Исследование квазилинейных задач в случае несамосопряженных главных частей

Для выполнения необходимых исследований сначала строятся некоторые пространства типа Банаха, устанавливается их связь с пространствами Соболева-Слободецкого по отношению к разложению в ряд по специальным функциям. Доказывается теорема двойственности некоторых пространств В с пространствами Соболева — Слободецкого (теорема 1.2.1). Затем при помощи нескольких теорем рассматриваемая краевая задача сводится к бесконечной системе нелинейных интегро-дифференциальных уравнений.

Доказывается различные теоремы разрешимости этой бесконечной системы интегральных уравнений в построенных пространствах методом последовательных приближений и топологическим методом.

В работе доказываются существование и единственность различного типа решений поставленной квазилинейной задачи (обобщенного, почти всюду и классического), как в случае стабильности, так и в случае нестабильности, дифференциального оператора, порожденного дифференциальным выражением по х главной линейной части уравнения и периодическими граничными условиями.

К настоящему времени методом Фурье подробно изучена смешанная задача для линейных гиперболических и параболических уравнений второго порядка. Из этих исследований необходимо отметить работы В. А. Ильина /19,20/, Ю. Ф. Коробейника [24/, О. А. Ладыженской [21] и их учеников.

Дня некоторых линейных уравнений высшего порядка по пространственной переменной методом Фурье смешанные задачи были исследованы Н. И. Бриш и И.Н.Валешкевичем/б/. Начиная с 30-х годов методом.

— 4.

Фурье было начато изучение различных одномерных и многомерных смешанных задач .для квазилинейных гиперболических и параболических уравнений. В этом направлении глубокие результаты получены Г. И. Чандировым /" 52, 53], К. И. Худавердиевым [9, 49, 50, 51], К. К. Гасановым [8, 10, II, 12] и их учениками. Следует отметить также работы В. К. Калантарова /" 25, 26 7.

К.К.Гасанов [II, 12], К. И. Худавердиев [49, 51], Я.Р.Бах-шалиев /з/, Р.А.Горчу-заде [13], З. Н. Днадилов [14], также рассматривали квазилинейные смешанные задачи для некоторых уравнений гиперболического типа высокого порядка по X .Во всех цитированных исследованиях спектральные задачи, соответствующие главной части рассматриваемых смешанных задач, были самосопряженными.

Ими были даны определения слабо обобщенного, обобщенного, классического решения и решения почти всюду рассматриваемых квазилинейных смешанных задач, и доказаны различные теоремы существования и единственности таких решений.

Постановки корректных краевых задач для линейных уравнений, вообще говоря, неохватываемых типовыми классификациями, исследованы в работах А. А. Дезина и его учеников [15, 37/, в которых изучаются как правильная постановка краевых задач для линейных уравнений, а также и доказывается существование и единственность решений (вообще говоря слабых) правильно поставленных задач.

Между тем известно /" 32[, что некоторые одномерные смешанные задачи можно решать методом Фурье-Биркгофа, если системы собственных функций полны. В связи с этим представляет большой интерес изучение краевых задач для квазилинейного дифференциального уравнения произвольного порядка как по X, так и по^, вообще говоря неохватываемого типовыми классификациями, когда главная часть задачи несамосопряженная и граничные условия по Ь, вооб.

— 5 ще говоря, нераспадающийся. Тем более, что к таким задачам, приводят многие вопросы теории колебаний /5, 16, 28, 307 «теории тер-мовязко-упругости [31], физики плазмы [21, 22] .

Настоящая работа посвящена изучению некоторого масса таких задач.

Изложим краткое содержание диссертации.

Первая глава состоит из трех параграфов и носит вспомогательный характер. Б этой главе строятся необходимые для исследований пространства типа Банаха и устанавливается их связь с пространствами Соболева-Слободецкого /2, 38,397 .

В § 1.1 вводятся некоторые определения и обозначения. Здесь строятся некоторые пространства Банаха о, являющиеся замыканием множества всех функциональных последовательностей с элементами из пространен), ства! г ((о/г) О., удовлетворяющих неравенству.

Ф*-*™**" ?'т, для целых неотрицательных ъ>о, где замыкание линейного многообразия С^^^тУ,%) функций, удовлетворяющих некоторым граничным условиям по норме пространства Соболева |а/^0,71) «где «^ ^ ' пРйчем для любого р. (При р^о считаем, что граничные условия отсутствуют).

Наряду с построенными пространствами Банаха по отношению со.

— 6 $ (б, т) рассматриваются пространства Соболева-Слободецкого МгСе, Л)(Зг) /2.38,397, где):0<х<2&-, о<�ЫТ }.

— некоторые целые неотрицательные числа. В § 1.2 доказывается теорема 1.2.1, устанавливающая двойственность пространств Щ, (Зт,, б?*,., и к разложению в ряд Фурье по системе функций екр (16кх)} ¿—/Г, где означает замыкание по норме.

У2(е'Л)(Згг) линейного многообразия С^'^^г функций ^(*>-?) из С «2 (Зт) удовлетворяющих граничным условиям: где у О $ ^ 8 г у 4 .

Иначе говоря, доказывается, что, если у к-о.

-) Считаем, что при 5-о отсутствуют граничные условия по х при — граничные условия по ^ со то ряд ^ = (-/)*[, о,/, 2>. сходится в.

Ж (е" г>(Ят) к некоторой функции ^ ^ ^ а если, то в.

4 «' С&г) она разлагается в ряд вида^Г £(-¿—)ехр (¿-¿-«х).

К, а О и коэффициенты разложения уГ (-6) образуют последовательность.

6?,).

Существуют положительные числа т, такие, что.

В § 1.3 доказывается некоторый критерий компактности множеств М в пространствах о (о,?*), с помощью которого в дальнейшем принципом Шаудера доказывается теорема о существовании решения бесконечной системы нелинейных интегральных уравнений.

Вторая глава состоит из четырех параграфов. В этой главе дается постановка основной краевой задачи, изучению которой посвящена настоящая работа, и вводятся определения различного типа решений (определения 2.1.1,2.1.2,21.3). Обосновывается переход от основной задачи к бесконечной системе нелинейных интегро-дифферен-циальных уравнений.

В § 2.1 дается постановка основной краевой задачи ((2.1.1)-(2.1.3), которая заключается в следующем: найти решение уравнения дтиш) «/. д, ,.

— 8 в: о<�сх<�гяг, приграничных условиях по х вида и по ^ вида / ч, а и (х, о)? д и (х, г) / где постоянные (вообще говоря, комплексные) числа, причем ,.

У > г > ахЪ&Ь у функция, зависящая от независимых переменных, искомой функции и (х>^), а также ее производных вида^, где меняются в определенных пределах. Вводятся определения (з, ,)-обобщенного решения (определения (2.1.1), решения почти всюду (определения (2.1.2)-, классического, решения (определение 2.1.3) этой задачи, и доказываются леммы, устанавливающие связь между решениями различного типа (леммы 2.1.1 — 2.1.5).

В § 2.2 основная задача формально сводится к бесконечной системе интегро-дифференциальных уравнений: т где, а и г;

4*4).

А и) в* (9).

Л (к) ^с/е? II (и?)II777.

ЧЮ^СО ПРИ ^ * * Г ' 1 >>

Т) при, /.

У-опре делит ель Вронского функций И^ (¿->К> -алгебраическое дополнение элемента С777^) этого определителя с/е???[^м]С"))&(*)] г /3 ,.

— определитель Вандермонда чисел и>1,, а ¿-^^-алгебраическое дополнение элемента (т,*) этого определителя.

В § 2.3 с помощью теорем 2.3.1, 2.3.2 и следствии от них этот подход обосновывается, т. е. доказывается в некотором смысле эквивалентность поставленной задачи с полученной формальным путем бесконечной системой интегральных уравнений.

Следует отметить, что упомянутая система интегральных уравнений является Фредгольмово-Гаммерштейновой с исключением некоторых частных случаев, когда она оказывается Вольтеррово-Гаммерштей-новой, изученных в работах [8, 9, 10, 13, 14, 25, 26, 49, 50, 51, 52, 53] .

В § 2.4 приводится определение стабильности оператора, А, кими граничными условиями, введенными в /" 37], делаются некоторые вывода, относящиеся к рассматриваемой задаче, и уточняется постановка граничных условий по? в случае стабильности оператора, А .

В третьей главе методом последовательных приближений и топологическим методом исследуется разрешимость бесконечной системы нелинейных интегральных уравнений в пространствах типа.

ВГ*'т'" '", ГП9'((о, г)>С?г, • Затем формулируются и доказываются теоремы существования и единственности различных решений оспорожденного дифференциальным выражением новной задачи.

В § 3.1, 3.2 при условии нестабильности и стабильности (теоремы 3.1.1, 3.2.1) оператора / (при стабильности оператора / граничные условия по? выбираются «правильными») изучается ядро системы интегральных уравнений и приводятся необходимые оценки для него и его производных по Ь .

Б § 3.3 методом последовательных приближений при некоторых условиях на 1(х. —^,.) и малых значениях параметра ¡-Л / доказывается существование и единственность решения системы интегральных уравнений в пространствах типа &-т°>77?*' '^((о*7*), (теорема 3.3.1).

В § 3.4. опираясь на результаты §-1.3,о помощью принципа Шау-дера [23] при более меньших ограничениях на и малых значениях ХТ доказывается существование решения системы интегральных уравнений в пространствах ВТ" «^((о,?)^, 0^) (теорема 3.4.1).

В § 3.5 формулируются и доказываются теоремы существования и единственности^{-обобщенного} решения (теорема 3.5.1), решения почти всюду (теорема 3.5.2) и классического решения (теорема 3.5.3) основной задачи.

В § 3.6 приводится пример квазилинейной несамосопряженной краевой задачи, главная линейная часть уравнения которой является нетиповым дифференциальным выражением, содержащим старшие производные по второго порядка, по х третьего порядка. Опираясь на результаты предыдущих параграфов, для этого примера доказывается существование и единственность (3−2) обобщенного решения.

Результаты работы докладывались на научных семинарах академика АН Азерб. ССР, проф.М. Л. Расулова в АТУ им. С. М. Кирова, проф. Ш. А. Ахмедова в ЛПШ им. С. М. Кирова, на республиканской конференции по уравнениям с частными производными в г. Душанбе (ТГУ им. В. И. Ленина, сентябрь 1983 г.), а также на научной конференции, посвященной 50-летшо ЛШИ им. С. М. Кирова и на научной конференции молодых ученых, посвященной 65-летию образования Ленинского Комсомола в ЛШИ им. С. М. Кирова.

Кроме того результаты работы доложены у проф.А. А. Дезина (МИ АН СССР им. В.А.Стеклова).

Основное содержание диссертации отражено в работах /40−44/.

1. Агранович М. С., Вишик М. И, Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида. — УМН, 1964, т.19, вып. З (117), с.53−161.

2. Бесов О. В., Никольский С. М., Ильин В. П. Интегральные представления функций и теоремы вложения. Москва, «Наука», 1978,480 с.

3. Бахшалиев Я. Р. Исследование решения многомерной смешанной задачи для одного класса гиперболических уравнений с нелинейной операторной правой частью. «Ученые записки MB и CG0 Азерб. ССР», серия физ.мат.наук, 1975, № I, с.3-Ю.

4. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики, М., «Наука», 1976, 295 с.

5. Бондарь Н. Г. Некоторые автономные задачи нелинейной механики.-Киев, Наукова думка, 1969, 302 с.

6. Бриш Н. И., Валешкевич И. Н. Метод Шурье для нестационарных уравнений с общими краевыми условиями. Дифференциальные уравнения, 1965, т.1, № 3, с.393−399.

7. Владимиров B.C. Уравнения математической физики.- М., «Наука», 1967, 436 с.

8. Гасанов К. К. 0 решении смешанных задач для квазилинейного гиперболического и параболического уравнений. Дисс.канд.физ.-мат.наук. — Баку, 1961, 78 с.

9. Гусейнов А. И., Гасанов К. К. 0 применимости метода Фурье к решению смешанной задачи для одного класса квазилинейных гиперболических уравнений.-ДАН СССР, 1963, т.148, № 4, с.761−764.

10. Гусейнов А. И. Дудавердиев К. И, 0 решении методом Щурье одномерной смешанной задачи для квазилинейных гиперболических уравнений второго порядка. ДАН СССР, 1963, т.148, № 3, 496−499.

11. Гасанов К. К. О решении смешанной задачи для одного класса квазилинейных дифференциальных уравнений. «Ученые записки АТУ им. С.М.Кирова», серия физ-мат.наук, 1964, № 2, с.3−11.

12. Гасанов К. К. Метод Фурье для квазилинейных дифференциальных уравнений. «Ученые записки АГУ им. С.М.Кирова», сер.физ.-мат.наук, 1965, № I, с.49−58.

13. Горчу-заде P.A. Решение смешанной задачи для одного класса квазилинейных уравнений высших порядков методом неподвижных точек. «Ученые записки АГУ им. С.М.Кирова», сер.физ.-мат. наук, 1968, № 3, с.33−40.

14. Джалилов З. Н. Решение смешанной задачи для одного класса нелинейных гиперболических уравнений. Деп. в ВИНИТИ 18 дек. 1980 г., № 5367−80, 13 с.

15. Дезин A.A.

Введение

в обпито теорию граничных задач. Москва, «Наука», 1980, 207 с.

16. Жданович В. Ф. Решение методом Фурье несамосопряженных смешанных задач для гиперболических систем на плоскости I.- Матем. сборник, 1959, т.47 (89), № 3, с.307−354.

17. Дданович В. Ф. Решение методом Фурье несамосопряженных смешанных задач для гиперболических систем на плоскости П.- Матем. сборник, 1959, т.48 (90), № 4, с.447−498.

18. Жданович В. Ф. Решение методом Фурье несамосопряженных смешанных задач для гиперболических систем на плоскости Ш. -Матем. сборник, 1959, т.49 (91), № 3, с.233−266.

19. Ильин В. А. К вопросу об обосновании метода Фурье для уравнения колебаний. УМН, 1957, вып.4(76), т.12, с.289−296.

20. Ильин В. А. 0 разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнения. УМН, i960, вып.2(92), т.15,с.97−154.

21. Ионкин Н. И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическими краевыми условиями. -Дифференциальные уравнения, 1977, т.13, № 2, с.294−304.

22. Ионкин Н. И. Об устойчивости одной задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием. -Дифференциальные уравнения, 1979, т.15, № 7, с.1279−1283.

23. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. Москва, Гостехиздат, 1956, 392 с.

24. Коробейник Ю. Ф. Решение смешанной задачи методом Фурье для одного интегро-дифференциального уравнения. ДАН СССР, 1957, т.114, № I, с.14−17.

25. Калантаров В. К. Исследование обобщенного решения смешанной задачи для систем двух квазилинейных уравнений параболического и гиперболического типов. «Ученые записки АГУ им. С.М. Крова», 1972, № 4, с.50−53.

26. Калантаров В. К. Исследование смешанной задачи для одного класса нестационарных систем. ДАН Азерб. ССР, т.30, № I, с.8−10.

27. Ладыженская O.A. Смешанная задача для гиперболического уравнения. М., Гос.изд.техн. — теор. лит-ры, 1953, 280 с.

28. Лэмб Г. Динамическая теория звука. М."Физматгиз, 1960,372с.

29. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения с частными производными. Москва, «Наука», 1976, 391 с.

30. Митропольский Ю. А., Кривошея С. А. Асимптотическое решение одного класса краевых задач. Укр.мат.журнал, 1980, т.32, № 6, 846−853.

31. Матвеев П. Н. К вопросу о представлении решения смешанной задачи для одного нелинейного уравнения теории вязко-упрутости.-Известия ВУЗов, 1980, № 9, с.78−81.

32. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. Москва, «Наука», 1969, 528 с.

33. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М., «Наука», 1974, 331 с.

34. Петровский И. Г. Лекции по уравнениям с частными производными.-Москва, Физматгиз, 1961, 400 с.

35. Расулов М. Л. Метод контурного интеграла. Москва, «Наука», 1964, 462 с.

36. Расулов М. Л. Применение метода контурного интеграла к решению задач для параболических систем второго порядка. М., «Наука», 1975, 255 с.

37. Романко В. К. К теории операторов вида — А. Дифференциальные уравнения, 1967, т. З, № II, с.1957;1970.

38. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Издательство Ленинградского Госуниверситета, 1950, 255 с.

39. Слободецкий Л. Н. Обобщенные пространства С. Л. Соболева и их приложение к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных. «Ученые записки Ленинградского госпединститута им. А.И.Герцена», 1958, том 197, с.54−112.

40. Сатторов А. Х., Мамедов Ю. А. 0 некоторых пространствах типа Банаха и их применениях. ДАН Тадж. ССР, 1981, т.24, № 10, с.597−602.

41. Сатторов А. Х., Мамедов Ю. А. Некоторые пространства типа Банаха и их применение к решению краевых задач. Извести АН Азерб. ССР, 1982, № 6, с.12−21.

42. Сатторов А. Х. Об одной краевой задаче с несамосопряженной главной частью. Тезисы докладов научной конференции молодых ученых ЛГПИ им. С. М. Кирова, посвященной 65-летию образования Ленинского комсомола, с.47−48, 1983.

43. Тихонов А. Н., Самарский A.A. Уравнения математической фищики. М., «Наука», 1977, 736 с.

44. Халилов З. И. Об одном методе решения смешанных задач. ДАН СССР, 1952, 63, № 5, с.659−662.

45. Хермандер Л. К теории общих дифференциальных операторов в частных производных. М., ИЛ, 1959, 131 с.

46. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М., «Мир», 1965, 379 с.

47. Худавердиев К. И. Применение метода Фурье к решению смешанной задачи для одного класса нелинейных уравнений четвертого порядка. «Ученые записки АГУ им. С.М.Кирова», сер.физ.-мат.наук, № 4, 1961, № 4, с.17−30.

48. Худавердиев К. И., Асроров А. Исследование периодическогорешения почти всюду одномерной краевой задачи для нелинейных гиперболических уравнений второго порядка. Научные труды MB и ССО Азерб. ССР сер.физ.-мат.наук, 1979, № 2, с.48−55.

49. Худавердиев К. И., Тахиров Б. О. Исследование слабо обобщенного решения многомерной смешанной задачи с общими краевыми условиями для гиперболических уравнений с нелинейной операторной правой частью. Известия АН Азерб. ССР, 1979, № б, с.29−36.

50. Чандиров Г. И. Решение смешанной задачи методом фурье для уравнения — «Ученые записки АГУ им. С.М.Кирова», серия физ.-мат.наук, 1958, № 3, с.12−18.

51. Чандиров Г. И. Исследование слабого решения смешанной задачи для гиперболического уравнения с нелинейной частью. ДАН СССР, 1968, т.148, № I, с.51−54.