Момент инерции твердого тела относительно оси. 
Теорема Штейнера-Гюйгенса

Если твердое тело мысленно разбить на материальные точки, то, по определению (25.2) сумму называют моментом инерции твердого тела относительно оси Z. В этом выражении m_i -элементарные массы, составляющие тело, а R_i— расстояния от этих масс до оси вращения.

Выразим массу m_i через плотность вещества и объем V_i, занимаемый этой массой: m_i = V_i. Выражение для момента инерции будет тем точнее, чем меньше будут массы m_i и, соответственно, меньший объем V_i будут они занимать. Тогда выражение для момента инерции примет вид:

. (26.1).

Значок V под знаком интеграла означает, что интегрирование ведется по всему объему V тела. Выражение (26.1) служит основным расчетным соотношением для вычисления моментов инерции тел.

Вычислим момент инерции цилиндра массой т, радиуса R и высотой h, относительно оси Z, проходящей через его ось (см. рис. 26.1).

Мысленно разобьем цилиндр на тонкие цилиндрические слои толщиной dr и высотою h, равной высоте цилиндра. Тогда объем dV такого слоя будет равен 2rhdr. Все участки цилиндрического слоя отстоят от оси цилиндра на одинаковое расстояние r. Момент инерции такого слоя, очевидно, равен dVr². Тогда момент инерции всего цилиндра I_z будет равен сумме моментов инерции всех слоев, его составляющих:

.

Наконец, введя массу цилиндра m, равную плотности материала цилиндра на его объем, получим:

. (26.2).

Из (26.2) следует, что момент инерции цилиндра не зависит от его высоты, и, следовательно, соотношение (26.2) применимо для вычисления моментов инерции и тонких дисков.

Вычисление моментов инерции относительно оси можно упростить, применив следующий прием.

Сложим все уравнения для главных моментов инерции (24.4). Получим:

I_x +I_y +I_z = 2m_i() = 2m_i, (26.3).

где r_i — расстояние массы т_i до начала отсчета.

В случае осевой и точечной симметрий сумма m_i легко вычисляется. Если ось Z является осью симметрии, то главные моменты инерции I_x и I_y равны друг другу, а в случае точечной симметрии I_x= I_y= I_z. Эти обстоятельства и позволяют упростить вычисления моментов инерции.

Например, вычислим с помощью (26.3) момент инерции сферической оболочки, радиуса R и массы М.

В силу симметрии все три момента инерции, относительно осей X, Y и Z, проходящих через центр инерции, равны. Следовательно:3J_z = 2MR² и.

I_z =2/3MR². (26.4).

Вычислим с помощью (26.3) момент инерции тонкого кольца, массы М и радиуса R, относительно оси Y, совпадающей с диаметром.

В силу симметрии имеем: I_x=I_y; I_z=MR². Тогда,.

I_y=MR²/2. (26.5).

Соотношение (26.3) можно использовать и при вычислении моментов инерции тонких пластинок. В этом случае, выбрав начало координат внутри пластинки, для всех т_i координата z_i 0. Тогда, m_i m_i() = I_z.

Следовательно, из (26.3) следует: I_x +I_y +I_z= 2m_i= 2I_z или.

I_x +I_y = I_z. (26.6).

Например, вычислим момент инерции I_y тонкого диска относительно оси Y, совпадающей с диаметром диска. В силу симметрии I_x = I_y, а I_z = MR²/2. Следовательно: 2I_y= MR²/2, и I_y= MR²/4.

Аналогичным образом можно вычислить моменты инерции всех геометрически правильных тел относительно осей симметрии. Приведем некоторые практически важные результаты для использования при решении задач.

Момент инерции диска (цилиндра) относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости основания.

. (26.7).

M — масса диска; R — радиус диска.

2. Момент инерции тонкого диска относительно оси, совпадающей с его диаметром.

. (26.8).

М — масса диска; R — радиус диска.

3. Момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр шара.

. (26.9).

M — масса шара; R — радиус шара.

4. Момент инерции параллелепипеда массой М относительно оси Z, проходящей через его центр перпендикулярно одной из его граней.

. (26.10).

Приведенным способом легко рассчитываются моменты инерции относительно осей, проходящих через центр инерции и являющихся осью симметрии.

А как рассчитать момент инерции тела относительно оси, не проходящей через центр инерции тела? На помощь приходит теорема Штейнера — Гюйгенса: «Момент инерции тела I_OO относительно произвольной оси ОО равен моменту инерции тела I_z относительно оси Z, проходящей через центр инерции тела и параллельно данной, плюс произведение массы тела т на квадрат расстояния b между осями (рис. 21.2).

. (26.11).

Докажем эту теорему.

Поместим начало координат в центр масс, а ось Z направим параллельно оси ОО. Разобьем все тело на элементарные массы m_i. Обозначим расстояние от этих масс до оси Z через r_iz, а до оси ОО через r_io. Проведем векторы, перпендикулярные осям Z и ОО: r_iz— вектор, проведенный от оси Z до массы m_i, r_io — вектор, проведенный от оси ОО до массы m_i, b — вектор, проведенный от оси ОО до оси Z. На рис. 26.3 изображен вид сверху на рисунок 26.2.

Из рис. 21.3. видно, что r_io = r_iz + b. Тогда момент инерции тела I_OO относительно оси ОО равен:

.

Первая сумма в этом выражении представляет собой момент инерции тела I_z относительно оси Z, а вторая равна Mb², т.к., а равна массе тела M. Вычислим сумму. Сумму можно представить в виде:, где R_C — составляющая радиус-вектора центра масс, лежащая в плоскости XY. Поскольку начало координат помещено в центр инерции, R_C равно нулю. Отсюда следует, что .

Таким образом, момент инерции тела I_OO относительно произвольной оси ОО равен I_z +Mb², что и требовалось доказать.