Улучшение значения постоянной, фигурирующей в прилагаемой теореме

Целью предлагаемой работы является уточнение одного результата В. И. Буслаева опубликованного в статье «Оценка производной многочлена с вещественными коэффициентами», Известия АН СССР, серия математическая, Том 39, № 2, 1975.

В этой статье была доказана следующая теорема.

ТЕОРЕМА. Пусть многочлен Р (х) представляется в виде

P (x) = Q (x)R (x),

где

вещественный многочлен такой, что (i = 1, …, q), a R (x) произвольный многочлен степени r. Тогда

где, С абсолютная константа.

В данной работе излагается подробное доказательство этой теоремы и указывается конкретная константа С, значение которой непосредственно вытекает из доказательства В. И. Буслаева.

Далее, с помощью леммы 4 эта константа уточняется (в сторону уменьшения).

1. Подробное доказательство теоремы

Так как Q (х) многочлен с вещественными коэффициентами, то

вещественное число. Действительно, тот факт, что Q (х) многочлен с вещественными коэффициентами означает, что его комплексные корни могут быть лишь парами комплексно сопряженных корней. Но тогда — вещественное число. Будем предполагать, что это число неотрицательное. Это предположение не нарушает общности рассуждений, так как, от случая, когда, можно избавиться, сделав замену переменного y = - x

Введем обозначения: