, при к — О Потенцируя, находим:

Полученная формула и является средней геометрической простой. Расчет средней геометрической взвешенной осуществляется по формуле:

Наиболее широкое применение этот вид средней получил в анализе динамики для определения среднего темпа роста, что будет рассмотрено в соответствующей главе.

Правило мажорантное™ средних величин следующее:

Теория статистики: учебник / под редакцией проф. Г. Л. Громыко. М.: ИНФРА-М, 2000. С. 65.

Вторая категория — структурные средние. Среди них наиболее распространены мода и медиана. Если же возникает необходимость изучить структуру ряда более подробно, вычисляют квантили, или градиенты. Квартили, квинтили, децили — частные случаи квантилей.

При осреднении уровней динамических рядов применяются различные виды средней хронологической.

Более подробно средние величины будут рассмотрены в последующих главах (степенные и структурные средние — в гл. 5, средние хронологические — в гл. 6).