Методы и алгоритмы выявления цикличностей временных рядов наблюдений для прогнозирования: На примере определения уровня Каспийского моря

Феномен Каспия является результатом длительного взаимодействия литосферы, атмосферы и гидросферы, воздействия космических, антропогенных и других факторов. Поэтому исторические и современные изменения его уровня интегрируют сложную систему разнородных природных и антропогенных механизмов [1]. Изучение только какого-либо одного из этих факторов (например, климатического) не может дать решения проблемы в целом, свидетельство тому — ошибочность многих прогнозов эволюции уровня Каспия к 2000 году. Колебания уровня моря хорошо коррелируют с изменениями палео-климата, с крупномасштабными тектоническими и геодинамическими процессами в Кавказско-Каспийском и Малоазиатском секторах Альпийского пояса [2,3,4,5,6,7].

Считается, что на колебания уровня Каспийского моря в раннем неогене преобладающее влияние оказывали тектонические и горообразовательные процессы, в верхнем плиоцене — тектонические и климатические факторы, на современном этапе — климатические и антропогенные [8, 9]. Установлено, что всем основным трансгрессивным фазам или их начальным стадиям предшествовали интенсивные тектонические движения. Инструментальные измерения разных типов — геодезические, мареографические, сейсмологические, гидрологические показали колебательно-волновой характер современных тектонических движений во времени, с квазипериодичностью порядка 100−120, 50−60, 3540,25−30, 10−15, 5−7, 2−3 и 1 года [1]. Этот результат хорошо корреспондирует с аналогичной ритмичностью гидро-климатических процессов. Многие из известных циклов солнечной активности с интервалами в 1850, 600, 400, 178, 169, 88, 33, 22, 16.1, 11.5, 6.5 и 4.3 года [10, 11, 12, 13] находят отражение в динамике уровенного режима Каспийского моря. Однако в гидро-климатической части до сих пор нет точно измеренных значений компонентов, входящих в во-добалансовое уравнение, которое является основой многих методов прогнозирования уровня Каспийского моря. Так, нет точно измеренных значений испарения, подземного стока [14], не всегда надежны температурные показатели в акватории. Поэтому в водно-балансовые оценки вводятся косвенные, расчетные, а не натуральные данные, что снижает достоверность получаемых результатов.

Проблема прогноза уровня Каспия особенно обостряется в связи с разрушительными социально-экономическими последствиями быстрого подъема уровня моря [15]. Наблюдается значительная пестрота и разброс прогнозных оценок как в части сроков стабилизации, так и максимальных отметок уровня. Расхождения между прогностическими оценками достигают 11 метров. Говоря о прогнозе уровня Каспийского моря, следует ответить на вопрос: с какой за-благовременностью следует прогнозировать наступление трансгрессивных (регрессивных) фаз моря, чтобы можно было учесть их влияние на развитие отраслей хозяйства прибрежной зоны. По этому признаку научно-технические прогнозы подразделяются на оперативные — до 3 месяцев, краткосрочные — до 1 года, среднесрочные — на 1 — 5 лет, долгосрочные на 5 — 20 лет и сверхдолгосрочные — более чем на 20 лет. Выбор прогноза главным образом определяется темпами развития прогнозируемого явления. Для успешного планирования развития хозяйства в прибрежной зоне Каспия заблаговременность прогноза уровня моря на 10 — 20 лет считается достаточной. Однако, анализ продолжительности естественно климатических периодов стояния, роста и падения уровня Каспия показывает, что средняя длительность последних несколько превышает пятидесятилетний рубеж. Следовательно, заблаговременность прогноза изменения уровня моря должна составить как минимум 50 лет и этот прогноз должен ответить на вопрос: можно ли осваивать ту или иную прибрежную зону без риска потери ее через 50 лет. Существующие вероятностно — статистические методы [16], например, автокорреляционный, дают хорошие результаты на небольшом временном отрезке порядка 1−10 лет [17].

Актуальность проблемы. Нестабильность уровня Каспийского моря, чреватая угрозой затопления освоенных земель, сделали крайне актуальной задачу разработки надежных методов прогнозирования развития природных процессов. Получение сверхдолгосрочного прогноза уровня Каспия — актуальная проблема современности, непосредственно связанная с прогнозированием климата обширных территорий земного шара. Решение этой проблемы позволит наметить пути наиболее рационального использования природных богатств Каспийского моря и его бассейна. Поверхность вод Каспия может изменяться более чем в два раза. Познание законов динамики изменения берега Каспийского моря и связанных с ними природных явлений может принести неоценимую услугу хозяйству прибрежных с Каспием стран.

