Вычисление погрешности функции от n аргументов

Пусть задана некоторая функция у = f(x1, x2,.. ., хn), от n аргументов xl, x2,. . ., хп и пусть значения каждого из аргументов xi, определены с некоторыми погрешностями |Дxi|, i = 1, 2, … n. Требуется найти погрешность данной функции.

Для решения этой задачи будем предполагать, что функция у = f(x1; xz,.. ., хn) является дифференцируемой в некоторой области D. Абсолютная погрешность (Дy) функции у при заданных абсолютных погрешностях |Дx1|, |Дx2|, …, |Дxn| аргументов x1; x2,.. ., хn равна.

. (1.13).

Предполагая, что величины |Дxi|, i = 1, 2, … n достаточно малы, можно записать приближенные равенства |Дy| |dy|.

.

Следовательно, предельная абсолютная погрешность Дy функции y равна.

(1.14).

где |Дxi| - предельная абсолютная погрешность аргумента xi.

Оценка для относительной погрешности функции получается путем деления обеих частей неравенства (1.13) на |у|.

. (1.15).

Из формулы (1.15) получаем выражение для предельной относительной погрешности функции у

. (1.16).

Рассмотрим отдельные частные примеры на вычисление погрешностей основных функциональных соотношений. Будем предполагать, что в каждом примере заданы те или иные погрешности аргументов.

Погрешность суммы. Пусть у = x1 + x2 +.. .+ хn. По формуле (1.14) предельная абсолютная погрешность суммы n слагаемых равна Дy = |Дx1| + |Дx2| +…+ |Дxn|. (1.17).

Из формулы (1.17) следует, что предельная абсолютная погрешность суммы не может быть меньше предельной абсолютной погрешности наименее точного (в смысле абсолютной погрешности) из слагаемых, т. е. слагаемого, имеющего максимальную абсолютную погрешность. Следовательно, с какой бы степенью точности ни были определены остальные слагаемые, мы не можем за их счет увеличить точность суммы. Поэтому не имеет смысла сохранять излишние знаки и в более точных слагаемых. Отсюда вытекает следующее, обычно применяемое, практическое правило для сложения приближенных чисел.

Правило. Чтобы сложить числа различной абсолютной точности, следует:

• 1. выделить числа, десятичная запись которых обрывается ранее других, и оставить их без изменения;
• 2. остальные числа округлить по образцу выделенных, сохраняя один запасной десятичный знак;
• 3. произвести сложение данных чисел, учитывая все сохраненные знаки;
• 4. полученный результат округлить на один знак.

Пример. Найти сумму приближенных чисел: 0,348; 0,1834; 345,4; 235,2; 11,75; 9,27; 0,0849; 0,0214; 0,354, каждое из которых имеет все верные значащие цифры.

Выделяем числа наименьшей точности 345,4 и 235,2, абсолютная погрешность которых может достигать 0,1. Округляя остальные числа с точностью до 0,01, получим:

345,4 + 235,2 + 11,75 + 9,27 + 0,35 + 0,18 + 0,08 + 0,02 + 0.00 = 602,25.

Округляя результат до 0,1 по правилу четной цифры, получим приближенное значение суммы 602,2.

Полная погрешность Д результата складывается из трех слагаемых:

· суммы предельных погрешностей исходных данных Д1 = 10−3 + 10−4 + 10−1 + 10−1 + 10−2+ 10−2 + 10−4 + 10−4 + 10−6 = 0,221 301 < 0,222;

· абсолютной величины суммы ошибок (с учетом их знаков) округления слагаемых Д2 = |-0,002 + 0,0034 + 0,0049 + 0,0014+0,354| = 0,8 054 < 0,009;

· заключительной погрешности округления результат: Д3 = 0,050.

Следовательно, Д = Д1 + Д2 + Д3 < 0,222 + 0,009 + 0,050 = 0,281 < 0,3; и, таким образом, искомая сумма есть 602,2 ± 0,3.

Погрешность разности. Пусть.

у = x1 — x2.

По формуле (1.14) предельная абсолютная погрешность разности двух чисел равна Дy = |Дx1| + |Дx2|.

Отсюда предельная относительная погрешность разности.

(1.18).

где А — точное значение абсолютной величины разности чисел xl и х 2.

Замечание. Если приближенные числа х 1 и х 2 достаточно близки друг к другу и имеют малые абсолютные погрешности, то число А мало. Из формулы (1.18) вытекает, что предельная относительная погрешность в этом случае может быть весьма большой, в то время как относительные погрешности уменьшаемого и вычитаемого остаются малыми, т. е. здесь происходит потеря точности.

Пример. Вычислим разность двух чисел: x1 = 47,132 и x2 = 47,111, каждое из которых имеет пять верных знаков. Вычитая, получим y = 47,132 — 47.111=0,021.

Таким образом, разность y имеет лишь две значащие цифры, из которых последняя сомнительна, так как предельная абсолютная погрешность разности Дy = 0,0005 + 0,0005 = 0,001.

Предельные относительные погрешности вычитаемого, уменьшаемого и разности:

;; .

Предельная относительная погрешность разности здесь примерно в 5000 раз больше предельных относительных погрешностей исходных данных.

Исходя из вышесказанного, получаем следующее практическое правило: при приближенных вычислениях следует по возможности избегать вычитания двух почти равных приближенных чисел; если же в силу необходимости приходится вычитать такие числа, то следует уменьшаемое и вычитаемое брать с достаточным числом запасных верных знаков.

Погрешность произведения. Пусть.

у = ,.

причем xi, (i = 1, 2, … n) положительны. В соответствии с формулой (1.16) проведем преобразования с целью получения выражения для предельной относительной погрешности произведения n сомножителей.

дy = .

Правило. Чтобы найти произведение нескольких приближенных чисел с различным числом верных значащих цифр, достаточно округлить их так, чтобы каждое из них содержало на одну значащую цифру больше, чем число верных цифр в наименее точном из сомножителей; в произведении следует сохранить столько значащих цифр, сколько верных цифр имеется в наименее точном из сомножителей.

Пример. Найти произведение приближенных чисел х 1 = 2,5 и x2 = 72,397, верных в написанных знаках.

Применяя правило, после округления имеем х 1 = 2,5 и x2 = 72,4.

Отсюда х 1×2 = 2,5Ч72,4 = 181 1,8 102.

Погрешность частного. Пусть.

у = .

По формуле (1.16) предельная относительная погрешность частного равна:

дy =.

Погрешность степени. Пусть.

у = xn. Тогда ln y = n ln x

и относительная погрешность степени равна:

дy = nдx.

Погрешность корня.

Пусть у = . Следовательно, ln у = ln x

и относительная погрешность корня равна:

дy = дx.