Расчет тонкостенных сосудов и резервуаров

Расчет тонкостенных сосудов и резервуаров Если толщина стенок цилиндра мала по сравнению с радиусами и, то известное выражение для тангенцальных напряжений приобретает вид.

т. е. величину, определенную нами раньше (§ 34).

Для тонкостенных резервуаров, имеющих форму поверхностей вращения и находящихся под внутренним давлением р, распределенным симметрично относительно оси вращения, можно вывести общую формулу для вычисления напряжений.

Выделим (Рис.1) из рассматриваемого резервуара элемент двумя смежными меридиональными сечениями и двумя сечениями, нормальными к меридиану.

Рис. 1. Фрагмент тонкостенного резервуара и его напряженное состояние.

Размеры элемента по меридиану и по перпендикулярному к нему направлению обозначим соответственно и, радиусы кривизны меридиана и перпендикулярного к нему сечения обозначим и, толщину стенки назовем t.

По симметрии по граням выделенного элемента будут действовать только нормальные напряжения в меридиальном направления и в направлении, перпендикулярном к меридиану. Соответствующие усилия, приложенные к граням элемента, будут и. Так как тонкая оболочка сопротивляется только растяжению, подобно гибкой нити, то эти усилия будут направлены по касательной к меридиану и к сечению, нормальному к меридиану.

Усилия (Рис.2) дадут в нормальном к поверхности элемента направлении равнодействующую ab, равную.

Рис. 2. Равновесие элемента тонкостенного резервуара.

Подобным же образом усилия дадут в том же направлении равнодействующую Сумма этих усилий уравновешивает нормальное давление, приложенное к элементу.

Отсюда.

Это основное уравнение, связывающее напряжения и для тонкостенных сосудов вращения, дано Лапласом.

Так как мы задались распределением (равномерным) напряжений по толщине стенки, то задача статически определима; второе уравнение равновесия получится, если мы рассмотрим равновесие нижней, отрезанной каким-либо параллельным кругом, части резервуара.

Рассмотрим случай гидростатической нагрузки (рис.3). Меридиональную кривую отнесем к осям х и у с началом координат в вершине кривой. Сечение проведем на уровне у от точки О. Радиус соответствующего параллельного круга будет х.

Рис. 3. Равновесие нижнего фрагмента тонкостенного резервуара.

напряжение резервуар давление вращение Каждая пара усилий, действующих на диаметрально противоположные элементы проведенного сечения, дает вертикальную равнодействующую bс, равную сумма этих усилий, действующих по всей окружности проведенного сечения, будет равна; она будет уравновешивать давление жидкости на этом уровне плюс вес жидкости в отрезанной части сосуда .

Отсюда.

Зная уравнение меридиональной кривой, можно найти, х и для каждого значения у, и стало быть, найти, а из уравнения Лапласа и.

Например, для конического резервуара с углом при вершине, наполненного жидкостью с объемным весом у на высоту h, будем иметь:

Тогда.

Для сферического сосуда радиусом, находящегося под внутренним давлением, по симметрии; тогда из уравнения (Лапласа), так как.

и.

Если меридиональная кривая будет иметь переломы с разрывом непрерывности угла, то равновесие тонкой оболочки у места перелома может быть обеспечено лишь наличием реакций, приложенных к оболочке по окружности в этом месте. Появление таких реакций обеспечивается устройством специальных колец, способных брать на себя усилия, возникающие в них в связи с неуравновешенностью напряжений по обе стороны точки перелома.