Применение аппарата математического анализа при решении задач с параметрами

Применение аппарата математического анализа при решении задач с параметрами

Начиная с шестидесятых годов в содержание вступительных экзаменов в вузы, включаются задачи с параметрами, и уже сейчас выдвигается идея внедрения линии параметров в содержание школьного курса математики. Все возрастающая популярность задач с параметрами далеко не случайна.

Учащиеся не всегда умеют сознательно использовать информацию о свойствах функции, например о ее множестве значений, непрерывности, экстремумах и т. д.

Многие школьники лишь формально усваивают понятие производной, не понимают ее геометрического смысла. Есть проблемы и при изучении понятий первообразной и интеграла. Особенно проблемным становится решение задач математического анализа с параметрами.

Существующая литература в основном раскрывает лишь отдельные аспекты данной проблемы. А в учебниках математики крайне мало задач, содержащих параметры.

В связи с этим практическая значимость и актуальность работы в том, что в ней рассматривается теоретическое обоснование применения аппарата математического анализа при решении задач с параметрами.

Основной целью является создание факультативного курса по решению задач с параметрами применением аппарата математического анализа.

Достижение этой цели реализуется через следующие задачи:

1. Изучить основные вопросы методики;

2. Составить календарно-тематическое планирование;

3. Рассмотреть примерные факультативные занятия;

1. Факультативные занятия по математике и методика их преподавания

1.1 Общая характеристика факультативных занятий по математике

Главной целью факультативных занятий по математике является углубление и расширение знаний, развитие интереса учащихся к предмету, развитие математических способностей, привитие интереса и вкуса к самостоятельным занятиям математикой, воспитание и развитие их инициативы и творчества.

Программа основного курса математики вместе с программой факультативных занятий по математике для средней школы составляют программу повышенного уровня по данному предмету для учащихся данного класса.

Программа факультативных занятий по математике составлена так, что все вопросы ее могут изучаться синхронно с изучением основного курса математики в школе.

Для того чтобы факультативные занятие по математике были эффективными, необходимо их организовать там, где есть:

1) высококвалифицированные учителя или другие специалисты, способные вести занятия на высоком научно-методическом уровне;

2) не менее 15 учащихся, желающих изучать данный факультативный курс.

Запись учащихся на факультативные занятия производится на добровольных началах в соответствии с их интересами. Не следует принуждать учащихся обязательно изучать факультативные предметы.

Проведение факультативных занятий по математике не означает отказа от других форм внеклассной работы (математические кружки, вечера, олимпиады и.т.д.). Они должны дополнять эти формы работы учащимися, которые интересуются математикой.

Возможность 1−2 часа в неделю дополнительно работать со школьниками, проявляющими повышенный интерес и способности к математике, представляет собой одно из проявлений новой формы обучения математике — дифференцированного обучения.

По существу факультативные занятия являются наиболее динамичной разновидностью дифференциации обучения.

1.2 Основные формы и методы проведения факультативных занятий по математике

математический факультативный календарный задача В какой бы форме, и какими методами не проводились факультативные занятия по математике, они должны строиться так, чтобы быть для учащихся интересными, увлекательными, а подчас и занимательными. Необходимо использовать естественную любознательность школьника для формирования устойчивого интереса к своему предмету.

Основными формами проведения факультативных занятий по математике являются в настоящее время изложение узловых вопросов данного факультативного курса лекционным методом, семинары, собеседования (дискуссии), решении задач, рефераты учащихся, как по теоретическим вопросам, так и по решению цикла задач, математические сочинения, доклады учащихся и.т.д.

Учителю не следует отдавать предпочтение какой-либо одной форме или методу изложения. Вместе с тем, памятуя о том, что на факультативных занятий по математике самостоятельная работа учащихся должна занять ведущее положение, следует все же чаще применять решение задач, рефераты, доклады, семинары-дискуссии, чтение учебной и научно-популярной литературы и.т. п.

Одной из возможных форм проведения факультативных занятий по математике являются, разделение каждого занятия на две части. Первая часть посвящается изучению нового материала и самостоятельной работе учащихся по заданиям теоретического и практического характера. По окончании этой части занятия учащимся предлагается домашнее задание по изучению теории и ее приложений. Вторая часть каждого занятия посвящена решению задач повышенной трудности и обсуждению решений особенно трудных или интересных задач. Эта форма проведения факультативных занятий может способствовать успешному переходу от форм и методов обучения в школе к формам и методам обучения в высших учебных заведениях.

2. Календарно-тематический план факультативного курса по теме: «Применение аппарата математического анализа при решении задач с параметрами»

2.1 Календарно — тематическое планирование

Занятие 1

(1 час)

Тема: Применение множеств значений в уравнениях с параметрами

Цели: — изучить основные понятия уравнении с параметрами и алгоритм решения данных уравнении с применением множеств значении;

— добиться осознанной работы над этими уравнениями, осознанного применения алгоритма решения данных уравнений;

— воспитать волю и настойчивость для достижения конечных результатов;

Ход урока

I. Организационный момент

— Здравствуйте, ребята! Сегодня на занятии мы изучим основные понятия уравнении с параметрами и алгоритм решения данных уравнении с применением множеств значении.

II. Изучение нового материала

- Запишем основные понятия уравнений с параметрами и рассмотрим соответствующие задачи

Определение: В уравнении F (x; y)=0 с двумя переменными х и у фиксированному значению соответствует частное уравнение с переменной у. Если — все решения частного уравнения, то — все решения уравнения F (x; y)=0 с первой координатой, равной. Изменяя значения и решая соответствующие частные уравнения, получим другие решения исходного уравнения F (x; y)=0.

В уравнении F (а; х)=0 частные уравнения могут быть определены не для всех значений параметра.

Пример 1. В уравнении частные уравнения не определены для (краткая запись:), и — область допустимых значений параметра).

В общем случае область допустимых значений параметра уравнении F (а; х)=0 есть множество всех значений параметра, для которых частные уравнения определены.

Аналогично, в уравнении частные уравнения не определены для значений параметров, принадлежащих множествам и. (рис. 1)

Область допустимых значений параметров — .

Рис. 1

В уравнении с параметром возможны ограничения, как на множество значений параметра, так и на множество значений переменной.

Пример. В уравнении, где для допустимого значения параметра область определения частного уравнения имеет вид. В связи с этим имеет смысл говорить об области определения уравнения F (а; х)=0 как о множестве всех упорядоченных пар, где принадлежит области допустимых значений параметра, а х принадлежит области определения соответствующего частного уравнения. В данном случае область определения имеет вид, а в упомянутом ранее иррациональном уравнении область определения — .

Определение: Уравнение F (а; х)=0 есть бесконечная совокупность частных уравнений для допустимых значений параметра .

Его решения осуществляется в два этапа:

1) разбиение совокупности всех частных уравнений на непересекающиеся типы;

2) поиск общих решений частных уравнений каждого типа.

В процессе разбиения частных уравнений выделяются:

- совокупность особых частных уравнений типа 0 — все ложные числовые равенства;

- совокупность особых частных уравнений типа — все истинные числовые равенства;

- тип неособых частных уравнений, не имеющих решений;

- типы (один или несколько) частных уравнений с одинаковыми общими решениями.

Определение. В уравнении F (а; х)=0 с параметром, а и переменной х функция называется общим решением на множестве значений параметра, если для любого значение является решением частного уравнения.

В определении важен не только вид функции , но и множество соответствующих значений параметра. Для уравнения F (a; b; x) с двумя параметрами в качестве общих решений выступают функции x=f (a; b) на множестве /

— Теперь на базе выделенных понятий определим общую схему решения всякого уравнения F (а; х)=0 с параметром, а (для случая двух параметров схема аналогична).

Общая схема решения уравнения F (а; х)=0

- устанавливается область допустимых значений параметра и область определения;

- определяются контрольные значения параметра, разбивающая область допустимых значений параметра на области однотипности частных уравнений;

- для контрольных значений параметра соответствующие частные уравнения исследуются отдельно;

- находятся общие решения уравнения F (а; х)=0 на соответствующих множествах значений параметра;

- составляются модель общих решений, контрольных значений параметра в следующем виде;

- на модели выделяются промежутки значений параметра с одинаковыми общими решениями (области однотипности);

- для контрольных значений параметра и выделенных областей однотипности записываются характеристики всех типов частных уравнений.

III. Решение задач

Задача 1. В линейном уравнении значению а=0 и а=2 соответствуют особые частные уравнения типа 0, для а=-2 частное уравнение является особым типа. Значениям параметра из множества соответствует тип неособых частных уравнений с общим решением .

В результате получаем ответ, который запишем компактно следующим образом:

.

Задача 2. В линейном уравнении (a-2b) (ab-1) x=(a-2b) (2a+3b) всем точкам прямой a=2b соответствуют частные уравнения типа, точкам гиперболыab=1, отличным от точек прямой a=2b, соответствует тип 0 особых частных уравнений с отличной от нуля правой частью. (рис. 2)

Рис. 2

Для остальных точек плоскости Oab соответствующие частные уравнения имеют единственное решение, вычисляемое по формуле. Итак:

Задача 3. В квадратном уравнении ни одно из частных уравнений не является особым типа 0 и. Дискриминант обращается в нуль для значений а=-1 и а=4, причем для и для. Тогда совокупность всех частных уравнений разбивается на три типа:

— тип J неособых частных уравнений, не имеющих решений в множестве всех действительных чисел и соответствующих значениям параметра из ;

— тип K неособых частных уравнений, имеющих двукратные корни вида и соответствующих множеству ;

— тип L неособых частных уравнений, имеющих различные общие решения и на множестве

Ответ: .

Задача 4. В рациональном уравнении функция является общим решением для тех значений параметра, для которых. Поскольку то — общее решение на. Функция есть общее решение уравнения на множестве .

На модели выделяем все типы частных уравнений:

.

— На данных задачах рассмотрены основные понятия уравнений с параметрами: область допустимых значений, область определения, общие решения, контрольные значения параметров, типы частных уравнений. Способы их нахождения будут устанавливаться в каждом виде уравнений отдельно.

III. Упражнения для самостоятельной работы

1. Решить уравнение с параметром, а и переменной х. Найти множество решений с переменными, а и х:

а) ;

б) ;

в);

2. Решить уравнение с параметрами, а и b и переменной х. Найти множество решений с тремя переменными:

а) ;

б) ;

в) .

Занятие 2

(2 часа)

Тема: Множество значений функций в задачах с параметрами.

Цели: — изучить способы решения задач с параметрами с применением аппарата математического анализа: монотонность функции, наибольшее и наименьшее значение функции;

— развитие умения решать задачи с параметрами с осознанным применением понятий монотонность функции, наибольшее и наименьшее значение функции;

— воспитать интерес к математике;

Ход урока

I. Организационный момент

— Здравствуйте, ребята! Сегодня мы изучим способы решения задач с параметрами с применением аппарата математического анализа: монотонность функции, наибольшее и наименьшее значение функции.

II. Подготовка к изучению материала.

1. Дайте определения понятию функция.

Ответ: Пусть даны два непустых множества X и У. Соответствие, которое каждому элементу сопоставляет один и только один элемент , называется функцией и записывается, или .

2. Какая функция называется числовой?

Ответ: Пусть задана функция . Если элементами множеств и являются действительные числа (т.е. и), то функцию называют числовой функцией. Переменная называется при этом аргументом или независимой переменной, а — функцией или зависимой переменной (от).

3. Что называется графиком функции y=f (x)?

Ответ: Графиком функции называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых является значением аргумента, а — соответствующим значением функции.

4. Какими способами можно задать функцию?

Ответ: Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ: функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений.

Например:

1); 2) 3) .

Графический способ: задается график функции Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Например, известные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы.

III. Изучение нового материала

— Ребята! Какая функция называется сложной?

Ответ: Пусть заданы функции и, причем множество значений функции принадлежит области определения функции:. Тогда можно определить сложную функцию

называемую также композицией функций и .

— Рассмотрим задачи с параметрами сложной функции.

Решение задач с параметрами

Задача 1. Найдите все значения а, при которых имеет решение уравнение

Решение. После замены приходим к уравнению

Функция возрастает, значит, она достигает своего наибольшего значения при наибольшем значении . Но имеет наибольшее значение, равное 1. Тогда. Таким образом, множеством значений функции является промежуток (0; 2), а функции — промежуток (-1; ½). Следовательно, исходное уравнение имеет решение для тех и только для тех значений а, которые удовлетворяют неравенствам;

.

Задача 2.

Решение. Пусть. В таком случае х=у²+а и данное уравнение приводится к виду График функции z= и z= в прямоугольной системе координат уOz даны на рисунке

Они имеют единственную общую току, следовательно, у=0 — единственное решение уравнения. Отсюда х=а при любых действительных значениях а.

— Мы с вами рассмотрели задачи с параметрами сложной функции. Теперь рассмотрим задачи с параметрами на монотонность функции. Повторим основные понятия:

— Какая функция называется возрастающей (убывающей)?

Ответ: Пусть функция у = f(x) определена на множестве D и пусть . Если для любых значений аргументов из неравенства вытекает неравенство: , то функция называется возрастающей на множестве если , то функция называется неубывающей на множестве если, то функция называется убывающей на множестве, если , то функция называется невозрастающей на множестве .

— Какие функции называются монотонными?

Ответ: Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие — строго монотонными. Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности. — Повторили основные понятия, теперь решим соответствующие задачи.

Решение задач с параметрами

Задача 3. Найдите все значения параметра, при которых неравенство

выполняется при всех .

Решение. Замена приводит неравенство к виду

.

Функция возрастает на всей оси, так как

и

для всех. Следовательно, можно перейти к равносильному неравенству

,

так как, то Для того чтобы это неравенство выполнялось при всех, необходимо и достаточно, чтобы оно было верно для и. При имеем

при устанавливаем, что

но .

Значит, исходное неравенство выполняется при:

Задача 4. При каких значениях параметров b функция

f (x)=bx²-20x³+5 (b+9) x-7

монотонна при всех

Условию задачи удовлетворяют те значения b, при которых уравнение

bz² — 12 z +b + 9 =0

не имеет решений или имеет два отрицательных корня.

Первое условие выполняется при 36 — b (b+9)<0, т. е.

b²+9b-36>0.

Представив неравенство b²+9b-36>0 в виде (b+12) (b-3)>0, получим b<-12 или b>3.

Второе условие выполняется при В итоге мы получим:

— Повторили основные понятия сложной функции, монотонность функции, решили соответствующие задачи с параметрами. Повторим понятия наибольшего и наименьшего значения функции и решим задачи с параметрами.

— Какая точка называется точкой минимума (максимума)?

Ответ: Точка x₀ называется точкой минимума функции f, если ее значение в точке x_0, меньше всех других ее значений, принимаемых в некоторой окрестности этой точки.

.

Значение функции в точке х₀ называют минимумом и обозначают

.

Точка х_{0 называется точкой максимума функции , если ее значение в точке х0 больше всех других ее значений, принимаемых в некоторой окрестности этой точки.}

.

Значение функции в точке называют максимумом и обозначают

— Какие точки называются точками экстремума?

Ответ: Точки минимума и максимума называются точками экстремума (от латинского extremum — крайнее), а значения функции в этих точках - экстремумами.

— Какие значения могут принимать функции?

Ответ: Наибольшие и наименьшие значения

— Дайте определения наибольшего и наименьшего значения.

Ответ: Самое большое среди всех значений, которое функция принимает на заданном промежутке I, называется наибольшим значением функции на промежутке и обозначается

.

Самое маленькое среди всех значений, которое функция принимает на заданном промежутке I, называется наименьшим значением функции на промежутке I и обозначается

.

Решение задач с параметрами

Задача 5. Решить уравнение

.

Решение. Воспользовавшись очевидными неравенствами

заключаем, что обе части уравнения должны равняться 1, что приводит к системе и, следовательно,, если и, если .

Задача 6. Найти все значения а, при каждом из которых имеется хотя бы одна пара чисел (х, у), удовлетворяющая условиям:

Система имеет хотя бы одно решение, если имеет хотя бы одно решение неравенство х²+(ах²-2)²<1, а это возможно, если наименьшее значение функции f (t)=t+(at-2)², где t>0, меньше 1.

При а=0 f (t)=t+4 и наименьшее значение f (t) равно 4 (при t=0). Пусть Графиком f (t) служит парабола, ветви которой направлены вверх, -абсцисса вершины. Если т. е. то при f (t) монотонно возрастает и поэтому. Таким образом, наименьшее значение f (t) может быть меньше 1 только при, т. е. если а>0,25. При этом

Искомое значение, а должно удовлетворять системе решением которой служит

IV. Упражнения для самостоятельной работы

1. Найдите все значения а, при которых имеет ровно три корня уравнение

.

2. Найдите все значения а, при которых имеет решение неравенство

.

3. Найти те вещественные значения а, при которых неравенство + верно при всех значениях х, удовлетворяющих условию .

4. При каких значениях, а функция является возрастающей.

5. При каком значении параметра, а наибольшее на промежутке значение функции является наименьшим?

6. При каких значениях параметра, а функция убывает при всех значениях х?

Занятие 3

(2 часа)

Тема: Инверсия, применение графиков в решении задач с параметрами

Цели: — изучить понятия инвертная точка, инверсия, свойства инверсии;

— развить умения построения графиков с помощью инверсий относительно обеих осей и применение графиков к решению задач с параметрами;

— воспитать интерес к математике и аккуратность при построении графиков;

Ход урока

I. Организационный момент

— Здравствуйте, ребята! Сегодня мы изучим способы решения задач с параметрами применением графиков.

II. Подготовка к изучению материала

1Построите графики следующих функций:

1); 4) ; 7) ;

2) -1; 5) ; 8)

3); 6) ;

2. Постройте графики следующих функций:

1); 3); 5)

2) ; 4)

III. Изучение нового материала

— Запишем основные определения.

Определение: Точка B называется инвертной точке A относительно прямой (оси) l, если 1) эти точки лежат по одну сторону относительно l; 2) отрезок, их соединяющий, перпендикулярен оси l; 3) произведение расстояний от этих точек до l равно 1.

У точек оси инвертных точек нет.

Определение: Преобразование плоскости, при котором каждая точка переходит в инвертную ей относительно данной прямой, называется инверсией. Для точек этой прямой преобразование не определяется.

Замечание: При инверсии относительно оси Ox точка A с координатами (), переходит в точку B с координатами (), где и .

В самом деле,, так как отрезок AB перпендикулярен оси Ox, и должны быть одного знака, так как A и B лежат в одной полуплоскости относительно оси Ox, наконец,, так как произведение расстояний от A и B до оси равно единице, т. е. .

2. Свойства инверсий

.A (x; y) — неподвижная точка инверсии относительно оси Ox тогда и только тогда, когда, т. е.; B (x; y) — неподвижная точка инверсии относительно оси Oy тогда и только тогда, когда, т. е. x=;

.Чем дальше от оси инверсии точка, тем ближе к ней инвертная ей.

Теорема. График функций получается из графика функции y=f (x) инверсией относительно оси Ox.

Доказательство: Достаточно доказать, что условие, равносильно условию .

Пусть. Можем записать:

(D (f) — область определения функции f).

Пример1. Построить график функции

Строится, отмечаются точки с ординатой, равной 1, замечается, что искомый график имеет асимптоты х=1 и у=0, так как график функции при абсциссах, «близких» к х=1, все ближе подходит к оси инверсии, а при «больших» абсциссах уходит от нее неограниченно далеко. Необходимо, от точки (0; 1) «вести вправо и вверх» к прямой х=1 и «влево и вниз» к прямой у=0. (рис. 1)

Теорема. получается из преобразованием инверсии относительно оси Oy.

Доказательство. Достаточно доказать, что условие, равносильно условию .

Пусть. Можем записать:

Пример 2. Построить

План построения. Строим график функции, отмечаем, что точки, А (0; 1) и В (-1; 2) неподвижные (рис. 2). Строим образ интервала АС (рис. 3). Каждая из точек этого интервала должна перейти в точку с такой же ординатой и лежащую тем далее от оси Оу, чем ближе к ней исходная точка. Так как расстояние от точек интервала АС до оси Оу при приближении их к С становится столь угодно малым, искомый график имеет асимптоту у=1.

Аналогично, строим образы луча AD, интервала ВС, луча ВЕ (рис. 4).

Список использованных источников

математический факультативный календарный задача

1. Журнал «Математика в школе»

2. Письменный Д. «Конспект лекций по высшей математике» М-2004

3. Дорофеев Г. В., Потапов М. К., Розов Н. Х. «Пособие по математике». М.: Наука, 1970

4. Чаплыгин В. Ф., Чаплыгина Н. Б. «Задачи с параметрами по алгебре и анализу». Ярославль, 1998.

5. Ястребинецкий Г. А «Задачи с параметрами» М. — 1986.

6. Ястребинецкий Г. А «Уравнения и неравенства, содержащие параметры» М., Просвещение, 1972

7. Карп А.П." Даю уроки математики". М.: Просвещение, 1992

8. Оганесян В. А. «Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика» М.: Просвещение, 1980

9. Амелькин В. В., Рабцевич В. Л. «Задачи с параметрами» — Мн.:ООО" Асар", 2002