Физическая постановка задачи

В работе [11] обосновано, что при математическом моделировании процесса обессоливания во многих случаях достаточно рассмотреть тепломассоперенос только в КО, считая концентрацию и температуру в камерах концентрирования постоянной и учитывая влияние катионообменной (КМ) и анионообменной мембран (АМ) в виде граничных условий.

Чтобы теоретически изучить взаимодействие вынужденной, гравитационной и электроконвекции, реакции диссоциации / рекомбинации молекул воды, а также Джоулева нагрева раствора и переноса тепла через мембраны, построим математическую модель нестационарного переноса ионов бинарной соли в гладком прямоугольном КО электродиализного аппарата (ЭДА) [22, 23] (рис. 1).

Согласно современным представлениям [12] диссоциация молекул воды представляет собой каталитическую реакцию, проходящую внутри ионообменных мембран, примыкающих к межфазной границе, причем с поглощением тепла. В связи с этим удобно учитывать реакцию диссоциации молекул воды в виде краевых условий на поток ионов и, зависящие от скачка потенциала на межфазных границах ионообменная мембрана / раствор. В то же время реакция рекомбинации ионов и происходит в глубине раствора, причем с выделением тепла. Эту реакцию удобно учитывать в уравнениях математической модели. Обе эти реакции протекают сравнительно быстро и поэтому они локализованы в узких областях, которые гораздо меньше, например, толщины диффузионного слоя, толщины области пространственного заряда и толщины мембраны [13, 14].

В ЭМС очистки воды, как правило, применяется два основных режима эксплуатации ЭДА: гальванодинамический (гальваностатический) и потенциодинамический (потенциостатический). В данной работе исследуется потенциодинамический режим. Будем считать, что рассматриваемые КМ и АМ являются гомогенными и идеально селективными [24].

Общая математическая модель. При математическом моделировании будем считать ширину КО ЭДА, равной, а длину, ось Ох направим поперек, а ось Оу вдоль канала, причем при расположена АМ, а при КМ, соответствует входу в канал, а выходу из канала.

Уравнения. При указанных выше в п. 1 предположениях перенос ионов соли, а также электроконвекция и гравитационная конвекция с учетом реакции рекомбинации молекул воды и Джоулевого нагрева раствора описываются системой уравнений (1−7) [18, 19].

Рисунок 1. Схематическое изображение КО: — угол наклона;

Слева — АМ; справа — КМ; L, H — длина и ширина канала;

V₀ — средняя скорость прокачивания раствора.

гравитационный электроконвекция двумерный диссоциация.

(1).

(2).

(3).

(4).

(5).

(6).

(7).

Здесь — потоки и концентрации — сорта ионов (- соответствует , — , — , — или, что более точно, так как, протон в растворе гидратирован, т. е. окружен молекулами воды), — скорость течения раствора электролита, — абсолютная температура раствора, — зарядовые числа и коэффициенты диффузии соответствующих ионов, — градиент, — оператор Лапласа, — характерная плотность раствора, — давление, — диэлектрическая проницаемость электролита, — постоянная Фарадея, — газовая постоянная, — абсолютная начальная температура раствора, — время, — коэффициент кинематической вязкости. При этом , — неизвестные функции, зависящие от времени и координат, .

В системе (1−7) уравнения (1−4) описывают электрохимические поля, уравнение (5) температурное поле, а уравнения Навье-Стокса (6), (7) описывают движение раствора под действием пространственной электрической силы, — гомогенные химические реакции, — мощность Джоулева нагрева раствора [15], — мощность источников тепла, выделяющегося за счет рекомбинации молекул воды, — пространственные силы [25−27].

Замечание 1. Подставляя (1) в (2) можно исключить потоки и получить уравнения концентраций:

или При моделировании реакции диссоциации / рекомбинации будем предполагать, что.

, (8).

где — константа скорости диссоциации воды, — константа скорости рекомбинации ионов и, соответственно. Формулу (8) можно переписать в виде, где — константа равновесия.

Количество тепла выделяющегося при образовании 1 моль воды равно 56.6 кДж/моль [4]. Следовательно, мощность источников тепла выделяющегося в каждой точке пропорционально количеству молей образующихся молекул воды, за вычетом количества дислоцирующих молекул, с коэффициентом пропорциональности кДж/моль, т. е. .

Из формул (6) и (7) [1] получаем, тогда.

. (9).

Поглощение тепла при реакции диссоциации молекул воды будем учитывать в виде граничных условий типа стока тепла.

В данной работе в качестве пространственных сил рассматриваются электрическая и подъемная силы, поэтому плотность пространственных сил равна (10), где (11) — плотность электрической силы.

(10).

(11).

. (12).

Здесь (12) — плотность архимедовых сил плавучести, где — изменение плотности, — плотность раствора, — характерная средняя плотность раствора, — вектор ускорения свободного падения.

В работе [10] температура раствора предполагалась постоянной, т. е. игнорировался Джоулев нагрев раствора, что допустимо для не слишком разбавленных растворов. В этом случае плотность раствора не зависит от температуры. В данной работе мы учитываем Джоулев нагрев раствора, и, соответственно, зависимость плотность раствора от температуры.

Выберем в жидкости произвольный объем и разложим функцию в ряд Тейлора около характерных значений давления P₀ и концентрации и температуры .

Ограничиваясь первыми членами разложения, получим.

(13).

Будем использовать приближение Буссинеска и пренебрегать вторым слагаемым в правой части (13). Для рассматриваемой задачи получаем:

(14).

Величины в формуле (14), вообще говоря, зависят от концентраций и температуры, но при небольших изменениях их можно считать постоянными [16]:

,. (15).

Таким образом, плотность архимедовых сил плавучести в приближении Буссинеска при небольших изменениях равна.

. (16).

В предложенной системе — неизвестные функции, в общем случае зависящие от времени t и координат x, y, а остальные величины считаются известными. Уравнения Навье-Стокса (6), (7) с учетом введенных выше сил описывают гравитационную конвекцию и электроконвекцию.