В научном плане проблема прогноза уровня Каспийского моря имеет более чем полувековую историю. Однако, специфика этой проблемы в том, что в периоды повышения или понижения уровня моря научный интерес к ней вспыхивает, а в периоды стабилизации угасает. В результате, несмотря на обилие работ, в этой области до сих пор не существует достаточно надежных методов прогнозирования перспективных изменений уровня Каспийского моря. Экономический ущерб России, нанесенный повышением уровня моря на 2.5м с 1978 по 1995 год оценивается в $ 1млрд. В настоящее время наблюдается некоторая стабилизация уровня моря, в связи с этим возникает вопрос, является ли это положение устойчивой тенденцией, (т.е. началом регрессивной стадии уровня моря) или это локальный спад в цепи общего подъема настоящей трансгрессии. Оценки различных специалистов в этом вопросе разнятся весьма значительно. Но вопрос о том, когда готовиться прибрежным территориям к максимальному подъему моря — в начале века, середине или позднее, является совсем не второстепенным. Это принципиально разные ситуации, разные этапы и возможности экономических вложений. Упомянем лишь об одной задаче, решение которой непосредственно связано с проблемой прогноза уровня моря — это определение затапливаемых площадей, защита дамбами и шлюзами плодородных земель и санаторно-курортной зоны берега Каспия.

Исследования колебаний уровня моря вызывают сейчас большой интерес у сейсмологов, так как находит подтверждение гипотеза о тесной связи между сейсмичностью Кавказа и уровенным режимом Каспия [18, 19, 20]. Считается, что именно изменения уровня Каспия являются одним из сейсмогенерирую-щим факторов, а не наоборот. Однако в вопросах прогнозирования дальнейшего повышения уровня Каспия и его стабилизации наблюдается кризис.

Природные процессы носят циклический характер [12], использование в исследованиях временных рядов наблюдений за ними, приводит к тому, что многие методы, изначально разрабатываемые для изучения и прогнозирования поведения уровня моря, вследствие их инвариантности к области применения, оказываются пригодными для анализа других природных циклических процессов. Создание инструментальных средств анализа эмпирических данных в целях изучения будущего поведения такого объекта как Каспийское море, послужило поводом для разработки автоматизированной системы, предназначенной для работ исследовательского характера и получения прогнозов поведения других наблюдаемых явлений подобного плана.

Целью работы является разработка математических моделей, методов и инструментальных средств анализа и использования временных рядов наблюдений (ВРН) за природными процессами циклического характера на примере исследования колебаний уровня Каспийского моря и получения долгосрочных прогнозов его поведения.

В соответствии с поставленной целью в диссертационной работе решаются следующие задачи:

— разработка методов выделения циклического тренда из ВРН и получение прогнозных значений наблюдаемого природного процесса;

— исследование влияния функциональных зависимостей различных форм на плотность распределения случайной величины для совместного распределения детерминированной и случайной составляющих сигнала;

— адаптация критериев проверки остатков ряда после выделения тренда на случайность распределения;

— формирование и исследование модели природного циклического процесса, разработка метода определения частот наборов гармонических составляющих, выделяемых из ВРН;

— исследование переходных режимов уровня Каспийского моря и разработка метода определения длительностей трансгрессивных (регрессивных) стадий моря;

— исследование влияния гармонической составляющей речного притока на колебания уровня моря;

— разработка автоматизированной системы, программно реализующей алгоритмы и методы, полученные в результате решения перечисленных задач.

Научная новизна. Предложен новый подход к методам аппроксимации и прогнозирования природных процессов, основанный на выделении циклов (гармоник) из ВРН и установлении периодов явлений, определяющих динамику исследуемого процесса. Разработан комплекс алгоритмов получения прогнозных оценок. Получено формальное доказательство эмпирически установленных закономерностей влияния колебаний речного стока на уровенный режим моря.

Основные научные результаты.

— предложены методики выделения циклов из ВРН и получения долгосрочных прогнозов;

— предложена методика расчета моментов 1−4 порядков для критериев проверки остатков ряда на случайность распределения;

— получено заключение о том, что по гистограмме распределения ВНР нельзя судить о форме тренда;

— построена математическая модель природной системы, функционирование которой носит циклический характер, разработаны методики расчета периодов гармоник для частных случаев представления модели;

— предложена методика оценки продолжительности переходных процессов моря, получены качественные и количественные оценки влияния колебаний речного стока на его уровенный режим;

— разработана программная система для анализа и исследования природных циклических процессов по ВРН с привязкой к Каспийскому морю.

Реализация результатов работы. Исследования проводились в соответствии с планами НИР Дагестанского государственного технического университета. Результаты проведенных исследований нашли практическое использование в следующих разработках, выполненных на кафедре вычислительной техники: «Аналитические исследования, связанные с гидрологическим режимом Каспийского моря», «Создание методов, алгоритмов и компьютерных программ выявления цикличностей уровня Каспийского моря и сопутствующих природных процессов». Результаты исследований были использованы в НПО «Дагестанберегозащита» и в учебном процессе, что подтверждается соответствующими актами о внедрении, приведенными в приложении 2.

Апробация работы: Основные научные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международном симпозиуме по проблемам рационального природоиспользования «Каспий-Балтика 95» (Санкт-Петербург, 1995), на Всероссийской конференции «Информационно-управляющие системы и специализированные вычислительные устройства для обработки и передачи данных» (Махачкала, 1996), на Всероссийской. НТК «Состояние и перспективы развития медицинского приборостроения» (Махачкала, 1996), на Втором Международном симпозиуме по проблемам рационального природоиспользования «Мониторинг и прогнозирование чрезвычайных ситуаций» (Махачкала, 1997), на Всероссийской НК студентов и аспирантов (Таганрог, 1997), на Всероссийской НПК «Внедрение информационных технологий в преподавание общетехнических и гуманитарных дисциплин» (Махачкала, 1998), на Международной НК «Достижения и современные проблемы развития науки в Дагестане» (Махачкала, 1999), на вторых Мухтаров-ских чтениях «Функционально-дифференциально-интегральные уравнения и их приложения» (Махачкала, 1999).

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 16 печатных работ, в том числе значительная часть практических результатов изложена в отчетах о выполнении НИР.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех разделов, заключения и приложений.

4.2.6. Выводы по четвертой главе.

1. Рассмотрена структура автоматизированной системы анализа, исследования и использования временных рядов, определены основные требования предъявляемые к ней, очерчен круг решаемых задач.

2. Обоснован выбор инструментальных средств программирования, предназначенных для реализации системы. Очерчены перспективы перевода системы в новую операционную и языковую среду.

3. Определены способы расширения функциональных возможностей системы, как путем добавления новых сервисных средств и встраиванием дополнительных блоков, реализующих перспективные, развивающиеся способы исследования временных рядов, так и модификацией и адаптацией к другим условиям применения методов, реализованных в системе.

4. Обосновано использование в будущем в рамках данной системы, наряду с рассмотренными методами, некоторых известных средств анализа временных рядов, что позволит компенсировать определенные недостатки и трудности применения последних, а также использовать их достоинства, обеспечивая пользователя разнообразной информацией для получения качественного сравнительного анализа и достоверных данных.

5. Определена главная перспектива развития системы — разработка методов краткосрочного прогноза уровня моря (на месяц, квартал, полугодие, год), показана актуальность этой проблемы, связанная с обнаружением зависимости показателей сейсмической активности от колебаний уровня моря синоптического временного масштаба.

6. Разработаны алгоритм и программа выделения суммы гармоник из временного ряда наблюдений, приведены основные функциональные возможности программы, которая обеспечивает аппроксимацию ряда набором гармоник с произвольно подобранными периодами, с произвольным количеством последних в наборе и позволяет оценивать их влияние как на сигнал изменения уровня моря, так и на его поведение в будущем.

7. Описаны алгоритм и программа поочередного выделения гармоник из временного ряда, показаны возможности программы в реализации исследовательских запросов пользователей. Приведены сравнительные оценки и графики изменения аппроксимирующих и прогнозных кривых, выдаваемых системой, для различных значений заданных параметров. В качестве таких параметров могут выступать значения коэффициента весовой функции, задающей «вес» каждой точке ряда, различающиеся количеством членов и/или их значениями временные ряды, число выделяемых гармоник. Варьирование значений одного из параметров позволяет получать серию прогнозных кривых в одной координатной плоскости, где каждому значению параметра соответствует одна кривая.

8. Проанализировано влияние изменения некоторых параметров на результаты расчетов прогнозных значений уровня Каспийского моря и даны рекомендации по их использованию в данном контексте.

9. Показаны возможности программы по исследованию влияния (вклада) основных гармоник в тренд (задача определения значимости циклов). Приведены графики нескольких циклов тренда, формируемых программой.

10. Дано словесное описание алгоритма выделения циклов из временного ряда, приведены основные функциональные возможности программы, реализующей данный алгоритм. Выводы, сделанные в пункте 7 настоящего параграфа, для программы поочередного выделения гармоник имеют место и для данной программы. Рассмотрено влияние на результат расчета прогнозных значений варьирования таких параметров как число выделяемых циклов и число гармоник в цикле. Даны рекомендации по предпочтительным значениям этих параметров для целей расчета прогнозных значений уровня Каспия.

11. Для обеспечения пользователя возможностью сравнения результатов, полученных ранее известными методами и методами, предложенными в данной работе, в системе предусмотрены специальные средства, которые позволяют получать в одной координатной плоскости серию графиков кривых, соответствующих этим методам. Там же приводятся и реальные измеренные данные. Число совместно рассматриваемых кривых, а также совокупность сравниваемых методов определяются пользователем. Приводится сравнительный анализ результатов, полученных различными методами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

По результатам диссертационной работы сделаны следующие основные выводы.

1. Нестабильность уровня Каспийского моря, чреватая угрозой затопления освоенных земель, являющаяся одним из сейсмогенерирующих факторов, а также кризис, наблюдающийся в вопросах прогнозирования дальнейшего повышения уровня моря, сделали крайне актуальной задачу разработки надежных методов прогнозирования развития природных процессов.

2. Отправной точкой для решения указанной проблемы принят временной ряд наблюдений за уровнем моря, представленный суммой детерминированной (тренда) и случайной составляющих. Выделение тренда из ряда, определение его математического представления, которое будучи продолженным во времени определит прогнозные значения, является основной задачей при разработке методов прогнозирования. Анализ причин, определяющих колебания уровня моря и носящих циклический характер, определил выбор модели тренда как совокупности циклических составляющих, в частном случае гармоник.

3. Известно, что природные процессы носят циклический характер, а данные наблюдений за ними представляют собой временные ряды. Из этого следует, что методы, изначально предназначаемые для прогнозирования уровня моря, в общем инвариантны к области применения и могут успешно использоваться для исследования природных циклических процессов. Это послужило поводом для разработки автоматизированной системы, предназначенной для работ исследовательского характера и получения прогнозов поведения наблюдаемых явлений. Основные расчетные блоки системы реализуют алгоритмы выявления цикличностей временных рядов и некоторые сопутствующие им методы, такие как методы проверки рядов на случайность. Система снабжена набором сервисных возможностей, основное назначение которых — облегчение процесса анализа и сопоставления получаемой информации.

4. Предложена математическая модель описания природного циклического процесса в виде линейного дифференциального уравнения р порядка. Используя разностную аппроксимацию дифференциального уравнения для частных случаев (ре {2, 4, 8, 16}) были получены явные формулы для определения частоты собственных колебаний системы. Отсутствие в системе собственных колебаний приводит к решениям с чисто мнимыми значениями периодов, что свидетельствует о нециклическом характере тренда. Разработанный на основе данной модели метод выявления детерминированной составляющей временного ряда в виде линейной комбинации гармоник с различными частотами позволяет определять количество гармоник, входящих в тренд, и их периоды. Недостатком метода является ограниченность его применения, связанная с распространением ошибок в разностных схемах из-за наличия случайной составляющей для дифференциальных уравнений высоких порядков (р>16). Метод рекомендован к совместному использованию с методом выделения суммы гармоник из временного ряда.

5. Разработан алгоритм выделения суммы гармоник из временного ряда, основанный на приближении значений ряда совокупностью гармоник, неизвестные коэффициенты которых определяются из условия максимального правдоподобия принятой гипотезы о том, что фактические значения ряда отличаются от циклического тренда на случайную нормально распределенную величину. Периоды гармоник могут вычисляться методом, указанным в предыдущем пункте, или подбираться исследователем. Прогнозные значения процесса определяются путем вычисления аппроксимирующей функции в точках временного интервала, следующего за последним членом ряда. Достоинством метода является то, что он позволяет оценить влияние гармоники, включаемой в тренд, на конечный результат, т. е. выявить одну из первопричин изменений процесса, отображенного в значениях временного ряда. Недостаток метода в том, что эффективное использование его возможно лишь при наличии достаточного опыта и знаний в исследуемой области.

6. Разработан метод поочередного выделения гармоник из временного ряда, состоящий в том, что каждая последующая гармоника выделяется из остатков ряда, полученного после выделения предыдущей гармоники. Коэффициенты текущей выделяемой гармоники определяются при тех же условиях, что и в п. 5, здесь решается система из трех уравнений. Периоды гармоник выбираются из заданного интервала методом последовательного перебора. Из множества решений, получаемых для различных значений периодов, выбирается то, для которого среднеквадратичное отклонение минимально. Вычисления выполняются с учетом весовой функции, позволяющей обеспечить более плотное прилегание теоретической и фактической кривых для последних членов ряда, чтобы учесть меньшую степень доверия к далеким от современности данным. Метод отличается хорошей устойчивостью и быстродействием. Увеличение числа выделяемых гармоник уточняет результат. Даны рекомендации по выбору оптимальных значений числа выделяемых гармоник и коэффициента весовой функции. Результаты вычислительных экспериментов показали, что среди выделяемых гармоник встречаются такие, для которых периоды кратны или близки к кратным.

7. Разработан метод выделения циклов из временного ряда, основанный на представлении ряда в виде суммы определенного числа циклов, состоящих из гармоник с периодами, кратными главному периоду цикла. Параметры гармоник определяются так же как для метода (п.5), а периоды выбираются по принципу, указанному в п. 6. Выделение циклов производится последовательно, путем исключения из остатков ряда предыдущего цикла. Метод характеризуется более длительным временем счета, чем выше приведенные, однако здесь точность аппроксимации более высока. По результатам вычислительных экспериментов даны рекомендации по выбору числа выделяемых циклов и количеству гармоник в них.

8. Важной особенностью разработанных методов выделения циклов из временного ряда является способность их выделять гармоники с периодами существенно превышающими длину самого ряда. Подобное невозможно при использовании других методов.

9. После выделения тренда из временного ряда необходимо убедится в случайности распределения остатков ряда. Сформулированы требования, предъявляемые к критериям проверки ряда на случайность распределения, подобраны и адаптированы к конкретным условиям применения методы, соответствующие этим требованиям и основанные на подсчете вероятностных характеристик ряда. Предложена методика расчета моментов 1−4 порядков как функции от экстремальных точек ряда (пиков и ям), в одном случае, и числа точек роста ряда в другом случае.

10. Исследовано влияние детерминированных составляющих различных форм на случайную нормально распределенную величину с целью последующего определения по виду гистограммы распределения временного ряда формы тренда ряда. Исследовано влияние детерминированных составляющих:

— синусоидальной формы.

— линейно-многозвенной формы.

— параболической формы на закон распределения случайной величины. Вычислены значения функции плотности вероятности произведения независимых распределений случайной и детерминированной составляющей, построены графики этих функций для различных значений параметров детерминированной кривой. Результаты исследований показали, что вид кривой совместного распределения плотности вероятности детерминированной составляющей и случайной величины не несет в себе информации, подсказывающей форму тренда.

11. Задача определения длительности настоящей трансгрессивной стадии Каспийского моря решена путем исследования переходных режимов его уровня. Интегрированием дифференциального уравнения первого порядка, определяющего зависимость изменения уровня моря от основных компонент уравнения водного баланса, получено выражение зависимости времени переходного процесса от фактического значения уровня моря и двух фиксированных (стационарных) отметок, режим перехода между которыми исследуется.

12. Получены зависимости, позволяющие определять начальные и средние темпы подъема уровня моря, для различных значений стационарных отметок. Или по темпам подъема уровня моря рассчитывать величину стационарной отметки, на которую взят курс очередной трансгрессией.

13. Исследовано влияние гармонической составляющей речного притока на колебания уровня моря. Получены коэффициенты трансформации амплитуды колебаний речного стока в колебания уровня моря и зависимость фазы отставания гармоники уровня моря от периода колебаний речного стока. Анализ значений рассчитанных коэффициентов трансформации и фаз отставания, полученных для различных периодов колебаний речного стока показал, что ко-роткопериодические составляющие не сказываются на уровне моря, в то время как долгопериодические колебания в 400 и более лет полностью отражаются на уровенном режиме моря с определенным фазовым отставанием.

14. Исходя из сформулированных требований, разработаны структура и алгоритмы функционирования автоматизированной системы анализа, исследования и использования временных рядов, подсистема исследования переходных режимов моря которой реализует привязку последней к проблемам Каспийского моря. Обоснован выбор инструментальных средств программирования, программно реализованы и отлажены основные компоненты системы. Получены и проанализированы результаты, даны рекомендации по выбору значений определенных параметров. Определены перспективы развития системы.

15. Используя возможности, предоставляемые системой, получены сравнительные оценки (в графической и числовой интерпретации) данных измерений и результатов расчетов методами, предложенными в данной работе и автокорреляционным методом, также реализованным в системе. Прогнозные значения, полученные в данной работе, в целом согласуются с прогнозами, выполненными рядом авторов других методов.