Кинематический вывод преобразований Галилея

Введём теперь, рассуждая совершенно аналогично тому, как мы это делали при выводе формул преобразований Лоренца, формулы преобразований Галилея, изменив процедуры построения полей времени в инерциальных системах отсчета K и K '.

Построение полей времени в системах отсчета K и K '. Будем теперь считать, что в системе отсчёта K среда, возбуждениями которой является свет, покоится. Тогда относительно системы отсчёта K' эта Среда будет двигаться со скоростью u в отрицательном направлении оси x'

Процедуру построения локальных времён и синхронизации часов в системе отсчёта K оставим прежней. Но процедуру построения локальных времён в системе отсчёта K' изменим. При синхронизации часов, помещённых в точке M, но оси x' с координатой x'M>0, с помощью короткого импульсного светового сигнала, выпущенного из начала координат x' = 0 в начальный момент времени t' = 0, в момент прихода сигнала в точку M, на часах в точке M теперь поставим не время r/c, где r — расстояние между O и M, а время.

r.

c + u.

Аналогично поступим с точкой M на оси x' с координатой x'M<0. В ней на часах в момент прихода сигнала поставим время.

r.

c — u.

Основные соотношения. Рассмотрим снова три мгновенных точечных события. В системе отсчёта K они выглядят следующим образом. В точке x1 на оси x в момент t'1 пусть испускается короткий световой импульс в положительном направлении оси x. В момент t'2 пусть он приходит в точку x2 на оси x, отражается в ней и в момент t'3 возвращается в точку x1, так что x1 = x3.

Согласно принятым процедурам построения полей времени в системах отсчета K и K ', имеем теперь следующие шесть основных соотношений:

которое удовлетворяется при любых значениях независимых переменных и x1, x2 и t1. Чтобы разрешить это функциональное уравнение, продифференцируем его по x2 и получим из него продифференцированное функциональное уравнение:

Положим в этом уравнении. x1 = x2 = x & t1 = t. Придем к уравнению так что имеем очень простое дифференциальное уравнение Или для определения вида функции .

Общее решение последнего уравнения имеет вид.

где F — произвольная функция. Подставим эту формулу в приведенное выше продифференцированное функциональное уравнение. Учтем, что.

и поэтому получим соотношение Так как-то приходим к следующему уравнению.

справедливому при любых значениях x1, x2, t1. Аргументы функций в правой и левой частях принимают произвольные значения при произвольных x1, x2, t1. Следовательно,.

а потому, игнорируя получаем где и — некоторые пока не определенные постоянные.

Составим теперь функциональное уравнение для функции. Имеем где G — произвольная функция. Вычитая первое уравнение из третьего уравнения и сравнивая полученный результат со вторым уравнением, получаем соотношение Следовательно,.

Или Отсюда непосредственно приходим к следующему основному функциональному уравнению для функции :

Разрешим это уравнение, для чего сначала продифференцируем его по x2. Тогда получим уравнение Полагая в этом последнем уравнении и, приходим к дифференциальному уравнению или совсем простому уравнению Следовательно,.

Подставив эту формулу для в приведенное выше продифференцированное функциональное уравнение. Получим Следовательно,.

Так как величины совершенно произвольны, то аргументы функций G в правой и левой частях могут принимать совершенно произвольные значения. Поэтому, а следовательно,.

где — пока произвольные постоянные.

Определение констант Мы получили следующие формулы преобразования координат и времен мгновенного точечного события:

Найдем константы начнем с того, что выставим требование о согласовании начал отчетов координат и времени в обеих системах отсчета и .

Требование 1. Событие, имеющее координаты 0, 0 в системе отсчета, имеет координаты 0, 0 в системе отсчета, и наоборот.

Следовательно, в приведенных формулах и формулы преобразования приобретают следующий вид:

Приведенные формулы преобразования мы получили как следствия наших шести основных соотношений. В них входят пока не определенные нами величины и.

Подставив эти формулы преобразования обратно в исходные шесть соотношений, мы можем найти ограничения на константы и. Так, собственно говоря, и получается. Действительно, имеем равенства.

Как видим, чтобы эти равенства выполнялись, необходимо потребовать, чтобы константы и были равны друг другу:

Таким образом, искомые формулы преобразования координат мгновенного точечного события имеют вид где — пока не определенная константа.

Как и в случае преобразований Лоренца, воспользуемся тем, что у нас имеется произвол в выборе единиц измерения либо длинны, либо времени в обеих системах отсчета и. Чтобы фиксировать указанный произвол, выставим дополнительное требование.

Требование 2. Длина l движущегося в системе стержня, покоящегося в системе, ориентированного вдоль оси и имеющего в этой системе длину, т. е. .

Рассмотрим движущийся стержень, все время покоящийся в системе отсчета между точками от с координатами и .

Пусть в одинаковые локальные моменты времени в системе отсчета левый конец стержня совпал с точкой оси x, с координатой (событие A), (событие B). Тогда Вычитая второе равенство из первого, с учетом условия получаем.

и так как согласно требованию 2, то приходим к заключению, что.

Итак, мы вывели с помощью исключительно кинематических рассуждений, аналогичных использованным Эйнштейном при выводе формул преобразований Лоренца, формулы преобразований Галилея: