Механический принцип относительности. 
Инвариантность относительно преобразований Галилея

Галилей еще в XVII в. сформулировал принцип относительности в механике, или механический принцип относительности.

Механический принцип относительности. Механические явления во всех инерциальных системах отсчета происходят совершенно одинаково. Нельзя с помощью механических экспериментов, производимых в движущейся инерциальной системе отсчета, определить скорость ее движения (если не производить наблюдений тел из системы отсчета, относительно которой мы хотим определить скорость движения).

Покажем, что уравнения механики математически записываются совершенно одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Для простоты рассмотрим движение материальной точки, т. е. тела, размерами которого можно пренебречь в рассматриваемой ситуации. Пусть это движение описывается в двух каких-нибудь инерциальных системах — в «покоящейся» системе K и в «движущейся» системе K'. Пусть в начальный момент времени декартовы оси этих систем совпадали и пусть система K движется вдоль оси x с постоянной скоростью v.

Координаты точки M, отсчитываемые относительно движущейся и относительно покоящейся систем отсчета K и K' связаны следующими формулами преобразования:

которые называют формулами преобразования Галилея. Время при преобразованиях Галилея никак не преобразуем, так что следует положить, что .

Эту формулу тоже будем относить к формулам преобразования Галилея.

Рассмотрим движение материальной точки M массы m относительно той и другой систем, происходящее, к примеру, вдоль оси x, под действием некоторой заданной силы F (действующей только вдоль оси x). Тогда в системах K и K' имеем следующие уравнения движения: которые математически совершенно одинаковы (инвариантны). При этом одно уравнение получается из другого с помощью преобразований Галилея. Действительно, согласно этим преобразованиям:

так как очевидно dv/dt = 0 (скорость v постоянна).

Самыми фундаментальными объектами в физике являются точки и волны. Поэтому интересно посмотреть, а будет ли инвариантно относительно преобразований Галилея волновое уравнение, скажем, для простоты, одномерное волновое уравнение (уравнение Даламбера) для плоских волн, распространяющихся вдоль оси x. Пусть u = u (x, t) — волновая функция и c — скорость волны. Тогда имеем уравнение.

Совершим в нем преобразование Галилея, другими словами — перейдем от независимых переменных x, t к переменным x', t', считая, что неизвестная волновая функция u теперь выражена в переменных x', t', т. е.

где.

Таким образом,.

Следовательно,.

Далее,.

Следовательно,.

Подставим полученные выражения для вторых производных в исходное волновое уравнение. Тогда получим, что или.

Как видим, получили совсем не Даламбера, а другое уравнение (в которое входит v).

Таким образом, мы доказали, что одномерное волновое уравнение не инвариантно относительно преобразований Галилея.

Остановимся на выяснении физического смысла полученного результата. Для определенности представим себе обычные звуковые волны в воздухе. Они являются малыми возмущениями плотности и давления малых частиц воздуха, и в так называемом акустическом приближении (когда амплитуды этих возмущений малы) описываются волновым уравнением Даламбера когда речь идет о плоских волнах, распространяющихся вдоль оси x.

Это уравнение, однако, математически описывает звуковую волну только в покоящемся воздухе. Если мы хотим описать звуковую волну в движущемся воздухе (движущемся равномерно прямолинейно со скоростью v вдоль оси x в отрицательном направлении оси x в лабораторной системе отсчета), то мы должны использовать не приведенное волновое уравнение, а только что выведенное более сложное уравнение Таким образом, волновое уравнение для звука в движущейся среде отличается по виду от волнового уравнения для звука в покоящейся среде. И нет ничего удивительного в том, что волновое уравнение не инвариантно относительно преобразований Галилея. Мы неявно предположили, что исходная система K — это система отсчета, в которой среда (воздух) покоится.

Поясним сказанное подробнее. Пусть у нас имеется тело, движущееся со скоростью v вдоль оси x и пусть в этом теле распространяется волна в положительном или отрицательном направлении оси x.

Рассмотрим волну, распространяющуюся в положительном направлении оси x. Относительно взятой системы отсчета она имеет скорость c_дв = c + v. Таким образом, если форма волны в нулевой момент времени дается функцией f (x), которая может быть взята произвольной, то в момент времени t она будет описываться функцией Найдем вид уравнения, которому удовлетворяет эта функция. Очевидно Поэтому функция u удовлетворяет следующему уравнению которое можно представить в виде.

Подействуем на это уравнение справа и слева дифференциальным оператором и получим уравнение.

Следовательно, раскрывая скобки, имеем уравнение члены со смешанной производной, пропорциональные c, взаимно сокращаются. Разделив на c2, окончательно приходим к уравнению которое в точности совпадет с уравнением, полученным выше.

Рассмотрим теперь волну, распространяющуюся в отрицательном направлении оси x. Относительно нашей системы отсчета волна будет двигаться со скоростью c_дв = c — v.

Если форма волны в нулевой момент времени t = 0 дается функцией g (x), которая может быть совершенно произвольной, то в момент времени t она будет описываться функцией.

Найдем вид уравнения, которому удовлетворяет эта функция. Очевидно Поэтому имеем уравнение которое можно записать в следующем виде.

Подействуем на это уравнение справа и слева дифференциальным оператором и получим уравнение.

Следовательно, раскрывая скобки, имеем уравнение члены со смешанной производной, пропорциональные c, взаимно сокращаются. Разделив на c², окончательно приходим к уравнению

т. е. в точности к такому уравнению, которое мы получили для волны, распространяющейся в положительном направлении оси x.

Интервал времени t, t+dt, когда dz= - cdt, таким образом равно.